Résumé de mathématiques élémentaires

ATS 2015-2016
Résumé de mathématiques élémentaires
Résumé de mathématiques élémentaires
1 Calculs algébriques
a, b, c et d désignent des nombres réels quelconques (éventuellement non nuls s'ils interviennent au dénominateur
d'un quotient). m, n désignent des entiers relatifs.
1.
c
d
4. a =
a
c
= ⇐⇒ a.d = b.c
b
d
ac
d
5.
−a
a
=
−b
b
2.
a c
ac
. =
b d
bd
Attention en général :
7.
b
am
= m;
b
n
1
= a−n ;
a
8. (a + b)2 = a2 + 2a.b + b2
am
= am−n
an
−a
a
=
b
−b
a
c
a+c
a+c
a
+ 6=
et
6=
b
d
b+d
b+c
b
Attention en général : am bn 6= (a.b)m+n
6. am .an = am+n ; (am )n = amn ; am .bm = (a.b)m
a m
a
b
3. − =
Attention en général :
(a − b)2 = a2 − 2a.b + b2
a m−n
am
=
6
bn
b
(a − b).(a + b) = a2 − b2
2 Valeur absolue
a. Dénition x désigne un nombre réel quelconque.
Premier point de vue : Si x > 0, alors |x| = x, et six 6 0, alors |x| = −x
Deuxième point de vue : |x| est la distance entre x et 0.
Troisième point de vue : |x| = max(x, −x)
b. Propriétés x et y désignent des nombres réels quelconques, éventuellement non nuls s'ils interviennent au
dénominateur d'un quotient. m désigne un entier relatif.
x |x|
2. =
y
|y|
1. |x.y| = |x|.|y|
4. | |x| − |y| | 6 |x + y| 6 |x| + |y|
donc
3. |xm | = |x|m
| |x| − |y| | 6 |x − y| 6 |x| + |y|
Attention en général : |x ± y| =
6 |x| ± |y|
c. Inégalités a désigne un nombre réel positif ou nul.
|x| 6 a équivaut à −a 6 x 6 a, c.-à-d. que l'ensemble des solutions de l'équation |x| 6 a est [−a; a]
|x| > a équivaut à x 6 −a ou x > a, c.-à-d. que l'ensemble des solutions de l'équation |x| > a est ]−∞; −a] ∪ [a; +∞[.
Remarque. Si a désigne un nombre réel négatif, |x| 6 a n'est jamais vrai (l'ensemble des solutions de |x| 6 a est
vide), et |x| > a est toujours vrai (l'ensemble des solutions de |x| > a est R).
3 Racine carrée
a. Dénition Si a est un nombre
réel positifou nul,
√
√
égal à a. En d'autres termes,
a > 0. et
a
2
√
= a.
a désigne le nombre réel positif ou nul dont le carré est
Attention. Si a est un nombre réel négatif, l'écriture
√
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1
a n'a pas de sens.
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√
Conséquence importante. Pour tout nombre réel x,
x2 = |x| .
b. Propriétés a et b désignent des nombres réels positifs, et m un entier relatif non nul.
√
1.
a.b =
√ √
a. b
√
√
√ m
a
a
= √
3. am = a
b
b
√
√
√
en général : a + b 6= a + b
2.
Attention
r
c Équations Soit à résoudre dans R, l'équation ax2 + bx + c = 0 avec a, b et c réels et a 6= 0.
1. On calcule le discriminant ∆ = b2 − 4ac.
√
√
−b + ∆
−b − ∆
2. Si ∆ > 0, l'équation a deux solutions
et
, éventuellement égales si ∆ = 0.
2a
2a
3. Si ∆ < 0, l'équation n'a pas de solution.
Remarque. Pour résoudre des équations de type ax2 +bx = 0 ou ax2 +c = 0 on n'a pas besoin du discriminant !
d. Inéquations Soit à étudier sur R le signe de ax2 + bx + c avec a, b et c réels et a 6= 0.
