OSCILLATEUR LINÉAIRE 1) Définition . Un oscillateur linéaire est un point matériel astreint à se déplacer sur une droite fixe dans (R) galiléen et soumis à une force attractive vers un point fixe O, d'intensité proportionnelle à la distance entre O et le point matériel. f f = −k OM, k 0, f = −k x. x' x d OM O M à t = 0 : OM = x 0 i ; = v0 i . dt L'oscillateur n'est pas amorti si f est la seule force appliquée. Il est amorti s'il est soumis à une force de frottement f ', par exemple un frottement fluide f ' = −h v , h 0 est le coefficient de frottement: f ' =−h ẋ . dL O Moment cinétique en O : LO = OM∧m v = 0 ; =M O f M O f ' = 0 . dt Énergie : on peut considérer la force f comme une force intérieure au système (O,M) dérivant alors d'une dE 1 2 énergie potentielle E p telle que f = grad Ep ; f = −k x = − p ⇒ E p = k x constante. dx 2 1 2 En choisissant E p = 0 quand x = 0 : E p = k x . 2 1 Entre les abscisses x1 et x 2 , l 'énergie potentielle varie de ∆ E p = x 22 −x12 = −W f . 2 1 1 2 2 Energie mécanique totale : E = E cE p ; E = m ẋ k x . 2 2 t t 2 dt = −∫ h v dt 0. ∆ E = W f ' = −∫ h v⋅v 2 2 t1 t1 L'énergie totale diminue constamment, sauf si l'oscillateur n'est pas amorti (h = 0). 2) Oscillateur non amorti : régime libre . 2 f = m a ⇒ −k x = m ẍ ou ẍω0 x = 0 d 'où x = A cosω0 tϕ et ẋ =−A ω0 sin ω0 tϕ . v 20 v x 0 = Acos ϕ 2 ⇒ A = x 0 2 ; tan ϕ = − 0 . ω0 ω0 x 0 v 0 = −A ω0 sin ϕ 1 1 1 1 1 1 E = k x 2 m ẋ 2 = k A2 cos2 ω0 tϕ m A 2 ω20 sin 2 ω0 t ϕ = k A 2 = m A 2 ω02 . 2 2 2 2 2 2 ] 3) Oscillateur amorti: régime libre . ω k h k h f f ' = m a ; ẍ = − − ẋ ; on pose : = ω20 et = 2λ = 0 . m m m m Q ω 2 0 2 D 'où ẍ2 λ ẋω0 x = 0 ou ẍ ẋω0 x = 0. Q 2 2 2 2 Equation caractéristique : r 2 λ rω0 = 0 ; ∆ ' = λ −ω0 . a . ∆ ' 0, λ ω0 : amortissement élevé , régime apériodique . Les deux racines sont réelles négatives: r 1 = −λω ; r 2 −λ−ω avec ω = ∆ ' = λ 2−ω02 . x = A eω t B e−ω t e−λ t avec x 0 = x 0 = AB et ẋ 0 = v 0 = −λωA −λω B = −λ x 0 ω A−B. A B = x 0 v λ x 0 A −B = 0 ω x=e −λ t x0 ] ⇒ A= v λ x 0 1 x0 0 2 ω ; B= v λ x 0 1 x0− 0 . 2 ω v 0 λ x0 eω t e −ω t v0 λ x 0 eω t −e−ω t −λ t =e x 0 ch ω t sh ω t . 2 2 ω ω b . ∆ ' = 0, λ = ω0 : régime critique . Une racine double réelle négative: r =−λ = −ω0 ; x = A tBe− λ t . x 0 = B ; v0 = A−λ B ; A = v 0 λ x 0 ; x = [ v 0 λ x 0 tx 0 ] e−λ t . 1 c .∆ ' 0, λ ω 0 : amortissement faible , régime pseudo−périodique. Les deux racines sont complexes conjuguées: r 1 =−λ j ω ; r 2 −λ− j ω avec ω = ω0 −λ . 2 x = Ae jω t Be − jω t e−λ t avec A = j ωt −j ωt v 0 λ x 0 e −e 2j ω 2π 2π Pseudo−période : T = = = ω ω20−λ 2 x = e −λ t x 0 e − jω t e 2j jω t Décrément logarithmique δ : d . Exemple : x 0 = 0 et v 0 0 . v λ x 0 1 x 0 0 2 jω 1− r2 t ẍ = A r e −r e 2 1 r1 t 2 r2 t 2 v 0 λ x0 sin ω t . ω λ 2 ω0 x tT 2πλ = e−λ t = e −δ ; δ = λ T = . x t ω20−λ 2 1 r1 t T0 . 2 2 xm Régime apériodique : v v r t r t A = 0 =−B ; x = 0 e −e . 2ω 2ω ẋ = A r 1 e −r 2 e v λ x 0 1 x0− 0 . 2 jω = e−λ t x 0 cosω t T0 ; B= 2 x(t) v0 2 v(t) r 1 ln 1 = t m . r 1 −r 2 r2 ; ẋ = 0 ⇒ t = r 1 ; ẍ = 0 ⇒ t = ln 1 r1 −r 2 r2 r 1 ; x =0 ⇒ t = ln 1 = 3t m . r 1 −r 2 r2 0 2 = 2t m . t tm 3 x = A r e −r e 3 1 r1 t 3 2 r2 t v0 λe v0 Régime critique : A = v 0 ; B = 0 ; x = v 0 t e−λ t . ẋ = v0 1−λ t e−λ t ẍ = −λ v 0 2−λ te− λ t x = λ 2 v0 3−λ t e−λ t 1 . λ 2 ; ẍ = 0 ⇒ t = . λ 3 ; x = 0 ⇒ t = . λ ; ẋ = 0 ⇒ t = Régime pseudo−périodique : v A = 0 = −B. 2 jω v x = A e −λ jω t −e−λ jω t = 0 e−λ t sin ω t. ω T x = 0: sin ω t = 0 t=n . 2 v 0 −λ t T T x =± e sin ω t = ±1 t = n . 4 2 ω v v = ẋ = 0 e−λ t ω cosω t−λ sin ω t ω λ v = v0 e−λ t cosω t − sin ω t ω ω −λ t λ v = v0 0 e cosω tϕ avec tan ϕ = . ω ω T T ϕT v = 0 : cosωt ϕ = 0 ; t = n − . 4 2 2π 0 v0 t 1 λ e2 x v 0 −λ t e ω 0 tm v T v0 v0 0 2 tm t ω0 −λ t e ω T t 4) Oscillateur amorti : régime sinusoïdal forcé . L'oscillateur est soumis à une force excitatrice f ' ' = f 0 cos ω t ⇒ f = f 'f '' = m a . f D' où x2 λ xω20 x = 0 cos ω t dont la solution s ' écrit x t = x 1 tx 2 t . m x 1 t est la solution générale de l'équation sans second membre et correspond au régime libre déjà étudié. −λ t Pour λ t ≫ 1, e ≈ 0 donc x 1 t ≈ 0. x 2 t est une solution particulière de l'équation complète de la forme a cosω tϕ. Pour λ t ≫ 1 et en régime sinusoïdal permanent, la réponse x(t) a même pulsation que la force excitatrice (oscillations forcées). Pour déterminer a et ϕ on peut utiliser les grandeurs complexes associées à x et f '': f '' = f 0 e jω t et x t = a e jω tϕ = X e jω t ; a = ∣X∣ et ϕ = argX. f f 1 L'équation différentielle devient: −ω2 X2 j λ ω Xω20 X = 0 d ' où X = 0 2 . m m ω0 −ω22 j λ ω f 1 a = ∣X∣ = 0 ; ϕ = argω20 −ω2 −2jλ ω. 2 2 m ω0 −ω 2 4 λ 2 ω2 a . Etude de l ' amplitude de la réponse . f f f0 a 0 = 0 2 = 0 ; a ω0 = = Qa 0 ; a ∞ = 0. k m ω0 2 λ m ω0 a f0 ω2 −ω20 2 λ2 da = − 2ω . ar 3 m dω 2 2 2 2 2 2 ω0−ω 4 λ ω f Cette dérivée s'annule pour ω = 0 et pour la pulsation Q 0 k [ ] ω0 2 ω λ= 0 2 ω λ 0 2 de résonance d ' amplitude ωr telle que ω2r = ω20−2 λ 2 . λ ω0 1 ou Q . 2 2 f a 0ω20 1 Amplitude à la résonance = a r = 0 = . m ω40 −ω4r ω04−ω4r Si λ augmente , ω r et a r diminuent et si λ 0, ω r ω0 et a r tend ∞ (rupture de la liaison élastique entre les points M et O). 2 f0 k 2 ωr n 'existe que si ω0 2 λ soit λ 0 ωr ω 0 Bande passante : elle est définie par les deux pulsations ω1 et ω2 telles que a r = a 2 . a 1 Ces deux pulsations n'existent que si r a 0 soit λ ω0 2− 2 = 0,383ω0 . 2 2 4 2 2 4 4 Dans ce cas, ω1 et ω2 sont solutions de ω −2 ωr ω 2 ω r −ω0 = 0 ⇒ On remarque que ωr est la moyenne quadratique de ω1 et ω2 : ω2r = Si la résonance est très aigüe, λ ≪ ω0 , ω4r = ω40 1− 2λ ω20 2 2 ≈ ω04 1− [ ω12 = ω2r − ω40 −ω4r ω22 = ω2r ω40 −ω4r 1 2 ω ω22 . 2 1 2 4λ . ω20 ω40 −ω4r ≈ 4 λ2 ω20 ; ω12 ≈ ω20 −2 λ 2−2 λ ω0 ≈ ω20 −2 λ ω0 ⇒ ω1 ≈ ω0 −λ et de même ω2 ≈ ω0 λ . ω ω ∆ ω = ω2 −ω1 ≈ 2 λ . L'acuité de la résonance est caractérisée par 0 ≈ = Q. ∆ ω 2λ 3 ω b . Etude de la phase de la réponse . ϕ = argX = argω20 −ω2 −2 j λ ω. π ϕ0 = 0 ; ϕ ω0 =− ; ϕ∞ = −π. 2 2 2 ω ω0 dϕ = −2 λ 2 . dω ω −ω20 2 4 λ2 ω2 dϕ dω =− 0 2λ 1 =− ; ω20 Q ω0 dϕ dω ω0 ϕ ωo 0 λ faible λ élevé π 2 1 2Q =− =− . λ ω0 ω -π Remarques : • si la courbe a un point d'inflexion, l'abscisse de ce point n'est pas ω0 , ni ωr si elle existe mais ωi telle que ωi = ω0 2 2 λ 2 1− 2 −1. ω ωr π ; si la résonance est aigüe ω r ≈ ω0 et λ ≪ ω0 : tan ϕr −∞ ; ϕ r . 2 λ 3π λ π Dans ce cas : ω1 ≈ ω0 −λ ; tan ϕ1 =− 1− ≈ −1 ⇒ ϕ1 ≈ − et de même pour ω2 , ϕ 2 ≈ − . 4 4 2 ω0 c .Etude de la vitesse . aω • s'il y a résonance : tan ϕr = − v = ẋ =−a ωsin ω tϕ. amplitude de la vitesse: a ω = ω 0 : aω 0 ω ∞ : aω 0 ω = ω0 : a ω = d a ω f 0 = m dω f0 ω . m ω2 −ω20 2 4 λ2 ω2 λ faible λ élevé f0 mω0 f0 f = 0. h 2λ m ω40 −ω4 [ ω −ω 4 λ f0 h 3 2 2 d a ω ; dω f0 f0 = . 2 = k m ω0 0 0 ω0 ω ω ] L'amplitude de la vitesse est toujours maximale pour ω = ω0 et on remarque que la dérivée à l'origine est indépendante de λ toutes les courbes ont même tangente à l'origine. Bande passante pour la vitesse : 2 1 f0 aω= ⇒ 2 2 λ ω = ω2 −ω20 4 λ 2 ω2 . 