32 42 112 2,72 - Collège Albert Sidoisne

Chap 11
Les racines carrées
I. Racines carrées d'un nombre positif
1. Définition
On sait que :
−62 = 62 = 36
définition : On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif dont le carré est
a. On le note
2
 a . On a donc  a  = a .
Remarques :
● le symbole ... est aussi appelé "radical".
● Si a est négatif,  a n'a pas de sens car un carré ne peut pas être négatif.
−62 = 62 = 36 donc
exemple :
36 = 6
2. Carré parfait
définition : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Sa racine (parfaite) est donc un
entier naturel.
exercice : A l'aide de la calculatrice, donne la valeur (si nécessaire arrondie au millième) de :
625 , 2 et 12,25 .
S'agit-il de racines parfaites ?
625 = 25 c'est bien une racine parfaite.
2 ≃ 1,414 ce n'est pas une racine parfaite.
√ 12,25 = 3,5 valeur exacte mais ce n'est pas une racine parfaite.
Il faut connaître les premières racines parfaites :
0 = 0
1 = 1
4 = 2
9 = 3
16 = 4
25 = 5
36 = 6
49 = 7
64 = 8
81 = 9
100 = 10
121 = 11
3. Racine carrée d'un nombre au carré
exemples : Calculer
3 = 9 = 3
2
4
2
= 16 = 4
11 = 121 = 11
propriété : Pour tout nombre positif a, on a :
2
a
2
2,7 = 7,29 = 2,7
2
= a . (la racine "annule" le carré.)
II. Calculer avec des racines carrées
1. Produit de racines carrées
propriétés : Pour tous les nombres positifs a et b, on a :
a × b = a × b
exemples :
3 × 27 = 3 × 27 = 81 = 9
√ 5 × √ 0,45 = √5 × 0,45 = √2,25 = 1,5
√ 5 × √ 2 × √ 10 = √ 5 × 2 × 10 = √ 100 = 10
Application à la simplification de racines :
Le but est de faire apparaître des racines parfaites, puis d'utiliser la formule que l'on vient
de voir pour écrire la racine de départ sous la forme a b avec b le plus petit possible.
1.
32 = 16 × 2
= 16 × 2
= 4 × 2
= 4 2
2.
45 = 9 × 5
= 9 × 5
= 3 × 5
= 3 5
3.
72 = 36 × 2
= 6 × 2
= 6 × 2
= 6 2
2. Quotient de racines carrées
propriété : Pour tous les nombres a et b positifs et b non nul :

a
a
=
b b
exemples : Calculer et simplifier :

 
36 36 6
=
=
25 25 5

27
9×3
9
9 = 3
=
=
=
12
4×3
4 4
4
Remarque : Lorsque l'on a un quotient avec des racines, on fait en sorte de ne pas en avoir au
dénominateur.
3
3 × 2
3 2
=
Ainsi,
s'écrira plutôt
.
2
2 × 2 2
exemple : Écrire sous la forme d'un quotient sans racine au dénominateur :
5
7
=
5 7
7
  
15
1×15
1 1 1 3
=
=
=
= =
45
3×15
15 3 3 3
3. Réduire une somme de racines carrées
Nous allons étudier plusieurs exemples pour en dégager les méthodes.
a. Racines simples
A = 5 − 2 5  7 5
A = 1 − 2  7 5
on remarque que
A = 6 5
B = 7 2 − 3 5  8 2 − 5
B =  7  8 2  −3 − 1 5
5
est un facteur commun aux 3 termes.
on a 2 racines carrées
B = 15 2 − 4 5
2
et
5 , on fait 2 factorisations.
C = 9 − 2 3 − 4 − 6 3
C = 9 − 2 3 − 4  6 3
C = 5  4 3
b. Racines plus complexes
Il y a des cas où il va falloir faire apparaître les facteurs communs en simplifiant les racines
carrées.
D = 2 72 − 7 18
D = 2 36 × 2 − 7 9 × 2
D = 2 × 36 × 2 − 7 × 9 × 2
D = 2 × 6 × 2 − 7 × 3 × 2
D = 12 × 2 − 21 × 2
il faut décomposer 72 et 18 pour faire apparaître le
produit d'un carré parfait par un entier identique.
D = −9 2
III. Équations de la forme x2 = a (a nombre relatif)
1. Activité
1. Quels sont les nombres dont le carré est :
a. 49 ?
b. 225 ?
c. 7 ?
2. Existe-t-il des nombres dont le carré est :
a. -9 ?
b. -7 ? Justifier les réponses
3. Combien existe-t-il de solution(s) pour les équations suivantes :
a. x 2 = 16
b. x 2 = 0
c. x 2 = −4
2. Propriété
propriété
• Si x
• Si x
• Si x
: Si a est un nombre relatif :
< 0, alors l'équation x 2 = a n'a pas de solution.
= 0, alors l'équation x 2 = a a une solution unique 0.
> 0, alors l'équation x 2 = a a deux solutions : a et −a .
exemples :
•
•
•
x 2 = −7 n'a pas de solution.
2
x = 8 a deux solutions : 8 et −8 .
 x  22 = 36 : 36 est un nombre positif, donc cette équation a 2 solutions.
x 2=6
x  2 = −6
On a alors : x = 6 − 2 ou x = −6 − 2
x=4
x = −8
vérification : si x = 4, on a : 4  22 = 62 = 36
si x = - 8, on a : −8  22 = −62 = 36
Les deux solutions de l'équation sont 4 et -8.