1. On calcule le discriminant ∆ = b2 − 4ac.
2. Si ∆ > 0, on détermine les racines x1 et x2 , éventuellement confondues, comme ci-dessus (on suppose que
x1 6 x2 ) ; alors ax2 + bx + c est du signe de a pour x ∈ ]−∞; x1 [ ∪ ]x2 ; +∞[ ( extérieur des racines ),
et du signe de −a pour x ∈ ]x1 ; x2 [ ( intérieur des racines ), éventuellement vide.
3. Si ∆ < 0, ax2 + bx + c est toujours du signe de a.
Cas particuliers importants. a désigne un nombre réel positif ou nul.
√
√
√ √
1. x2 6 a équivaut à − a 6 x 6 a (ou x ∈ [− a; a]).
√
√
√
√
2. x2 > a équivaut à x 6 − a ou x > a (ou x ∈ ]−∞; − a] ∪ [ a; +∞[).
4 Nombres complexes
a. Dénition Un nombre complexe est de la forme
z = a + ib où a et b sont des nombres réels, et i est un
nombre imaginaire tel que i2 = −1.
A tout nombre complexe z = a + ib on associe le point
M du plan de coordonnées (a; b). On dit que le point
M est d'axe z .
Un nombre complexe non nul z a un module |z| égal à
la distance
et un argument arg(z) égal à l'angle
OM
−−→i
→
−
(orienté) u , OM .
b. Propriétés z et z 0 désignent des nombres complexes quelconques (éventuellement non nuls s'ils interviennent
au dénominateur d'un quotient).
1. |z.z 0 | = |z|.|z 0 |
arg (zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
z
|z|
2. 0 = 0
arg
z
|z |
z
z0
= arg(z) − arg(z 0 )
(mod.2π)
(mod.2π)
Attention. En général, |z + z 0 | =
6 |z| + |z 0 | et arg(z + z 0 ) 6= arg(z) + arg(z 0 ).
3. Si a est positif
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b
alors Arg(a + ib) = Arctan
. Attention. Ceci est faux en général.
a
2
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5 Trigonométrie
a. Trigonométrie dans le triangle rectangle
cos(a) =
AB
AC
( côté adjacent sur hypothénuse )
sin(a) =
BC
AC
( côté opposé sur hypothénuse )
tan(a) =
BC
AB
( côté opposé sur côté adjacent )
b. Cas général. Cercle trigonométrique
1. Dénitions Pour tout nombre réel x,
cos(x) est l'abscisse du point M , c'est-à-dire que
cos(x) = OP ( mesure algébrique de OP ).
sin(x) est l'ordonnée du point M , c'est-à-dire que
sin(x) = OQ ( mesure algébrique de OQ ).
si x 6= π/2 + k.π (k ∈ Z), tan(x) = sin(x)
cos(x) est l'ordonnée du point T , c'est-à-dire que tan(x) = AT ( mesure
algébrique de AT ).
Remarque. Dans le cas de la gure ci-contre, le cosinus est négatif, le sinus est positif et la tangente est
négative.
2. Egalité fondamentale Pour tout réel x,
(cos(x)) + (sin(x)) = 1 (écrit souvent sous la forme cos2 (x) + sin2 (x) = 1).
2
2
3. Formules trigonométriques Pour tous nombres réels a et b,
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2cos2 (a) − 1 = 1 − 2sin2 (a)
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
Remarque importante. Il faut savoir lire ces formules dans tous les sens !
4. Formules d'Euler Pour tout nombre réel x,
eix = cos(x) + isin(x) ,
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cos(x) =
eix + e−ix
,
2
3
sin(x) =
eix − e−ix
.
