Feuille d`activités

Trigonométrie
Chapitre 7
Repérage
Exercice no 1
Exercice no 4
Préciser la mesure de l’angle géométrique
correspondant en degré.
π
π
2π
4π
4π
x (rad)
π
5
3
5
5
3
Le cercle ci-contre, de centre
O et de rayon 1, est appelé
cercle trigonométrique.
x (degré)
Exercice no 5
Donner une mesure en radian des angles
géométriques suivants.
⌢
1. Donner la longueur de l’arc I J. Que vaut la
d en degrés ?
mesure de IOJ
d en
2. La mesure d’un angle géométrique IOM
x (degré)
⌢
radians est égale à la longueur de l’arc I M.
Compléter le tableau suivant donnant la correspondance entre la mesure en degré de
⌢
d et la longeur de l’arc I M.
l’angle IOM
mesure en degré
longueur de l’arc
60
90
1
45
75
90
135
150
x (rad)
Exercice no 6
Compléter le tableau.
π
π
x en radian
...
−
3
4
1
cos x
...
−
...
0
√2
3
sin x
... −
...
−1
2
180
5π
6
30
π
Exercice no 2
On considère les nombres suivants :
2π 3π 2π
π 4π 3π
π
π
,− ,
,
,− ,
,
et − .
4
5 4 3
6 3 2
2
7π
6
...
...
...
√
2
−
√2
2
2
Exercice no 7
Placer sur le cercle trigonométrique les pointsimages des nombres réels suivants :
1. Ranger ces nombres dans l’ordre croissant.
π
π 11π
5π
17π
− ,− ,
,−
et
.
3
2 4
4
6
2. Quels nombres appartiennent à ] − π ; π ] ?
3. Quels nombres appartiennent à [0 ; 2π [ ?
Exercice no 8
Angles associés
Placer sur le cercle
un angle x
h
i πtrigonométrique
puis les angles associés :
quelconque dans 0;
2
Exercice no 3
1. Quelle est la nature du triangle OAI ?
π
π
En déduire cos et sin .
3
3
−x ; x + π ; π − x ; x +
π π
;
−x
2 2
Exercice no 9
Intervalles
Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique,
orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspondant aux points-images des nombres réels compris
dans
i
h :π
π 5π
7π
3.
;
∪
; 2π
1. − ; 0
4
2
4
4
h
π 3π
2π
π
πi
2.
;
4. −
; −
∪ 0;
2
4
3
6
2
2. Quelle est la nature du triangle OAB ?
π
π
En déduire cos et sin .
4
4
1
Chapitre 7
Trigonométrie
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Exercice no 10
Donner les valeurs des cosinus et sinus des angles
associés vus dans l’exercice 8 en fonction de cos x
et sin x.
Exercice no 15
Calculer quel que soit x réel, l’expression :
(cos x + sin x )2 + (cos x − sin x )2 .
Exercice no 16
no
Exercice 11
Donner les coordonnées des points A, B et C pointsπ 13π
5π
images des nombres réels ,
et −
sur le
4
6
3
cercle trigonométrique.
3π
π 13π
2π
;− ;
;− .
4
6
4
3
Déterminer cos et sin de :
Exercice no 17
π π
− .
3
4
Exercice no 12
1. Calculer
1
Soit x un nombre réel tel que sin x = et
5
iπ
h
x∈
; π . Calculer cos x.
2
π
2. En déduire cos
=
12
Exercice no 18
Calculette
Exercice no 13
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel x tel que :
h
i π
1. sin x = −0, 8 et x ∈ − ; 0
2
i
πh
2. sin x = 1, 2 et x ∈ 0 ;
2
π
On sait que cos
=
12
En déduire :
11π
1. cos
12
5π
2. sin
12
Exercice no 14
Calculette
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel x tel que :
i
πh
1. cos x = 2, 1 et x ∈ 0 ;
2
√
i
3
πh
2. cos x = −
et x ∈ −π ; −
3
2
√
6+
4
√
6+
4
√
2
√
2
.
.
