IUT de Nı̂mes GEII 1-ère année Outils Logiciels OL2 2013- 2014 Equations différentielles en GEII - TD no 1 Exercice 1 Décharge d’un condensateur électrique dans une résistance Un condensateur de capacité C est préalablement chargé et la tension entre ses bornes est égale à E. Il est déchargé à travers une résistance R. R vC (t) C i(t) 1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vC (t) ? 2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre pour vC (t) ? 3) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension vC (t). 4) On note le produit RC par τ = RC, et on l’appelle constante de temps du circuit. Calculer la tension de vC (t) pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ . Application numérique : R = 1 kΩ, C = 5mF et E = 10 V. Exercice 2 Systèmes du premier ordre - circuits de base : Circuit R − C R ve (t) vs (t) C i(t) 1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vs (t) ? 2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre liant ve (t) et vs (t) 3) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle (condensateur déchargé). a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie vs (t). b) Si τ = RC, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ . 4) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement égale à E/2 (condensateur chargé). a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie vs (t). b) Si on note τ = RC, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ . Application numérique : R = 5 kΩ, C = 500µF et E = 5 V. Exercice 3 Systèmes du premier ordre - circuits de base : Circuit L − R L ve (t) vs (t) R i(t) 1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vs (t) ? 2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre liant ve (t) et i(t). 3) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle. a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie vs (t). b) Si on note τ = R/L, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ . Application numérique : R = 1Ω, L = 1H et E = 5 V.