I- Cube d`une somme- Cube d`une différence:

D'AUTRES PRODUITS REMARQUABLES
I- Cube d'une somme- Cube d'une différence:
1) Découverte:
(a +b)3 = (a + b)(a+b)2=(a+b)( a2 + 2ab + b2)
(a - b)3 = (a - b)(a - b)2=(a - b)( a2 - 2ab + b2)
En développant et en réduisant on obtient:
En développant et en réduisant on obtient:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
2) Donc:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
3) Exemples d'utilisation:
Développer et réduire:
(t + 5)3 = t3 + 3t2 x 5 + 3t x52 + 53 = t3 + 3t2 x 5 + 3t x 25 + 125 = t3 + 15t2 + 75t + 125
(y - 2)3 = y3 - 3y2 x 2 + 3t x 22 - 23 = y3 - 3y2 x 2 + 3y x 4 - 8 = y3 - 6y2 + 12y - 8
II- Somme de deux cubes - Différence de deux cubes:
1) Découverte:
En développant et réduisant (a+b)( a2 - ab + b2) En développant et réduisant (a - b)( a2 + ab +b2)
On obtient:
On obtient:
2
2
3
3
(a+b)( a - ab + b ) = a + b
(a - b)( a2 + ab + b2) = a3 - b 3
2) Donc:
a3 + b 3 = (a+b)( a2 - ab + b2)
a3 - b 3 = (a - b)( a2 + ab + b2)
3) Exemples d'utilisation:
Factoriser:
z3 + 8
On remarque que 8 est le cube de 2 donc:
z3 + 8 = (z + 2)( z2 - z x 2 + 22) = (z + 2)( z2 -2 z + 4)
y3 - 125
On remarque que 125 est le cube de 5 donc:
y 3 - 125 = (y - 5)( y2 - y x 5 + 52) = (y - 5)(y2 -5y + 25)
III- Carré d'une somme de plus de deux nombres:
(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c)
En développant et en réduisant, on obtient:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Pour calculer le carré d'une somme de plus de deux termes, on fait la somme des carrés de
chacun des termes et de tous les doubles produits.
Ce résultat se généralise quel que soit le nombre de termes dans la parenthèse. Ainsi:
(a + b + c + d + e)2
= a2 + b2 +c2 +d2 +e2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de
S'il y a des soustractions dans la parenthèse, la formule peut toujours s'appliquer, à condition
d'appliquer la règle des signes pour chacun des doubles produits.
Exemples:
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
1
TRIANGLE DE PASCAL - DEVELOPPEMENT DE (a + b)n
I- Triangle de Pascal:
On part du triangle de nombres:
1
1 1
On le complète de la manière suivante
1
1 1
1 2 1
Puis:
1
1 1
1 2 1
1 3
Puis
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Le termes en bleu étant obtenus en additionnant les deux termes en rouge
En continuant le même procédé, on obtient successivement:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Puis:
1
1 1
1 2 1
1 3 3
1
1 4 6
4
1
1 5 10 10 5 1
Et on peut continuer ainsi indéfiniment.
Le triangle de nombres obtenu par ce procédé est appelé triangle de Pascal
2
II - Développement de (a +b)n:
1) Découverte:
Nous savons que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Calculons (a + b)3 et (a+b)4
(a +b)3 = (a + b)(a+b)2=(a+b)( a2 + 2ab + b2)
En développant et en réduisant on obtient:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a +b)4 = (a + b)2(a+b)2= ( a2 + 2ab + b2)( a2 + 2ab + b2)
En développant et en réduisant on obtient:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4
Comparons les coefficients des résultats obtenus avec les nombres du triangle de Pascal:
1
1
1
1
2
1
(a + b)2 = 1a2 + 2ab +1b2
1
3
3
1
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
1
4
6
6
1
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
2) On a donc la propriété suivante:
Les coefficients du développement de (a +b)n sont les nombres de la ligne numéro n du triangle
de Pascal ( la ligne constituée d'un seul 1 n'étant pas comptée dans la numérotation)
Remarque pour les exposants:
On commence par l'exposant n pour a (sans facteur b)
Puis a prend l'exposant n-1 et b l'exposant 1
Puis a prend l'exposant n-2 et b l'exposant 2
Et ainsi de suite, l'exposant de a diminuant de 1 et celui de b augmentant de 1 lorsqu'on passe
d'un terme au suivant du développement, la somme des deux exposants restant toujours égale à n
3) Exemple d'utilisation:
Développer et réduire (t + 2)5
On commence par écrire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne numéro 5:
1
1 1
1 2 1
1 3 3
1
1 4 6
4
1
1 5 10 10 5 1
Puis on prend pour coefficients du développement les nombres de la ligne numéro 5.
Donc:
(t + 2)5 = 1t5 + 5t4 x 2 + 10t3 x 22 + 10t2 x23 + 5t x 24 + 1 x 25
= t5 + 5t4 x 2 + 10t3 x 4 + 10t2 x 8 + 5t x 16 + 32
= t5 + 10t4 + 40t3 + 80t2 + 80t + 32
III - Développement de (a -b)n:
Les coefficients sont les mêmes que pour le développement de (a +b)n, avec une alternance de +
et de -, en commençant par un +
Exemple
Développer et réduire (t - 2)5
(t - 2)5 = 1t5 - 5t4 x 2 + 10t3 x 22 - 10t2 x23 + 5t x 24 - 1 x 25
= t5 - 5t4 x 2 + 10t3 x 4 - 10t2 x 8 + 5t x 16 - 32
= t5 - 10t4 + 40t3 - 80t2 + 80t - 32
3