EXERCICE 2 - Commun à tous les élèves 3 points On cherche à

EXERCICE 2 - Commun à tous les élèves
3 points
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+00[,
vérifiant la condition (E):
pour tout nombre réel x strictement positif, xf /( x) - f (x)
= x2 ix •
1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+00[, vérifie la condition
(E), alors la fonction g définie sur l'intervalle ]O;+oo[ par g(x)=
pour tout nombre réel x strictement positif,
f(x)
x
vérifie:
g' (x) = e 2x •
2. En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifient la
condition (E).
3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifie la condition (E) et
qui s'annule en
t?
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0 ; +00[, vérifiant la
condition (E) : pour tout nombre réel x strictement positif, xf'(x) - f(x) = x2e2X•
1. Une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +00[, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie
sur l'intervalle]O; +oo[ par g(x) = f(x)
x vérifie, pour tout x de]O ; +00[:
g' (x) = -x
(f(X))'
= -----
- --
x2
xf'(x)-f(x)
x2
x2e2x
= e2x
•
2. Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle [0 ; +oo[ qui vérifient la condition (E) :
fvérifie E
=
g/(x) = e2X
=
1
2
f(~
g(x) = -e x + k = --
2
x
=
f(x) =
1
_xe2X
2
+ kx avec kE:IR
Réciproquement:
3. Fonction h définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +oo[ vérifiant la condition (E) et s'annulant en ~ :
2
EXERCICE 4 - Commun à tous les élèves
7noints
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
Soit n un entier naturel.
-nx
On note fn, la fonction définie sur l'ensemble
On note C n la courbe représentative de
C 3 sont représentées ci-dessous :
,
'C2
'\
f
\
'\
"- "-
0.2-1
co
i; 3)
co' CI'
. Les courbes
C 2 et
"
\\
'\
,,,'\ '
\
0.8
\
,1),6
.....
"- "-
dans un repère orthogonal (0;
l+e
\\
'\
,,,
des nombres réels par: fn(x)=~
\C3
'\
"-
n
IR
"
--.
--.
"--.
.....
~
''-
,
0.41
-------
"""---------------------
o
-0.4
-0.2
o
0.2
L'objet de cette partie est l'étude de quelques propriétés
1. Démontrer que pour tout entier naturel
ses coordonnées.
0 •
2. Étude de la fonction
0.6
0.4
des fonctions
n les courbes
1.2
0.8
f
n
1.4
Cn
et des courbes
•
C n ont un point A en commun. On précisera
f
f
a. Étudier le sens de variation de 0 •
b. Préciser les limites de la fonction
0 en -00 et + 00. Interpréter graphiquement ces limites.
0 sur IR.
c. Dresser le tableau de variation de fonction
3. Étude de la fonction fi'
f
f
a. Démontrer que f 0 (x) = fi (- x) pour tout nombre réel x.
b. En déduire les limites de la fonction fi en -00 et +00, ainsi que son sens de variation.
c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes Co et CI .
4. Étude de la fonction
n pour n ~ 2 .
f
1
a. Vérifier que pour tout entier naturel n~2
etpourtoutnombreréel
x, ona
f
:fn(x)=-nx--(n-I)x'
e +e
b. Étudier les limites de la fonction
n en - 00 et en +00.
c. Calculer la dérivée
n' (x) et dresser le tableau de variations de la fonction
f
f
n
sur
IR.
Partie B:
Résoudre l'équation différentielle
y(O)=1.
y'+2y=6
et déterminer la solution
5
f vérifiant
la condition initiale
EXERCICE4
Commun à tous les candidats
PartieA:
1.
1
eO
11ùel
'JI.
que soit n e:N, fn
(0)
= --0
l+e
= -.
2
Toutes les courbes <€n contiennent le point (0, ~).
2. Étude de la fonction
fo
1
a.
"0 (x)
JI
--x'
= l+e-
Cette fonction est dérivable sur
IR
et
f~(x)
_e-x
= -
e-x
2
(1+ e-X)
Comme e-x > 0 et (1 + e-x)2 >~on en déduit que f~(x) > o.
La fonction Jo est donc croissante sur IR.
=
(1+ e-X)
2•
b. On sait que lim eX = O. Donc lim e-x = +00.
~~
~~
..
~
Donc Hm fo(x) = O. Ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote hC"l'\C.) h:Je.
~~
v
à la courbe <€o fJtI,., _ 0lJ·
On sait que x-+oo
lim e-x = 0, donc x-+oo
lim fo(x) = 1.
Ceci signifie que la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à
la courbe <€o ~
+,. .
c. Tableau très simple: sur
3. Étude de la fonction
IR, fo
crott de 0 à 1.
fI
eX
1
a. On a fI(-x) = --1+ex = -e-x + 1 =
le facteur non nul e-x.
fo (x)
en multipliant chaque terme par
lim fI (x) = -x-+oo
lim fo(x) = 1
b. On a X-+oo
Hm fi (-x) = x--oo
Demême lim fl(-X)= lim !I(x)= lim fo(x)=0.
x--oo
x-+oo
X--OO
Commefo(x)= fI (-x),. p()J.,( itau.1 ~O 1'lL) lM eL ~
~
c.
tA\' ~
~w.lr
~~I,.: ~
pl\\.û
tw w
l')L
\
1-1h~::{o(-"')
1,~
.t Q.
•
01.10\.\.
Clll\~ 1
1
1
1-\('\}:: -
~,l-~,
{4 W &iU'~\\M.k 'W I(
fo (x) = fI(- x) signifi~ que deux points d'abscis:l~
et 'CI ont la
même ordonnée: ces points sont symétriques autour de (Oy).
'Coet 'CI sont symétriques autour de l'axe des ordonnées.
4. Étude de la fonction fn pour n ~ 2
1
-nx
a.
fn (x)
b. Pour
= _e
1_+_e-x . En multipliant chaque terme par
P ~
O•••••
Limite
2, x-+oo
lim
en -00:
ePx
X--oo
lim
= ---(
enx + e n= +00, donc en utilisant l'écriture du a., X-+oo
lim fn (x) =
enx = 0
enx
> 0,
fn (x)
et X--OO
lim e(n-I)X = 0 donc par limite de
l'inverse: ltrrL,
~ 4- f;.;;, •
,1) ....:,
••• ,~" -q-f}(\ fît)
c. fn quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car
enx + e<n-l)x > O.
En utilisant l'écriture trouvée au début de la question:
nenx + (n _l)e(n-I)X
f~(x)=--------.
(enx + e(n-I)Xf
Comme n ~ 2, cette dérivée est négative quel que soit x réel. Les fonctions (fn, n ~ 2) sont donc décroissantes de +00 à O.
1) X •
(1
,'fi.
t4o\
M.~A.W\r
• r
"~kr)
1
Exercice 4
Partie B
On a y 1 + 2 y = 6
<=>
Y
1
= - 2Y + 6 .
f
(x) = ke -2x - _62= ke - 2x + 3 où k se
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme
(0) = 1 , qui s'écrit k + 3 = 1 ou k =- 2 .
détermine à l'aide de la condition initiale
f
La fonction cherchée est donc définie sur
IR
par
f (x)
=- 2 e -2x + 3 .