Dérivation : Exercices

Dérivation : Exercices
Amerinsa - Ecole d’été
Exercice 1 : Nombre dérivé de fonctions de base
Soit x0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir
x0 pour que la fonction soit dérivable (intervalle de dérivabilité), et quel est alors le nombre
dérivé de la fonction en x0.
1
2) f : x 6 x
1) f : x 6
x
Exercice 2 : Nombre dérivé de sinus et cosinus
⎤ π⎡
Soient x un réel de l’intervalle ⎥ 0, ⎢ , et M le point du cercle
⎦ 2⎣
JJG
JJJJG
n
trigonométrique C (ci-contre) tel que l’angle OI , OM ait pour
(
)
mesure x.
1) Exprimer en fonction de x les distances OC, OS et IT, et les
aires des triangles OIM et OIT et du secteur angulaire IOM (aire
grisée).
2)En déduire que sin (x) < x < tan (x)
3) Déduire de la relation précédente que : pour 0 < x <
la limite de
π
2
, on a cos x <
sin x
< 1 . En déduire
x
sin x
quand x tend vers 0.
x
2
π
1
⎛ sin x ⎞ 1 − cos x
.
4) Vérifier que, pour 0 < x < , on a :
⎜
⎟ =
2
1 + cos x ⎝ x ⎠
x2
1 − cos x 1
1 − cos x
En déduire que : lim
= et lim
=0
2
x →0
x
→
0
2
x
x
5) En déduire la limite du taux d’accroissement de la fonction sinus entre x0 et x0+h pour x0
réel, quand h tend vers 0. Quel est donc le nombre dérivé de sinus en x0 ?
(on rappelle que : sin (a+b)= sin a cos b – cos a sin b).
Exercice 3 : Dérivation en un point
1)
On
considère
f (1 + h ) = 2 +
la
fonction
définie
sur \*
par
f ( x) = x +
1
.
x
Montrer
que
h2
, et en déduire que f est dérivable en 1 et le nombre dérivé de f au point 1.
1+ h
2) Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f(-1+h), dire si f est dérivable en -1, et le cas
échéant donner le nombre dérivé de f en -1 :
i) f1 : x 6 ( x − 1)
3
ii) f 2 : x 6 ( x 2 − 1)
2
iii) f3 x 6 (1 + x )( 2 − x )
iv) f 4 : x 6 x3 + 1
3) Soit g la fonction définie par g(x)=|x|. Calculer le taux d’accroissement de g en 0, en
distinguant les cas h>0 et h<0. Que peut-on en conclure pour g ?
Exercice 4 : Fonctions usuelles
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
x 6 cos x
1
x6 2
x
x 6 sin x
x 6 tan x
x6 3 x
x 6 x2
x 6 ln x
x 6 ex
x 6 exp ( x )
x 6 a , a∈\
Exercice 5 : Composition
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
x 6 cos ( 2 x 2 + 3)
x 6 tan ( x 2 )
x 6 ln ( x )
⎛ 1 ⎞
x 6 sin ⎜
⎟
⎝ x +1⎠
x 6 exp ( ln ( x ) )
x 6 ln
( x)
x 6 tan 2 ( x )
x 6 e3 x
5
x 6 1 + sin ( x 2 )
Exercice 6 : Opérations
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
x 6 cos ( 2 x 2 + 3) + sin ( 3 x )
x 6 tan ( x 2 ) cos ( x 2 )
x6 x+
y6
1
x
3y2 + 5 y +1
y2 + y +1
ξ 6 3ξ 2 +
1
2ξ
⎛ 1 ⎞
x 6 sin ⎜
⎟ sin ( x )
⎝ x +1⎠
exp ( x 2 + 3x + 2 )
x6
3x + 2
x6
ln
( x)
1 + 2 exp ( 5 x )
1⎞
⎛
z 6 ⎜2+ ⎟
z⎠
⎝
( z − 1)
⎛ •⎞
• 6 ln ( 2 •2 −5 • ) × exp ⎜ − ⎟
⎝ 5⎠
1⎞
⎛
x 6 tan 2 ⎜ x 5 + 3x + ⎟
x⎠
⎝
2x +1
x6
3x − 1
x6
1
2x +1
‫ קּ‬6 ( ‫קּ‬-1)4 (‫קּ‬+1)4
.6
.−3
2.+1
Exercice 7 : Interprétation graphique
On considère la fonction définie par f ( x ) = x 2 + 1 , et sa représentation graphique Cf.
1) Sur quel intervalle Df est-elle définie ? Sur quel intervalle Df’ est-elle dérivable ? Calculer
sa dérivée, et en déduire les tangente à Cf au point d’abscisse 0 (si 0∈ Df’ bien sûr…) et aux
bornes de Df (si c’est possible).
2) La quantité lim f ( x ) − x existe-t-elle ? Si oui la calculer et en déduire des éléments
x →+∞
caractéristiques de Cf.
Exercice 8 : Interprétation numérique
1) Ecrire le développement limité de x 6 1 − x en 0, et en déduire une valeur approchée des
nombres suivants : 0,999 et 0,998
2) En utilisant la même technique, calculer une valeur approchée des nombres suivants :
1
3
i) a =
ii) b = 63,9996
iii) c = ( 4, 007 )
4, 0008
1
iv) d =
v) j = ln ( 3, 0005 )
vi) k = exp (1, 003)
2
( 2, 0003)
on donne :
ln(3) ≈ 1,0986122886681096913952452369225
e ≈ 2,7182818284590452353602874713527
à vous d’utiliser ces valeurs approchées avec la précision adaptée.
