Calcul littéral et identité remarquables

Développements et
7 identités remarquables
Chapitre
I.
Révisions les puissances
Exercices de révision (partie exercice)
Synthèse : soit a un nombre non nul et n un entier naturel (positif), alors
1
an = aa….a
a0 = 1
an  n
a
Si n et m sont deux entiers (positifs ou négatifs), alors :
m
an
n
nm
a n  a m  a n m
a
 a nm

a


am
Avec les puissances de 10 :
10n  100....0
10 n  0, 0.........01
Ecriture scientifique : ,  10n
Un seul chiffre sauf 0
Exemples :
4
Ecrire en écriture scientifique : A = 0,0025  107  102 
B=
13  1014  106
2  103 
Exprimer plus simplement : 3x   5x
2
7
3  2a 
3
II. Distributivité (5ème) et double distributivité (4ème)
1. Développer et réduire
3  4 x  1  16 x  1
  2 x  7    6 x  5
x  x  4    x  2
2
4  3 x  3  2  4 x  5 
Réponses :
4 x  2
4x  2
4 x  2
4x  2
2. Vrai ou faux ?
Le développement du produit  a  4 b  5 est ab  5a  4b  20
1
Le développement du produit  x    2 x  6  est 2 x2  5x  3

2
Quel que soit n, on peut écrire n   n 1 n  2  2  n2
Si A= 6  x 1  2 y , B= 3x  2  y  z  et C=  x  2 z  3 , alors
A+B+C = xz
Synthèse :

Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme algébrique
 2x 1 2x  3  4x2  6x  2x  3  4x2  4x  3
Somme algébrique
produit
réduire
développer

Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques, alors
k  a  b   ka  kb
Distributivité
 a  b  c  d   ac  ad  bc  bd
Double distributivité
On développe
On factorise

Rappel : lorsqu’une parenthèse est précédée du signe +, on peut supprimer la
parenthèse sans changer les signes,
lorsqu’une parenthèse est précédée du signe – on peut supprimer la parenthèse en
changeant les signes
3   2 x  3 y  1 
7a  2  (3a  1) 
2 x 2  5x  1  (2 x 2  3x  2) 
Exercices : Développer et réduire : A =  2 x  1 3x  2   4  3x  2 
Puis calculer A si x=0 puis si x=–2
B   2 x  5 x  2    3x  7  3x  2
Développer et réduire : C   5a  2  3a  1  2  a  5  2a  4 
D  7 x  x  3  3  x  3 x  3
ATTENTION :
Développer et réduire : E   x  6 2 x 1   x  6 x  2
F  4 x  2   3x 1 2 x  3
2
G  5  ( x  2)( x  2)
Methode : laisser le –, ouvrir
une parenthèse et développer
 x  6 x  2 
Ensuite, enlever la parenthèse
en changeant les signes.
III. Les identités remarquables
1. Carré d’une somme
Développer  x  3
 y  4
2
2
 a  5
2
 2 x  3
Etablir une conjecture pour le développement rapide de  a  b 
Première identité remarquable :

 a  b
2
6x  7
2
2
2
 a 2  2ab  b2
Preuve : pour tous nombres a et b :
 a  b   a  b a  b  a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2
2

Illustration géométrique (où a et b sont positifs)
(livre page 15)
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
2
2
2
2
2
 x  7
 a 12
3x 1
 2t  4
 5x  2 
A   2 x  1   3x  2 
2
C   5 x  3   x  5 
2
2
2
B  x 2   x  1   x  2 
2
 2 y  9
2
2
D  3  2 x  7    2 x  7 
2
2. Carré d’une différence
Développer  x  3
2
 y  4
2
 a  5
2
 2x  3
Etablir une conjecture pour le développement rapide de  a  b 
Deuxième identité remarquable :

 a  b
2
2
2
 a 2  2ab  b2
Preuve : pour tous nombres a et b :
 a  b   a  b a  b  a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2
2

Illustration géométrique (où a et b sont positifs)
(livre page 15)
6x  7
2
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
2
2
2
2
2
 x  7
 a 12
3x 1
3t  2
 2x 11
A   2 x  3   x  2 
2
B   x 1   3x  2 
2
2
2
2
C   7 x  3   2 x  5 
2
3 y  9
2
D  3  2 x  7    2 x  7 
2
3. Produit d’une somme par une différence
Développer :  x  3 x  3
 3a  2 3a  2
Etablir une conjecture pour le développement rapide de  a  b  a  b 
 x  5 x  5
Troisième identité remarquable :

 2x 1 2x 1
 a  b a  b  a2  b2
Preuve : pour tous nombres a et b :  a  b  a  b  a2  ab  ab  b2  a2  b2
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
3a 13a 1
 2 y  3 2 y  3 7 x  57 x  5 etc…
4. Application au calcul mental
Calculer mentalement : 21² ; 39² ; 19² ; 1921 ; 4951 ; 101² ; 8892
5. Complément méthode : savoir démontrer une égalité
Exemple : prouver que a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc   a  b  c 
2
Méthode : on part d’un des 2 membres, on développe et on vérifie que l’on trouve bien
l’autre membre.
 a  b  c    a  b  c  a  b  c 
2
 a 2  ab  ac  ab  b2  bc  ac  bc  c 2
 a 2  b2  c2  2ab  2ac  2bc
OU
 a  b  c  a  b
2
2
 2  a  b  c  c2
 ......
 a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc