F025 Forme trigonométrique des nombres complexes

Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Si z = x + iy , alors |z| = z. z = x² + y²
|z| = 0 équivaut à z = 0
−
|z + z'| ≤ |z| + |z'| ; | z| = |z| ; |−z| = |z| ; |zz'| = |z||z'| ; |zn| = |z|n
1 1  z  |z|
 z =
; =
  |z| z' |z'|
cos θ =
Si z = x + iy , alors arg(z) = θ (2π) avec 
 sin θ =
x
x² + y²
y
x² + y²
z réel non nul équivaut à arg(z) = 0 ou π (2π)
z imaginaire pur non nul équivaut à arg(z) = π ou arg(z) = − π
2
2
arg(−z) = − arg(z) ; arg(−z) = arg(z) + π
arg(zz') = arg(z) + arg(z') ; arg(zn) = n arg(z)
1
z
arg   = − arg (z) ; arg   = arg (z) − arg(z')
 z
z'
L'écriture z = |z|(cos θ + i sin θ) est la forme trigonométrique de z
z = z' ⇔ |z| = |z'| et arg(z) = arg(z') (2π)
|z| = ρ et arg(z) = α (2π) ⇔ z = ρ(cos α + i sin α) avec ρ > 0
§ z et z' sont deux nombres complexes tels que : zz' ≠ − 1 et |z| = |z'| = 1
z + z'
Démontrer que le nombre
est un nombre réel
1 + zz'
§ a. Déterminer le module et un argument du complexe z = 6 + i 2 .
b. En déduire la forme trigonométrique de z .
§ 1. a. Pourquoi l'écriture z = − 2(cos π + i sin π) n'est pas la forme trigonométrique de z ?
6
6
b. Ecrire z sous forme trigonométrique
2. Reprendre la question 1. avec le nombre complexe z = 2 (cos π − i sin π)
4
4
3. Donner la forme trigonométrique de z = sin α + i cos α
§ Ecrire sous forme trigonométrique le complexe
(1 + i)²
. En déduire sa forme algébrique
(1 − i)3
1+i 3
sous forme algébrique, puis trigonométrique .
1+i
π
π
b. En déduire les valeurs exactes de cos  et sin  .
12
12
 
 
§ a. écrire