SP7 Oscillateurs amortis Devoir maison no 19 Exercice 1 Amortisseur de voiture On schématise un amortisseur automobile par un point matériel M de masse m reposant sur une roue de centre R par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient de frottements fluides λ. L’axe RM reste en toutes circonstances selon un − → axe de vecteur unitaire ez vertical orienté vers le haut. → Le véhicule roule avec une vitesse horizontale − v constante sur une route horizontale. La roue est en permanence collée au sol. La force de frottement fluide peut se mettre sous − → − → la forme f = −λ (ż − z˙R) ez . M(m) z (t) (k, l0 ) λ M(m) z éq (k, l0 ) z R0 − → ez 0 − → v λ R − → ex R (1) Dans cette question on suppose la route horizontale, telle que zR (t) = 0. On note zéq la distance RM à l’équilibre. En faisant un bilan des forces à l’équilibre, exprimer la distance zéq en fonction de m, l’accélération de pesanteur g, k et l0 . (2) La voiture arrive sur un trottoir à t = 0. L’altitude du point R passe alors soudainement (ce n’est qu’une approximation grossière) à la valeur zR0 et reste constante à cette valeur. On suppose que le point M était à l’altitude constante z éq juste avant que la roue n’arrive sur le trottoir. (a) Montrer que la position z (t) de la masse m par rapport à zéq vérifie l’équation différentielle suivante z̈ + ω0 ż + ω20 z = ω20 zR0 + z éq Q où l’on précisera les expressions de ω0 et Q en fonction des données. (b) Quels types de mouvements sont possibles en fonction de la valeur du facteur de qualité Q? 1 (c) On se place pour la suite dans le cas où Q = . À quelle expression du coefficient de frottement λ cela correspond-il (en 2 fonction de k et m)? (d) Sachant que les fonctions z (t) et ż (t) sont continues, quelles sont les valeurs initiales (à t = 0) de z (t) et ż (t) ? Tracer alors l’allure de z (t) (e) Si le véhicule est extrêmement surchargé, la masse du véhicule passe à ms > m. Quel type de mouvement obtiendrait-on? Est-ce souhaitable? 1