3. Étude de fonction d`une variable réelle

3. Étude de fonction d’une variable réelle
3.1 Généralités
3.2 Continuité, dérivabilité
3.3 Opérations sur les limites d’une fonction
3.4 Plan d’étude d’une fonction
3.5 Formule de Taylor
3.1 Généralités
a) Ensemble de définition
I={x Є R tel que f(x) existe}
Exemple:
f ( x) =
1
, D f = ]1,+∞[
x −1
b) Propriétés de base
Soit f:DfR une fonction.
Définition : fonctions paires/impaire
paires f(-x)=f(x) pour tout x ЄDf
(symétrie par rapport a l’axe Oy)
impaire f(-x)=-f(x) pour tout x ЄDf
(symétrie centrale par rapport a l’origine)
Définition : f est périodique de période T (ou Tpériodique) si pour tout x ЄR f(x+T)=f(x)
3.2 Continuité, dérivabilité
a) Continuité
Définition: On dit que f est continue en a si
lim f ( x) = f (a )
x→a
f est dite continue sur un intervalle I si elle est continue en tout
point a de I.
b) Dérivabilité
Définition : On dit que f est dérivable en a si
f ( x) − f (a )
lim
=l
x→a
x−a
vaut une valeur finie l et alors f’(a) est égale a cette limite l.
Exemple: f(x)=x2+1 en a=0
( x 2 + 1) − (0 + 1)
x2 +1−1
x2
lim
= lim
= lim = lim x = 0
x →0
x →0
x →0 x
x →0
x−0
x
Sur la représentation graphique de f, f’(a) est la pente de
la tangente à la courbe en a.
Définition: f est dite dérivable sur un intervalle I si elle est
dérivable en tout point a de I.
Exemples
Discontinué
continue
non dérivable
continue
et dérivable
Règles de dérivation
Soient f et g deux fonctions dérivables, et f’ et g’ leurs
dérivées respectives
Tableau de dérivées classiques
(ou u est une fonction dérivable)
3.3 Opérations sur les limites d’une fonction
Addition
Multiplication
Les formes indéterminées
1.
2.
3.
4.
+∞ -∞
0x ∞
0/0
∞/ ∞
3.4 Plan d’étude d’une fonction
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ensemble de définition et d’étude
Continuité, dérivabilité
Limites aux bornes de l’ensemble de définition
Sens de variation (défini par le signe de la dérivée );
Tableau de variation
Points et tangentes remarquables (i.e. point
d'inflexion , point de rebroussement )
7. Représentation graphique
Point de rebroussement
Point d’inflexion
3.5 Formule de Taylor (développement limité)
Soit f dérivable n fois sur I un intervalle contenant a. Alors on a
f ( 2) (a)
f ( x) = f (a) + f ' (a )( x − a) +
( x − a) 2
2!
(n)
f ( 3) ( a )
f
(a)
+
( x − a)3 + K +
( x − a) n + ( x − a) n ε ( x)
3!
n!
où
lim ε ( x) = 0.
x→a
On parle aussi de développement limité de f en a à l’ordre n.
4. Les fonctions usuelles
Objectif : Connaître les représentations graphiques de ces
fonctions et leurs propriétés principales
Les fonctions usuelles
vues en terminale
Logarithme et exponentielle
f(x)=ln(x) g(x)=log(x) h(x)=exp(x)=ex
Puissances et polynômes
f(x)=x2 g(x)=x⅔ h(x)=x√2 k(x)=x-2
l(x)=-x3+2x-3
Trigonometriques
f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) h(x)=tan(x)
Logarithmes et exponentielle
• Logarithme népérien
• Autres logarithmes
• exponentielle
Logarithme népérien
Définition : la fonction logarithme népérien notée ln définie sur
]0;+∞[ est la fonction telle que sa dérive est 1/x avec ln(1)=0.
Propriétés :
• ln(ab)=ln(a)+ln(b)
• ln(a/b)=ln(a)-ln(b)
• ln(aα)=α ln(a)
Autres Logarithmes
Logarithme décimal
• log(x):=ln(x)/ln(10)
• log(10)=1
Logarithme de base a>0 et a≠1
• loga(x):=ln(x)/ln(a)
• loga(a)=1
Exponentielle
Définition : La fonction réciproque de ln(x) est la fonction
exponentielle
y = ex 
 x = ln( y )
⇔
x∈R 
y > 0
Propriétés :
exp’(x)=exp(x)
e0=1
e1=2,718…
ea+b=ea eb
e-a=1/ea
era=(ea)r
Puissances et polynômes
• Fonctions puissances :
Carre, cube,…
• Généralisation
Fonctions polynômes
Les fonctions puissances
Cas particuliers
•Si n est un entier positif xn
•Si k est un entier relatif xk
•Si r est un rationnel xr
Cas général
Si a est un réel, xa
Carré
Définition : la fonction carré est définie pour tout x réel par x2=x.x
Propriétés :
Paire
Non bijective sur R
Réciproque sur
[0,+∞[ notée √
Dérive: 2x
Cube
Définition : la fonction cube est définie pour tout x réel par
x3=x.x.x
Propriétés :
Impaire
Bijective
La réciproque est racine
cubique
Dérivée: 3x2
Fonction xn avec n entier positif
Définition : pour tout x réel
xn=x….x (n fois)
Propriétés :
Si n est pair (impair), la fonction est paire (impaire)
Réciproque sur [0,+∞[: fonction racine nième
 x = n y
y = xn 
⇔
x≥0 
 y ≥ 0
Dérive: nxn-1
Fonction xr avec r rationnel
Si n>0 est un entier, on pose
x -n=1/xn
Exemple : x-2=1/x2=1/(x.x)
Si n>0 est un entier, pour x≥0, on pose
x1/ n = n x
Exemple : x1/2=√x
Généralisation
Dérivée: rxr-1
x
p/q
q
= xp
(racine nième)
Généralisation : xa avec a réel
Définition : Soit a un réel pour x>0
xa=ea ln(x)
Propriétés: Soient a et b deux réels, x>0 et
y>0
1a=1
xa+b=xaxb
(xa)b=xab
x-a=1/xa
(xy)a=xaya
Dérivée: axa-1
Polynômes
Exemple : p(x)=x5+√3x4-x/3 est un polynôme de degré 5.
Les polynômes sont souvent utilisées parce que ce sont
les fonctions les plus simples
p’(x)=5x4+4 √3x3-1/3
La limite en +∞ de p(x)= limite en +∞ de x5
Les polynômes de degré inférieur ou égal a n sont des
fonctions dont la dérivée (n+1)ieme est nulle.
p(5)(x)=0
Un aspect important en calcul numérique est la
possibilité d'étudier les fonctions compliquées au moyen
d'approximations par des polynômes.
Quelques limites classiques
Quand x+∞
ln(x)/x 0
ex/x+∞
≪ On dit que la fonction exp(x) l’emporte sur puissance
qui l’emporte sur tout puissance de xn en +∞≫
Quand x0
x ln(x)0
ln(x+1)/x1
Fonctions trigonométriques
• Sinus
• Cosinus
• Tangente
Cosinus, sinus et tangente dans le
triangle rectangle
cos(A) = longueur de cote adjacent / longueur de l'hypoténuse
= a/h.
sin(A) = longueur du cote oppose / longueur de l'hypoténuse
= o/h.
tan(A) = longueur du cote oppose / longueur du cote adjacent
= o/a=sin(A)/cos(A).
Sinus et cosinus : formules
fondamentales
• Formules de trigonométrie
sin2(a)+cos2(a)=1
• sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
• sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
• cos(a+b)=cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b)
• cos(a-b)=cos(a)cos(b) +sin(a)sin(b)
• cos(2a)=cos2(a)- sin2(a)=2 cos2(a)-1=1-2 sin2(a)
• sin(2a)=2cos(a)sin(a)
Sinus
Propriétés : R [ -1;1]
Période 2π
impaire
sin(0)=0
sin’(x)=cos(x)
Limite x 0
sin(x)/x 1
Pas de limite en +∞ et -∞
Cosinus
Propriétés : R[-1;1]
Période 2π
Paire
cos(0)=1
cos’(x)=-sin(x)
Limite x 0
(cos(x)-1)/x 0
Pas de limite en l’infini
Tangente
Définition : pour tout x réel tel que cos(x)≠0, la fonction tangente
est définie par
tan(x)=sin(x)/cos(x)
Propriétés :
Période π
impaire
tan’(x)=1+tan2(x)=1/cos2(x)
Reciproques des fonctions
trigonometriques
• Arcsinus
• Arccosinus
• Arctangente
Arcsinus
Définition : Arcsinus est la réciproque de la restriction de
sinus : [-π/2;π/2][-1;1]. Elle se note arcsin
 x = sin( y )
y = Arc sin( x)

⇔


 π π
x ∈ [− 1,1]

 y ∈ − 2 , 2 



Pour -1 < x < 1
Arcsin'(x) =
1
1− x2
Arccosinus
Définition : Arccossinus est la réciproque de la restriction de
cosinus : [0;π][-1;1]. Elle se note arccos
y = Arc cos( x)
 x = cos( y )
⇔
x ∈ [− 1,1]

 y ∈ [0, π ]
Pour -1 < x < 1
Arccos'(x) =
−1
1− x2
Arctangente
Définition : Arctangente est la réciproque de la restriction de
tangente : ]-π/2;π/2[] +∞; +∞[. Elle se note arctan ou arctg
 x = tan( y )
y = Arc tan( x)

⇔


 π π
∈
y
x ∈ ]− ∞,+∞[ 

 − 2 ,+ 2 

Pour x ∈ ]− ∞,+∞[
Arctan'(x) =
1
1+ x2
Fonctions hyperboliques
• Sinus hyperbolique
• Cosinus hyperbolique
• Tangente hyperbolique
Sinus hyperbolique
Définition :
e x − e− x
sinh( x) :=
2
e x + e−x
sinh' ( x) =
= cosh( x)
2
Cosinus hyperbolique
Définition :
e x + e− x
cosh( x) :=
2
e x − e−x
cosh' ( x) =
= sinh( x)
2
Tangente hyperbolique
Définition :
sinh( x)
tanh( x) = tgh( x) :=
cosh( x)