Répétition d’algèbre Prérequis : algèbre du secondaire I I. Requis pour : tout Factorisation P ilules ink our ersonnes âles Mise en évidence On met en évidence les symboles apparaissant dans plusieurs termes. En effet, ab + ac = a(b+c). Les parenthèses ne sont pas facultatives, car la multiplication prime sur l'addition. Dans l’exemple suivant, on peut mettre « 3 » en évidence : 3x + 3y + 6z + t = 3(x+y+2z) + t Formules remarquables Les formules de droite s’obtiennent à partir des formules de gauche en remplaçant b par (–b). Essayez ! (a+b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a+b)(a–b) = a 2 – b2 (a+b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (a+b)(a 2–ab+b 2) = a3 + b 3 (a–b)2 = a 2 – 2ab + b 2 (a–b)3 = a 3 – 3a2b + 3ab 2 – b3 (a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3 Remarque : Il faut aussi savoir utiliser ces formules « à l’envers » ! Factorisation Exemple x2 + 11x + 28 = (x+4)(x+7) On a tâtonné ainsi : 28 = 1·28 mais 1+28 ≠ 11 28 = 2·14 mais 2+14 ≠ 11 28 = 4·7 et 4+7 = 11 Exercice 1 Réponses a. 7a(1–a+b) b. (2a+1)(2a–1) c. (a–2)(a2+2a+4) d. (a–b)(x–3) e. (x+3)(x+2) f. (a–1)(a+1)(a+2) g. (x–1)(x+1)(x–2)(x+2) h. (a2–b2)2 i. (a+b)(2+a+b)(2–a–b) j. 3(x+2)(x–8) k. (x+4)(x–7) l. (1–xy)(1+xy) m. (2a2–1)(4a 4+2a 2+1) n. (a+b+x)(a+b–x) o. x(x+3)(x–2) p. (a+1)(a2–4a+7) Factoriser un polynôme de degré supérieur ou égal à 2 revient à l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. Pour vérifier une factorisation, il suffit de développer le produit écrit au deuxième membre et de voir si l’on retrouve le premier membre. On a souvent à factoriser des polynômes du second degré : x2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) Il faut donc trouver (par tâtonnement) deux nombres a et b dont la somme correspond au deuxième terme et le produit au troisième terme. Il est plus facile de commencer le tâtonnement par le produit. Décomposez en facteurs : a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p*. 7a + 7ab – 7a 2 4a2 – 1 a3 – 8 x(a–b) + 3(b–a) x2 + 5x + 6 a3 – a + 2a 2 – 2 (x2–1)2 – 3(x2–1) a4 + b 4 – 2a2b2 (–a–b)3 + 4(a+b) 3x2 – 18x – 48 x2 – 3x – 28 1 – x2y2 8a6 – 1 a2 + 2ab – x2 + b 2 x3 + x2 – 6x a3 – 3a2 + 7 + 3a Effectuez : q. r. s. t. u. v. w. 3·2 + 1 3(2+1) 4 + 3·2 (4+3)·2 3 + 4·3 – 6·2 (3+6) – 5·2 + 9 – 4(2+5) 2 + 3·52 Supprimez les parenthèses inutiles : x. (4·x) + 5(2+x) y. (x+2)(x–1) + (3·x) – (x+2) z. (x–3)2·(x–4) + (x+2)3 − Rappel g. a n 5 b. 7 d. b − a 1+ a b x −3 h. x −2 f. Réponses c. e. g. i. k. 5a 6 4 − a2 2a 5x (x + 2)(x − 3) 1 2+ a x +3 (x − 3)(x +2) b −a a 2 − ab +b 2 b. d. f. h. j. l. 14a 15 a +b ab 1 b− a x x −1 1 − 4x 2x 3 1 x n−1 c. 1 a. ≠ −3 −4 5a + 5b 7a +7b (a − b) 2 d. b−a 1 + a3 + 3a 2 + 3a f. a2b + 2ab + b 6a 6b2 c 4a2b 2 c5 b. a + ab 2ab a3 −1 e. (1− a)3 c. g. a 4n − a 3n a 3n − a2 n h. a a + 2 3 2 a c. − a 2 2 3 e. + x +2 x − 3 2 1 4 g. + − a + 2 2 − a 4 −a 2 x 2 + 9 −6x x2 −5x +6 a 2a − +a 3 5 1 1 d. + a b 1 2a f. − a + b a 2 − b2 3 2x h. 1 + − x − 3 (x − 3)(x −1) b. i. 1 1 1 + + 2 2 x − x − 6 x− 2 x − 5x + 6 j. 4 2 − x 1 −10x 2 − 2 + x x 2x 3 k. a−b 3a 2 a + 2 2 − 3 a −b a + b3 a 2 − ab +b 2 l. x(1+ y) x − y 1 + n−1 − n − 2 xn x x b. a2 − b2 a2b ⋅ 2 a a + 2ab + b 2 ab(a − b) a+b 2 a c d. 2b a. 3ab 20b3 c 2 −a ⋅ ⋅ 2 −5c 9a2 2b c c. a −b −c (a + b) ⋅ ⋅ ac+ bc a 2 + ab + b 2 b 2 − a 2 b. 3 3 2 d. 5a2 b c 10b 2 c2 Effectuez : Exercice 5 Réponses a. x 2 (x + 1) x −1 c. x2 3 −3 3 = = 4 4 −4 Effectuez : Réponses 2b2 3 Exemple : − a. Exercice 4 a. −a −b Effectuez : Exercice 3 a. ≠ Simplifiez les fractions suivantes : Exercice 2 Réponses 3a 4 a. 2c 4 1+ b c. 2b a2 + a +1 e. − (1− a) 2 a −a a = = b b −b b. x – 1 b d. − a 1 1 1 + x + 2 1− + 2 x x x a. ⋅ 1 1 1+ 3 x2 x 1 − x + x2 − c. 1+ x3 x +1 1 x −1 2 1 + x2 −2 x b. 1 1− x 1 1 − b a−b d. a + 1 1 + a +b a−b