Feuille d`exercices n˚2 Nombres complexes (partie 1)

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Feuille d’exercices n˚2
Nombres complexes (partie 1)
Rappel : Division euclidienne
Si a ∈ N et b ∈ N∗ , alors il existe un unique q ∈ N et un unique r ∈ {0, . . . , b − 1} tels que :
a = qb + r.
Le nombre q (resp. r) est appelé quotient (resp. reste) de la division euclidienne de a par b.
Exercice 2 (CNS pour que le carré d’un nombre complexe soit un nombre réel)
Soit z ∈ C. Donner une condition nécéssaire et suffisante sur z pour que z 2 soit un nombre réel.
Exercice 3 (Formes algébriques de nombres complexes)
1. Donner la forme algébrique de z1 = (2 − 3i)2 .
−3 + i
.
2. Donner la forme algébrique de z2 =
4−i
z1
3. Donner la forme algébrique de .
z2
Exercice 4 (Système linéaire 2 × 2 à coefficients complexes)
Résoudre le système
iz1 + (1 + 2i)z2 =
1−i
(1 − 2i)z1 −
3iz2 = 1 − 2i
d’inconnue (z1 , z2 ) un couple de nombres complexes.
Exercice 5 (Puissances successives de i et de j)
√
3
1
.
Dans cet exercice, on se propose de calculer les puissances successives des nombres complexes i et j := − +i
2
2
1. (a) Calculer i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 , i8 , i9 .
(b) Soit n ∈ N. Calculer in .
Indication : On pourra scinder l’étude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne
de n par un entier à déterminer.
(c) Calculer i2013 .
2. (a) Calculer j 0 , j 1 , j 2 , j 3 , j 4 , j 5 , j 6 , j 7 .
(b) Soit n ∈ N. Calculer j n .
Indication : On pourra scinder l’étude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne
de n par un entier à déterminer.
(c) Calculer j 2013 .
1
Exercice 6 (Équations polynomiales de degré 2)
1. (a) Déterminer α ∈ R et β ∈ R tels que pour tout x ∈ R :
x2 − 6x + 5 = (x + α)2 + β
(cf. forme canonique d’un trinôme du second degré).
(b) Résoudre l’équation x2 − 6x + 5 = 0, d’inconnue x ∈ R.
On pourra commencer par écrire x2 − 6x + 5 comme la différence de deux carrés de nombres réels,
en s’aidant de la question précédente.
2. En s’inspirant de la démarche exposée en 1., résoudre :
10
(a) l’équation x2 − x + 1 = 0, d’inconnue x ∈ R ;
3
(b) l’équation x2 − 2x + 2 = 0, d’inconnue x ∈ R ;
(c) l’équation z 2 − 2z + 2 = 0, d’inconnue z ∈ C ;
(d) l’équation z 2 + (2 − i)z + 9 + 13i = 0, d’inconnue z ∈ C ;
(e) l’équation 2iz 2 + (2 − 2i)z − 6 + 12i = 0, d’inconnue z ∈ C.
Exercice 7 (Déterminer deux nombres complexes à partir de leur somme et de leur produit)
1. On se propose de résoudre le système (non linéaire)
z1 + z2
(S)
z1 z2
= 23
= 132
d’inconnue (z1 , z2 ) un couple de nombres complexes.
(a) Soit (z1 , z2 ) un un couple de nombres complexes solution du système (S). Montrer qu’alors z1 et z2
sont racines du polynôme :
P := X 2 − 23X + 132.
(b) En déduire qu’il n’y a que 4 couples solution possibles.
(c) Achever la résolution du système (S).
2. En s’inspirant de la démarche exposée en 1., résoudre :
(a) le système
=
7
3
z1 z2
=
2
3

 z1 + z2
=
3
=
3+i



 z1 + z2



(b) le système

z1 z2
, d’inconnue (z1 , z2 ) un couple de nombres complexes ;
, d’inconnue (z1 , z2 ) un couple de nombres complexes.
2