Exercice 9 : Dérivabilité et continuité
Etudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes :
si x ≤ -e
⎧ − ln ( − x )
⎪
⎪x
1) f définie sur \ par : f : x 6 ⎨
si - e < x < e
⎪e
si x ≥ e
⎪⎩ln ( x )
⎧ x 6 cos 2 (π x )
si x ∈ [ 0;1]
⎪
+
2) g définie sur \ par : g : ⎨
ln x
si x > 1
⎪ x 6 1+
x
⎩
Exercice 10 : Problème de sommes
1 − xn
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère la fonction : f : x 6
1− x
1) Déterminer sa dérivée sur ]-∞ ;1[ et ]1 ;+∞[
2) Montrer que pour tout réel x différent de 1, f ( x ) = 1 + x + x 2 + ... + x n −1
3) En déduire une expression de Σ = 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + ( n − 1) x n − 2
Exercice 11 : Résonnons !
U
Considérons la formule donnant l’impédance d’un circuit RLC : I =
.
2
1 ⎞
⎛
R + ⎜ Lω −
⎟
Cω ⎠
⎝
1) A quoi correspond chacune des lettres de cette formule ? Qu’exprime cette formule ?
2) On considère U, ω, R et C constants. Quelle valeur doit avoir L pour que I soit maximum ?
3) On considère U, ω, R et L constants. Quelle valeur doit avoir C pour que I soit maximum ?
4) On considère U, R, L et C constants. Quelle valeur doit avoir ω pour que I soit maximum ?
(on dit alors que le circuit est en résonance)
2
Remarque : utiliser la dérivation n’est pas toujours la meilleure méthode.
Exercice 12 : Racines
Soit f la fonction définie sur \ par : f ( x ) = x3 − 3 x − 1
1) En étudiant les variations de cette fonction, montrer que l’équation (E) : f ( x ) = 0 admet 3
solutions (Vocabulaire : ces solutions sont appelées racines du polynôme X 3 − 3 X − 1 )
2) Calculer cos (3α) en fonction de cos (α). Puis, en posant x = cos(α), en déduire les trois
solutions de (E) sous forme trigonométrique.
Exercice 13 : Etude de fonction
\* → \
On considère la fonction f :
x −1
x
x6 −
x
2
1) Déterminer les restrictions de la fonction dérivée f’ aux intervalles ]0 ;1[ et ]1 ;+∞[. f estelle dérivable en 1 ? Quel est le signe de f’ (x) ? (on pourra si nécessaire effectuer le
2
changement de variable : u = x 2 − 1 ).
2) x étant supérieur à 1, mettre f(x) sous la forme : f ( x ) =
x
− 1 + ε ( x ) , avec lim ε ( x ) = 0 .
x →+∞
2
En déduire une asymptote à la courbe représentative de f.
3) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Exercice 14 : Bijection or not bijection ?
(
)
Soit f la fonction définie par f ( x ) = ln x + x 2 + 1 .
1) Quel sont les domaines de définition et de dérivabilité de cette fonction ?
2) Quelle est la dérivée de f ?
3) f est-elle une bijection ?
Exercice 15 : Etude de fonction
sin x
⎧
si x ∈ ]0; +∞[
⎪ f ( x) =
On cherche à étudier la fonction f définie sur \ par : ⎨
x
⎪ f (0) = 1
⎩
1) Dérivation de f :
Montrer que f est dérivable sur ]0 ;+∞[ et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
+
2) Signe de f :
a) Déterminer les nombres réels x ≥ 0 tels que f(x)=0. On rangera ces nombres en une suite
strictement croissante (a1, a2,…,ak,…).
b) Etudier le signe de f.
3) Encadrement de f :
a) Prouver que pour tout réel x strictement positif, −
En déduire la limite de f en +∞.
1
1
≤ f ( x) ≤ .
x
x
1
1
et ceux tels que f ( x ) = − .
x
x
On rangera ces nombres dans deux suites strictement croissantes (b1, b2,…,bk,…) et
(c1, c2,…,ck,…).
c) En déduire la position de la courbe Cf représentative de f et des courbes H+ et H1
1
représentatives respectivement de x 6 et x 6 − . Comparer les tangentes à Cf et H+ au
x
x
point d’abscisse bk , ainsi que les tangentes à Cf et H- au point d’abscisse ck.
b) Déterminer tous les nombres réels x positifs tels que f ( x ) =
4) Variations de f :
⎤ π⎡
a) Etudier le signe de x 6 tan ( x ) − x sur ⎥ 0; ⎢ . En déduire le signe de f’ sur cet intervalle.
⎦ 2⎣
b) Prouver que pour tout entier k ≥ 1, il existe un élément xk et un seul de
π
⎤ π
⎡
⎥⎦ − 2 + kπ ; 2 + kπ ⎢⎣ tel tan ( xk ) = xk . Montrer que xk > kπ.
c) En déduire le signe de f’ sur ]0 ; x1[, puis sur chaque intervalle ] xk ; xk+1 [, où k∈` *.
5) Etude de f en 0 :
a) Prouver que pour tout réel x≥0, 0 ≤ x − sin x ≤
x3
. Pour cela, introduire la fonction φ
6
x3
définie sur \ par φ ( x ) = x − sin x + , calculer ses dérivées premières, deuxième et
6
troisième, et en déduire le signe de φ.
b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f’(0).
+
6) Courbe représentative de f
a) Dresser un tableau de variations de f sur [ 0;3π ] .
b) Tracer sur une même figure les courbes H+, H- et Cf en se limitant à l’intervalle [0 ; 3π], et
placer les points ak, bk, ck et xk.
(On utilisera les valeurs approchées x1 ≈ 4,49 et x2 ≈ 7,73. Unités graphiques : 1 cm sur l’axe
des abscisses, 3 cm sur l’axe des ordonnées.)