Examen

Université Pierre et Marie Curie
M2, Spécialité Mathématiques de la Modélisation
Contrôle en dimension finie et infinie
1er semestre 2014–2015
Examen
3 heures
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Exercice 1:
1. On considère le système de contrôle dans IR2
ẋ1 (t) =
x2 (t) + b1 u(t),
ẋ2 (t) = −x1 (t) + b2 u(t),
où (b1 , b2 ) ∈ IR2 \ {(0, 0)}. Le contrôle est u(t) ∈ IR.
(a) Montrer que le système est contrôlable, depuis un point quelconque et en temps quelconque.
(b) En déduire que le système est globalement stabilisable vers (0, 0), par feedback linéaire u = Kx et déterminer
toutes les matrices K = (k1 , k2 ) qui le font.
(c) On veut maintenant stabiliser asymptotiquement le système vers l’origine par les techniques de LyapunovLaSalle (Jurdjevic-Quinn), et on veut déterminer un contrôle feedback qui vérifie la contrainte |u| 6 1. On
pose V (x) = 12 (x21 + x22 ).
d
i. Calculer dt
V (x(t)).
ii. En déduire un contrôle qui répond à la question (et démontrer la propriété de stabilisation).
2. On considère le système de contrôle dans IRn
ẋ(t) = Ax(t) + bu(t),
où A est une matrice carrée antisymétrique de taille n, et b ∈ IRn . On suppose que le couple (A, b) vérifie la
condition de Kalman.
En posant V (x) = 21 kxk2 , déterminer un contrôle feedback vérifiant la contrainte |u| 6 1, et rendant le système
globalement asymptotiquement stable vers l’origine.
Exercice 2: Test de Hautus.
Soient A une matrice carrée de taille n et B une matrice de taille n × m, avec n et m deux entiers naturels non nuls.
Montrer l’équivalence de:
(1) Le couple (A, B) vérifie la condition de Kalman rg(B, AB, . . . , An−1 B) = n.
(2) ∀λ ∈ C rg(λI − A, B) = n.
(3) ∀λ ∈ Spec(A)
rg(λI − A, B) = n.
(4) ∀z vecteur propre de A> ,
B > z 6= 0.
(5) ∃c > 0 | ∀λ ∈ C ∀z ∈ IRn
k(λI − A> )zk2 + kB > zk2 > ckzk2 .
1
Indications: On pourra démontrer que:
(2) ⇔ (3)
(3) ⇔ (4): par l’absurde
(2) ⇔ (5)
non (4) ⇒ non (1)
non (1) ⇒ non (4): on pose N = {z ∈ IRn | z > Ak B = 0 ∀k ∈ IN}. Montrer que A> N ⊂ N . Montrer que: non (1)
⇒ N 6= {0}, puis que A> a un vecteur propre dans N .
Exercice 3: Problème de la brachistochrone: le toboggan optimal.
On veut trouver la forme optimale d’un toboggan (entre deux altitudes données) pour que, si une bille est lâchée sur
ce toboggan (à vitesse initiale nulle), elle arrive à l’autre extrémité en temps minimal.
Ce problème se modélise sous la forme d’un problème de contrôle optimal, comme suit. Dans le plan Euclidien, le
toboggan est modélisé par une courbe continue, partant de l’origine et arrivant à un certain point fixé (x1 , y1 ), avec
x1 > 0. On considère une bille de masse m > 0 roulant sur ce toboggan. On note (x(t), y(t)) sa position à l’instant
t. La bille est soumise à la force de gravité m~g et à la force de réaction du toboggan. A l’instant t, on appelle u(t)
l’angle (orienté) entre le vecteur unitaire de l’horizontale et le vecteur vitesse (ẋ(t), ẏ(t)) de la bille (qui est colinéaire
à la tangente à la courbe). Voir figure 1.