2 2 λ m 2 2 ω0 ω1 = −λ λ ω0 D' où ω 2−ω20 2 λ ω ω2−ω02−2 λ ω = 0 ⇒ ; ∆ ω = ω −ω = 2 λ ; = Q. 2 1 2 2 ∆ω ω2 =λ λ ω0 2 2 2 0 2 [ ω0 est la moyenne géométrique de ω1 et ω2 : ω0 = ω1 ω2 . 5) Notion d ' impédance mécanique . f0 jω . 2 m ω0 −ω2 2j λ ω On remarque l'analogie avec l'impédance électrique d'un circuit RLC série avec les correspondances R ↔ h , 1 L ↔ m , C ↔ , que l'on peut retrouver à partir des équations différentielles régissant les deux systèmes: k R 1 e h k f '' q̈ q̇ q= et ẍ ẋ x = . L LC L m m m On a aussi les correspondances q ↔ x , i ↔ v , e ↔ f ''. Cette analogie permet de remplacer l'étude d'un oscillateur mécanique par celle d'un circuit électrique dont les grandeurs sont plus faciles à mesurer ou modifier. A la vitesse v = ẋ est associé le complexe v = ẋ = j ω x d ' où V = j ω X = 4 6) Étude de l ' énergie . a . Oscillateur libre non amorti. 1 1 2 1 2 2 2 m ẋ k x = k A avec k = m ω0 . 2 2 2 T T 1 1 1 2 2 c = ∫ Ec dt = ∫ mA ω0 sin 2 ω0 tϕdt = 1 mA 2 ω20 = 1 E. Energie cinétique moyenne: E T 0 T 02 4 2 T T p = 1 ∫ Ep dt = 1 ∫ 1 kA 2 cos2 ω0 tϕdt = 1 kA2 = 1 E. Energie potentielle moyenne: E T 0 T 02 4 2 L'énergie mécanique totale est constante: E = En moyenne, il y a équipartition de l'énergie totale entre les deux formes d'énergie. 1 Pour une molécule diatomique vibrant le long de son axe, on doit attribuer k B T à chaque forme 2 2 degrés de liberté, soit k B T pour l 'énergie de vibration k B = constante de Boltzmann . b . Oscillateur libre amorti . L ' énergie initiale E0 disparaît puisque x 0 et v 0 quand t ∞ . ∞ ∆ E = −E = Wf ' = −∫ hv 2 dt 0. 0 0 Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur reçue par le milieu extérieur. c .Oscillateur forcé en régime permanent . 1 1 2 2 2 m ẋ k x avec k = m ω0 , x = a cosω tϕ et ẋ =−a ω sin ω tϕ. 2 2 T 1 L'énergie totale est périodique, de période , de valeur moyenne E = ma2 ω2ω02 . 2 4 Toute l'énergie fournie par la force excitatrice f '' au cours d'une période T sert à compenser l'énergie perdue T T par frottement : ∫ f ''⋅ v dt∫ f '⋅ v dt = 0. E= 0 T 0 T 2 2 2 −∫0 f 0 cosω t a ω sin ω tϕdt−∫0 ha ω sin ω tϕdt = 0. T −f 0 ∫0 T 1 [ sin ϕsin 2 ω tϕ] dt = ha ω∫0 sin 2 ω tϕdt ⇒ sin ϕ = − h a ω . 2 f0 5