CALCUL LITTERAL

I Développer et réduire une expression littérale, rappels
1) Produit d’un nombre par une parenthèse (distributivité simple)
 k (a + b) = ka + kb
Les nombres a,b et k sont des décimaux relatifs.
Le produit est transformé en somme ou différence.
2) Produits de 2 parenthèses (distributivité double)
 (a + b) (c + d ) = ac + ad + bc + bd Les nombres a ,b, c et d sont des décimaux relatifs.
Le produit est transformé en somme ou différence.
3) Réduire
Réduire une expression, c’est la rendre la plus courte possible en effectuant les opérations que
l’on peut faire, en réunissant les termes semblables (les x² avec les x², les x avec les x, les
nombres avec les nombres, les xy avec les xy…), en supprimant les signes «  » et en
calculant les puissances (comme 3² = 9)
4) Signe « - » devant une (ou plusieurs) parenthèse(s)
 - ( 9 – z) = - 9 + z
 - 7(-5 + a ) = 35 - 7a
 - (a + b) (x – y) = (-a – b) (x - y) = -ax + ay – bx + by
 9(x-y) – (x + y) = 9x – 9y – x – y
On change les signes de l’expression suivant le signe « - »
5) Exemples : on développe et on réduit.
 (x – 3) (x + 5) = x² + 5x – 3x – 15 = x² + 2x – 15
 (3 + c) ( 7 – a) = 21 + 7c – 3a – ac
 7 (x – y) + 5 (y + 2) = 7x – 7y + 5y + 10 = 7x – 2y + 10
 (a + 5) (c - 2 ) – (c – 7) (5 + b) = ac – 2a + 5c – 10 – 5c – bc + 35 + 7b =
ac – 2a + 25 – bc + 7b
II Identités remarquables
1) Les 3 formules
On a :
 (a + b)² = a² + 2ab + b²
 (a - b)² = a² - 2ab + b²
 (a + b)(a - b) = a² - b²
Les nombres a et b sont des décimaux relatifs
2) Exemples
 (x + 4)² = x² + 2× x × 4 + 4² = x² + 8x + 16
 (5x – 7)² = (5x)² - 2 × 5x × 7 + 7² = 25x² - 70x + 49
 (4 – 3x)(4 + 3x) = 4² - (3x)² = 16 – 9x²
III Factoriser
1) Factoriser c’est l’inverse de développer.
 ka + kb = k (a + b)
 ax + ay + bx + by = (a + b) (x + y )
 a² + 2ab + b² = (a + b)²
Les nombres a et b sont des décimaux relatifs
 a² - 2ab + b² = (a - b)²
 a² - b² = (a + b)(a - b)
Factoriser, c’est aussi écrire une expression sous la forme d’un produit.
2) Exemples
a) Avec le facteur commun
 3x + 3y = 3(x+ y)
car 3 est le facteur commun
 (3x + 1)(2x + 7) – 8x(2x + 7) = (2x + 7)(3x + 1 – 8x) = (2x + 7)(-5x + 1)
car (2x + 7) est le facteur commun.
b) Avec les identités remarquables
 4x² - 36 = (2x - 6)(2x + 6)
on a constaté que 4x² est le carré de 2x et 36 celui
de 6 et on utilise une identité remarquable.
 (7x-1)² - 25 = (7x-1+5)(7x-1-5) = (7x + 4)(7x – 6)
on a remarqué qu’il s’agissait de la différence de 2 carrés : (7x-1)² et 25 = 5² et on
utilise une identité remarquable.
 16x² + 8x + 1 = (4x + 1)(4x + 1)
On remarque que 16x² est le carré de 4x et 1 celui de 1. On vérifie que 2 × 4x ×1 =
8x et on est sûr que l’on a une identité remarquable.