Chercher la courbe, revient à chercher l’angle u(t). On décrète donc que u est un contrôle. En projetant les
équations du principe fondamental de la dynamique sur la tangente à la courbe, on obtient alors le système de contrôle
suivant:
ẋ(t) = v(t) cos u(t),
x(0) = 0,
x(tf ) = x1 ,
ẏ(t) = −v(t) sin u(t),
y(0) = 0,
y(tf ) = y1 ,
v̇(t) = g sin u(t),
v(0) = 0,
v(tf ) libre.
(1)
Le contrôle est u(t) ∈ IR, g > 0 est une constante. On veut minimiser le temps final tf .
y
x
0
x1
T~
u(t)
y1
m~g
Figure 1: Problème de la brachistochrone
1
1. (a) Démontrer que, pour tout contrôle u, on a y(t) = − 2g
v(t)2 .
(b) En déduire qu’un point tel que y1 > 0 n’est pas accessible. Désormais, on supposera que y1 6 0.
2
(c) A l’aide de 1.(a), démontrer qu’on peut réduire le problème de contrôle optimal (1) au problème de temps
minimal pour le système suivant:
ẋ(t) = v(t) cos u(t),
x(0) = 0,
x(tf ) = x1 > 0 fixé,
v̇(t) = g sin u(t),
v(0) = 0,
v(tf ) fixé.
(2)
Que doit valoir v(tf )?
2. Appliquer le principe du maximum de Pontryagin au problème de contrôle optimal (2):
(a) Ecrire le Hamiltonien du problème (on notera les variables adjointes (px , pv ) et p0 ).
(b) Ecrire les équations extrémales.
(c) Montrer que le Hamiltonien est nul le long de toute extrémale.
(d) Ecrire la condition de maximisation, et en déduire les contrôles extrémaux cos u(t) et sin u(t) sous une
condition qu’on explicitera sous la forme ϕ(t) 6= 0 (préciser la fonction ϕ).
3. (a) Calculer
d
dt (px v(t))
et
d
dt (gpv (t)).
(b) Démontrer que la fonction ϕ ne s’annule identiquement sur aucun sous-intervalle de [0, tf ].
(c) Réécrire le Hamiltonien maximisé, et démontrer que p0 6= 0. Désormais, on prend p0 = −1.
(d) En déduire que ϕ(t) = 1, et en déduire une expression plus simple de cos u(t) et sin u(t).
4. (a) Montrer que px 6= 0.
(b) Etablir que
x(t) =
1
1
sin(2gpx t),
t−
2px
4gp2x
y(t) = −
1
1
sin2 (gpx t) = −
(1 − cos(2gpx t)) .
2
2gpx
4gp2x
(c) En remarquant que ẋ = px v 2 , montrer qu’on a forcément px > 0.
(d) Représenter la courbe paramétrée (x(t), y(t)) pour des valeurs quelconques de px > 0. On appelle ces
courbes des courbes cycloïdes.
(on pourra s’aider d’un outil informatique)
(e) On veut démontrer que toute trajectoire optimale joignant (x1 , y1 ) a au plus une arche de cycloïde.
i. Calculer px et tf dans le cas où y1 = 0.
ii. Dans le plan, tracer toutes les trajectoires optimales joignant (x1 , 0), pour tout x1 > 0.
iii. En remarquant que, si une trajectoire est optimale sur l’intervalle [0, tf ], alors, pour tout t1 ∈]0, tf [, elle
est aussi optimale sur l’intervalle [0, t1 ] pour le problème de joindre le point (x(t1 ), y(t1 )), en déduire que
toute trajectoire optimale du problème (1) a au plus un point tel que ẏ = 0. Représenter graphiquement
toutes ces trajectoires optimales, et montrer l’unicité de la trajectoire optimale solution de (1).
iv. A l’aide de ce graphique, démontrer que la courbe optimale (x(t), y(t)) joignant (x1 , y1 ) est telle que:
• y(t) passe par un minimum lorsque y1 > − π2 x1 ,
• y(t) est strictement décroissante lorsque y1 < − π2 x1 .
5. Résoudre la variante du problème de contrôle optimal (1), où on minimise le temps tf avec y(tf ) libre. Représenter
la trajectoire optimale obtenue.
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