π
3. cos −
12
13π
4. cos
12
Exercice no 19
Exprimer en fonction de cos ( x ) et sin ( x ).
π
π
+ sin x +
1. cos x +
4
4
π
π
2. sin
+ x − sin
−x
3
3
Mesures d’un angle orienté
−→ −→
OA, OB
−→ −→
2. OA, OC
−→ −→
3. OB, OA
−→ −→
AO, AD
−
→ −→
5. CB, CD
−→ −
→
6. CA, CB
1.
no
Exercice 20
On considère les points A , B, C, D et E, respectivement point-images des nombres suivants :
3π
π
π 2π 5π
,
,
,−
et − .
4 3 6
4
4
Donner une mesure des angles orientés :
−
−→ −→
→ −→
1. OI, OA
4. OD, OB
−→ −→
−→ −→
2. OA, OB
5. OC, OE
−→ −→
−→ −→
3. OC, OA
6. OE, OD
4.
Exercice no 22
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
−
21π
;
4
37π
;
7
−
2π
;
3
23π
10
Exercice no 23
π
.
6
Donner la mesure principale des angles orientés :
1. (−~u, −~v )
3. (−~v, −~v )
Soit ~u et ~v deux vecteurs tels que : (~u, ~v ) =
Exercice no 21
ABCD (en tournant dans le sens direct) est un carré
de centre O.
Donner une mesure des angles orientés :
2. (~v, ~u )
2
4. (−~v, ~u )
Trigonométrie
Chapitre 7
−→ −→
π
π −→ −→
AB, AC = et AC, AD = .
6
3
Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A.
Exercice no 24
SoitA, B et Ctrois points tels que :
−→ −→
π
AB, AC = − .
5
Donner
principale
desangles
orientés :
−→ −→la
mesure
−→ −→
−→ −
→ −→ −→
BA, AC ; AC, BA ; AC, AB ; AB, CA
Exercice no 27
Donnez les mesures principales des angles orientés
ci-dessous sachant que ABCDEF est un hexagone
régulier
−→ −→de
centre O.
OA, OF =
−→ −→
DE, OB =
E
F
×
×
−→ −→
AF, DC =
−→ −
→
DC, EF =
D×
×A
−
O
→ −→
EC, FD =
−→ −→
×
×
EA, CA =
C
B
−
→ −
→
CE, EF =
Exercice no 25
ABCDE est la ligne brisée ci-dessous.
C
− 3π
4
A
π
4
−π
2
B
D
E
Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
Exercice no 26
Soit A, B, C et D des points du plan tels que
Équations trigonométriques
Exercice no 28
On considère l’équation :
√
2
cos x = −
2
Exercice no 31
3
.
2
1. Représenter sur le cercle trigonométrique les
solutions de cette inéquation dans ]−π ; π ].
On considère l’inéquation sin x < −
( E ).
1. Résoudre cette équation dans ]−π ; π ] et placer sur le cercle trigonométrique les points
correspondants.
2. Résoudre cette inéquation dans ]−π ; π ].
2. En déduire l’ensemble des solutions dans R.
Exercice no 32
On souhaite résoudre l’équation suivante dans R :
√
√
4 cos2 x − 2(1 + 3) cos x + 3 = 0
(1)
Exercice no 29
π
On considère l’équation : sin x = sin −
8
√
( E ′ ).
1. On effectue un changement de variable.
On pose X = cos x avec x ∈ [−1 ; 1].
1. Résoudre l’équation ( E′ ) dans R.
a. Quelle équation du second degré est équivalente à (1) ?
2. Résoudre l’équation ( E′ ) dans ]0 ; 4π ]
b. Montrer que √son discriminant
s’écrire : 4(1 − 3)2 .
Exercice no 30
peut
c. Déterminer les solutions de cette équation
du second degré.
1
a quatre solu2
tions dans ]−π ; π ] puis placer sur le cercle trigonométrique les quatre points correspondants.
Montrer que l’équation cos 2x =
2. En déduire les solutions de l’équation (1)
dans ] − π ; π ] puis dans R.
3