2i
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6 Fonctions usuelles
a. Représentations graphiques
Fonction inverse : x 7→
Fonction carrée : x 7→ x2
Fonction racine carrée : x 7→
√
1
x
Fonction valeur absolue : x 7→ |x|
x
Fonction cosinus Fonction sinus Lycée Louis Rascol Albi
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Fonction exponentielle : x 7→ ex
Fonction logarithme népérien : x 7→ ln(x)
b. Relations fonctionnelles
1. Pour tout couple de nombres réels (x, y), et tout nombre entier relatif p :
exp(x + y) = exp(x).exp(y) ou ex+y = ex .ey ;
p
exp(px) = (exp(x))
exp(x − y) =
exp(x)
ex
ou ex−y = y ;
exp(y)
e
ou epx = (ex )p
2. Pour tout x ∈ ]0; +∞[ et tout y ∈ ]0; +∞[, et tout nombre entier relatif p :
ln(x.y) = ln(x) + ln(y) ;
ln
x
= ln(x) − ln(y) ;
y
ln(xp ) = p.ln(x)
c. Limites usuelles
1.
lim ln (x) = +∞ ; lim ln (x) = −∞ ;
x→+∞
2.
x→0
lim ex = +∞ ; lim ex = 0 ;
x→+∞
x→−∞
3. Pour n et p entiers positifs,
p
p
(ex )
(ln(x))
= +∞ ; lim
=0 ;
x→+∞ xn
x→+∞
xn
lim xn . (ex ) = 0 ; lim xn . (ln(x)) = 0 ;
p
lim
p
x→−∞
x→0
7 Calcul diérentiel et intégral
a. Dérivées et primitives
1. Tableau pour les fonctions de base
f (x) ou
Z
g(x)
(sans les intervalles de validité) :
f 0 (x) ou g(x)
f (x) ou
Z
g(x)
f 0 (x) ou g(x)
tp (p ∈ N∗ )
p.xp−1
1
x
−1
x2
√
1
√
2 x
ln |x|
1
x
ex
ex
sin(x)
cos(x)
cos(x)
−sin(x)
tan(x)
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
x
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2. Opérations
u et v sont des fonctions de la variable réelle x dérivables sur un intervalle I .
(u + v)0 = u0 + v 0 ;
(k.u)0 = k.u0 (où k est une constante) ;
0
1
−v 0
Lorsque v ne s'annule pas sur I :
= 2 ;
v
v
(u.v)0 = u0 .v + u.v 0 .
u 0
v
=
u0 .v − u.v 0
.
v2
3. Composition
u est une fonction de la variable réelle t dérivable sur un intervalle I .
0
(eu ) = u0 .eu
Lorsque u ne s'annule pas sur I : (up )0 = p.up−1 .u0 (où p est un entier relatif non nul) ;
Remarque. Il faut savoir lire tous ces résultats en termes de primitives. Par exemple, si
primitive de g est la fonction G dénie par G(x) =
b. Dérivée et tangente
0
(ln |u|) =
g(x) =
1
ln x2 − 1 .
2
u0
.
u
x
, une
x2 − 1
Si f est dérivable en a alors, dans le plan muni d'un repère, la représentation graphique de la fonction f admet
une tangente en a d'équation y = f 0 (a).(x − a) + f (a).
c. Calcul intégral
Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé borné [a; b]. Si F est une primitive de f sur [a; b], alors :
Z
a
b
b
f (t)dt = [F (t)]a = F (b) − F (a)
Intégration par parties. u et v étant des fonctions dérivables à dérivées continues sur [a; b], on a :
Z
b
0
u(t).v (t)dt =
a
b
[u(t).v(t)]a
Z
−
b
u0 (t).v(t)dt
a
8 Équations diérentielles linéaires homogènes à coecients constants
a. Premier ordre.
Les solutions de l'équation y 0 + a.y = 0 , où a est une constante, sont les fonctions dénies sur R par y(x) = Ce−a.x
où C est une constante arbitraire.
b. Deuxième ordre.
1. Les solutions de l'équation y 00 + a2 .y = 0 , où a est une constante réelle non nulle, sont les fonctions dénies
sur R par y(x) = k1 .cos(a.x) + k2 .sin(a.x) où k1 et k2 sont deux constantes réelles arbitraires.
2. Les solutions de l'équation y 00 − a2 .y = 0 , où a est une constante réelle non nulle, sont les fonctions dénies
sur R par y(x) = k1 .ea.x + k2 .e−a.x où k1 et k2 sont deux constantes réelles arbitraires.
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