Exercice E1

Exercice E1
1°) On a lim sin x = sin 0 = 0
x→0
et
lim 1 = +∞
x
x→0
x>0
Les propriétés sur les limites ne permettent pas d'en déduire la limite de sin x
x
1 = sin x quand x tend
x
x
vers 0 par valeurs supérieures.
Il en est de même pour la limite de sin x lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures.
x
On a lim cos x = cos 0 = 1 , donc
x→0
lim cos x - 1 = 0
x→0
lim 1 = +∞ et lim 1 = -∞ ,
x→0 x
x
et
x→0
x>0
x<0
Les propriétés sur les limites ne permettent pas d'en déduire la limite de
(cos x - 1)
x
1 = cos x - 1
x
x
quand x tend vers 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures.
On ne peut pas, à partir des résultats donnés , déterminer les limites en 0 de sin x et de cos x - 1 .
x
x
2°)
x
sin x
x
x
cos x - 1
x
1
0,5
0,2
0,1
0,01
10-3
10-5
10-10
10-20
10-40
0,841
0,959
0,993
0,998
1
1
1
1
1
1
1
0,5
0,2
0,1
0,01
10-3
10-5
10-10
10-20
10-40
-0,46
-0,245
-0,01
-0,05
0
0
0
-0,005 -5 x 10-4 -5 x 10-6
D'après les valeurs obtenues, on peut conjecturer que :
lim sin x = 1
x
x→0
x>0
et
lim cos x - 1 = 0 .
x
x→0
x>0
3°)
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4°) Par définition, on a : OS = sin x et OC = cos x .
Les droites (MC) et (TA) étant parallèles, le théorème de Thalès, permet d'écrire :
AT = OA donc AT = OA , on en déduit AT = 1
donc : AT = sin x .
MC OC
OS OC
sin x cos x
cos x
B
xh
On sait que l'aire d'un triangle s'exprime sous la forme
(où h est la hauteur associée à la base B)
2
Donc l'aire du triangle OAM est : A1 = OA x MC = 1 x sin x donc : A1 = sin x .
2
2
2
sin
x
1x
cos x
donc : A3 = sin x .
L'aire du triangle OAT est : A3 = OA x AT =
2
2
2 cos x
L'aire d'un secteur angulaire est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre.
L'aire du disque de centre O et de rayon 1 est égale à π (pour un angle au centre de 2π).
Donc l'aire du secteur angulaire OAM est : A2 = x x π donc : A2 = x .
2
2π
Le triangle OAM est contenu dans le secteur angulaire OAM, lui même contenu dans le triangle OAT.
On a donc : A1 £ A2 £ A3 . On en déduit : sin x £ x £ sin x
c'est-à-dire sin x £ x £ sin x .
2
2
2 cos x
cos x
Voir l'animation : http://xmaths.free.fr/1S/exos/animation.php?nomexo=1StriganE1
5°) On sait que, pour x ∈  0 ; π , sin x £ x £ sin x ,
 2
cos x
On en déduit en divisant chaque membre de l'inégalité par sin x qui est un nombre strictement positif
1£ x £ 1
sin x cos x
La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0 ; +∞[, on obtient :
1 ³ sin x ³ cos x , c'est-à-dire : cos x £ sin x £ 1 .
1
1
x
x
On sait que
lim cos x = cos 0 = 1 .
x→0
x>0
Lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, sin x est encadrée par 1 et par cos x qui tend vers 1.
x
sin
x
On en déduit que : lim
=1.
x→0 x
x>0
2
2
2
 -x sin x =  -x  sin x =  -x  1 - cos x
2
2
1
+
cos
x
x
1
+
cos
x
1
+
cos
x


 
 x  
 x

2
-x
sin
x
-x
(1
cos
x)(1
+
cos
x)
(1
cos
x)
cos
x-1


 =

=
donc
=
2
x
x
1 + cos x x  1 + cos x
x

2
donc :  -x sin x = cos x - 1 .
x
1 + cos x x 
On a lim 1 + cos x = 1 + cos 0 = 2 donc lim  -x  = 0 = 0 .
x→0
x→0 1 + cos x 2
x>0
x>0
6°) On peut écrire
D'autre part
2
lim sin x = 1 , donc lim sin x = 1
x→0 x
x→0  x 
x>0
On en déduit que
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x>0
lim
x→0
x>0
2
 -x sin x = 0 donc : lim cos x - 1 = 0 .
x→0
x
1 + cos x x 
x>0
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7°) Pour déterminer la limite quand x tend vers 0 par valeurs négatives de sin x , posons x = -x'
x
Lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, x' = -x tend vers 0 par valeurs positives.
On a alors sin x = sin (-x') = - sin x' = sin x' (la fonction sinus est une fonction impaire)
x
-x'
- x'
x'
Donc lim sin x = lim sin x' = 1 (d'après la question 5)
x→0 x
x'→0 x'
x<0
x' > 0
lim sin x = 1 .
x
cos
x
1
cos
(-x')
1
cos
x' - 1 = - cos x' - 1 (la fonction cosinus est paire)
=
=
De même
x
- x'
- x'
x'
cos
x
1
cos
x'
1
Donc lim
= lim = - 0 = 0 (d'après la question 5)
x→0
x'→0
x
x'
On peut donc en déduire que :
x<0
x→0
x' > 0
On peut donc en déduire que : lim cos x - 1 = 0 .
x→0
x
8°) En considérant l'égalité démontrée dans la question 6, on a :
cos x - 1 =  -x sin x2 , donc cos x - 1 =  -1 sin x2
x
1 + cos x x 
1 + cos x x 
x2
On a lim 1 + cos x = 1 + cos 0 = 2 donc lim  -1  = - 1
2
x→0
x→0 1 + cos x
2
lim sin x = 1 , donc lim sin x = 1
x→0 x
x→0  x 
2
-1
sin
 x = - 1 donc : lim cos x - 1 = - 1 .
On en déduit que lim 
2
2
x→0 1 + cos x x 
x→0
x2
D'autre part
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