Variations 2

Bac Pro
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DÉRIVÉE ET VARIATIONS
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I- Dalle rectangulaire
Une dalle rectangulaire en béton a un périmètre de 24 mètres.
Soit x la longueur en mètres de l'un de ses côtés.
1. Exprimer en fonction de x la longueur y de l'autre côté.
2. Exprimer en fonction de x l'aire S(x) de la dalle.
3. Sur quel intervalle I peut-on définir la fonction S ?
4. Calculer S’(x).
5. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire de la dalle est maximale.
6. Calculer cette aire.
II- Résistance de l'air
Lorsqu'un véhicule roule, la résistance R de l'aire qui s'oppose à son déplacement est donnée par la
R = Error! Cx  1,3  S  v 2
formule :
où Cx est le coefficient de « pénétration dans l'air » qui dépend de la forme du véhicule.
S est le maître-couple, c'est-à-dire l'aire de la plus grande section transversale du véhicule.
1. Pour Cx = 0,34 et S = 1,50 m2, étudier les variations de la fonction R(v) pour v variant entre 0 et 36 m/s.
2. Déterminer v pour R = 300 N.
3. Illustrer graphiquement ces résultats.
III- Dragster
Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l'accélération constante, on démontre
que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la
distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction : d(t) = 5 t
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On se propose de calculer la vitesse du dragster après 3 secondes.
1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?
2. Représenter graphiquement d en fonction de t.
3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne Vm du dragster entre les instants 3 et 3 + h ?
4. Calculer cette vitesse moyenne pour les valeurs de h du tableau ci-dessous.
h
1
0,1
0,01
0,001
0,000 1
0,000 01
Vm(3 ; 3 + h)
5. D'après le tableau, que peut-on dire de Vm quand h devient petit ?
6. Que représente physiquement cette quantité ?
IV- C'est les combles
Ph. Georges
Maths
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On désire aménager les combles sous un toit en construisant une pièce d'habitation.
Le toit est représenté par un triangle isocèle ABC, de sommet C avec :
OC = 5, OA = OB =6 (en mètres) où O est le milieu de [AB].
La pièce est représentée en coupe par le rectangle FDEG. On note x la longueur AF.
1. Dans quel intervalle x varie-t-il ?
2. Exprimer l'aire f(x) de FDEG en fonction de x.
3. Déterminer f’(x).
4. Dresser en le justifiant le tableau de signe de f’(x).
5. En déduire le tableau de variations de f.
6. En déduire les dimensions du rectangle FDEG ayant l'aire maximale, et cette aire.
V- Volume d'une boîte
On étudie les variations du volume V d'une boîte à base carrée dont le coté dépend de x.
Soit une feuille carrée A'B'C'D' de côté 24 cm. Dans chaque angle, on découpe un carré de côté x.
On obtient un carré ABCD.
1. Ensemble de définition de la fonction volume.
1.1. Déterminer en fonction de x la mesure du côté du carré ABCD.
1.2. Dans quel intervalle x varie-t-il ?
1.3. Dans quelle situation est-on aux bornes de cet intervalle ?
2. Calcul du volume en fonction de x.
2.1. Calculer l'aire A(x) du carré ABCD.
2.2. Calculer le volume V(x) de la boîte (sans couvercle) obtenue par pliage des cotés de ce carré.
3. Calculer la fonction dérivée V’(x) et étudier son signe suivant les valeur de x sur [0 ; 12].
4. Dresser le tableau de variation de V.
5. Déterminer pour quelle valeur de x le volume de la boîte est maximum et quel est ce volume.
Ph. Georges
Maths
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Bac Pro
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Dalle rectangulaire
1. Exprimer en fonction de x la longueur y de l'autre côté.
2. Exprimer en fonction de x l'aire S(x) de la dalle.
3. Sur quel intervalle I peut-on définir la fonction S ?
4. Calculer S’(x).
5. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire de la dalle est maximale.
6. Calculer cette aire.
1. y=12-x
2. S(x)=12x-x²
3. I=[0;12]
4. S'(x)=12-2x
5. x=6m
6. S=36m²
Dragster
1.En utilisant la formule donnée, la distante parcourue en 10 secondes est :
2.
3. La vitesse moyenne entre deux instants est égale au rapport de la distance parcourue sur la
durée. Ainsi :
4.
5.
6. Cette quantité représente la vitesse instantanée à t = 3 s.
Ph. Georges
Maths
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