Calcul d`aire par exhaustion

Visualisation de la méthode par
exhaustion pour calculer l’aire
sous une courbe

Bien comprendre le principe d’aire par
exhaustion en utilisant une série d’aires de
rectangles
Introduction

Intégrer aura pour nous deux sens :

Dans un premier temps, intégrer voudra dire: « calculer le tout
de ou donner la somme ou le total de ». Par exemple,
rechercher le déplacement total lorsque nous connaissons la
fonction vitesse. Ce sens donné au mot intégrer fait référence à
l’intégrale définie et est lié au calcul d’aire sous la courbe.

Ensuite, intégrer signifiera « trouver une fonction dont la
différentielle est connue ». Par exemple, lorsque nous
connaissons la fonction vitesse, nous pouvons trouver la
fonction position.
2
Mouvement et calcul d’aire
Cas d’une vitesse constante


Le déplacement d’un mobile dans un certain intervalle de temps
est donnée par :
déplacement = vitesse × Δ temps
Dans le cas où la vitesse est positive, le déplacement correspond
à la distance parcourue.
Vitesse en fonction du temps
Dans le cas d’une
vitesse constante,
le déplacement
correspond à l’aire
du rectangle. Que
se passe-t-il dans le
cas d’une vitesse
variable.
3
vitesse (m/min)
vitesse × Δ temps =
déplacement
temps (min)
Mouvement et calcul d’aire
Cas d’une vitesse variable
Dans le cas d’une vitesse
variable, Comment peut-on
calculer le déplacement?
Vitesse au temps t
Temps t (min) Vitesse (m/min)
0
350
2
400
4
450
6
550
8
400
10
375
4
600
500
vitesse v (m/min)
Comment trouver une approximation
du déplacement si nous possédons
l’information suivante sur la vitesse:
Vitesse en fonction du temps
400
300
200
100
0
0
2
4
6
temps t (min)
8
10
Calcul du déplacement à l’aide du calcul des
aires de rectangles
Dans le cas d’une vitesse variable,
nous pouvons approximer le
déplacement par la somme des aires de
rectangles.
Nous découpons alors notre intervalle de
temps en petits sous intervalles de temps
et sur chacun d’eux nous assumons que la
vitesse est constante.
700
m
800
m
900 1100
m
m
800
m
Dans l’exemple illustré ci-contre, nous avons découpé l’intervalle en 5 sous
intervalles de 2 minutes et, pour chaque sous intervalle, nous assumons
que le mobile roule à une vitesse constante.
Pour chaque sous intervalle de temps, l’aire du rectangle nous donne alors une
approximation du déplacement du mobile dans ce sous intervalle.
Le déplacement total est la somme de ces petits déplacemnents.
5
Comment évaluerons-nous le déplacement total?
Vers une meilleure approximation du
déplacement total
Nous pouvons obtenir
une meilleure
approximation en
augmentant
indéfiniment le nombre
de sous intervalles.
6