Devoir surveillé no 1

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
2007-08
e
Licence de Biologie, 3 semestre
S. Vinatier
Compléments de Mathématiques
Devoir surveillé no 1
24 octobre 2007 - durée 1h30
Les documents et calculatrices, à l’exclusion des téléphones portables, sont autorisés
pour un usage personnel. Les exercices sont indépendants.
Exercice 1
1. Décomposer en éléments simples la fraction :
1
.
(s + 3)(s2 + 9)
2. Résoudre l’équation différentielle :
y 00 (x) + 2y 0 (x) − 3y(x) = cos(3x) −
1
sin(3x) ,
3
avec y(0) = y 0 (0) = 0 .
Exercice 2
1. Déterminer les nombres a, b, c tels que
−s3 − 3s2 + 4 = (s + 2)(as2 + bs + c) .
2. Résoudre le système :
y 0 (x) + 2z 0 (x) = 4x
y(x) − z 0 (x) = 2
avec conditions initiales : y(0) = 1 et z(0) = −1.
Exercice 3
1. Décomposer en éléments simples les fractions :
2s − 1
s2 + 2s − 8
,
s + 13
.
s2 + 2s − 8
2. On pose Y = L(y)(s) et Z = L(z)(s). Écrire la transformée de Laplace du système :
0
y = y + 5z
z 0 = y − 3z
avec conditions initiales : y(0) = 1 et z(0) = 2.
3
En déduire que Y + Z =
; résoudre le système et conclure.
s−2
Exercice 4
On rappelle que L(f )0 = − L xf (x) , où la dérivée est par rapport à la variable s.
1
2
1. En déduire que L(xe−x ) =
et que L(x2 e−x ) =
.
2
(s + 1)
(s + 1)3
2. Résoudre l’équation différentielle :
y 0 (x) + y(x) = 4xe−x ,
avec y(0) = 0 .
Exercice 5
Résoudre le système suivant d’inconnues les fonctions y1 , y2 et y3 .
On posera Y1 = L(y1 )(s), Y2 = L(y2 )(s) et Y3 = L(y3 )(s).
 0
 2y1 − y30 = −1
y 0 + y20 + y30 = 6x + 4
 1
3y1 + y20 − 23 y3 = − 23 x
avec les conditions initiales : y1 (0) = −1, y2 (0) = y3 (0) = 0.