Programme colle math Semaine 2 du 26/09/16 au 02/10/16 MPSI B Hoche Nombres complexes et trigonométrie (fin) c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie Cercle trigonométrique. Paramétrisation par les fonctions circulaires. Notation U. Les étudiants doivent savoir retrouver les formules du type cos(π − x) = − cos x et résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s’aidant du cercle trigonométrique. Les étudiants doivent savoir factoriser des expressions du type cos p + cos q. Définition de eit pour t ∈ R. Exponentielle d’une somme. Formules de trigonométrie exigibles : cos(a± b), sin(a±b), cos(2a), sin(2a), cos a cos b, sin a cos b, sin a sin b. Fonction tangente. La fonction tangente n’a pas été introduite au lycée. Notation tan. Formule exigible : tan(a ± b). Formules d’Euler. Linéarisation, Pn Pn calcul de k=0 cos(kt), de k=0 sin(kt). Les étudiants doivent savoir retrouver les expressions de cos(nt) et de sin(nt) en fonction de cos t et sin t. Formule de Moivre. d) Formes trigonométriques Forme trigonométrique reiθ avec r > 0 d’un nombre complexe non nul. Arguments. Arguments d’un produit, d’un quotient. Factorisation de 1 ± eit . Transformation de a cos t + b sin t en A cos(t − ϕ). Relation de congruence modulo 2π sur R. PC et SI : amplitude et phase. f) Racines n-ièmes Description des racines n-ièmes de l’unité, d’un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique. Notation Un . Représentation géométrique. g) Exponentielle complexe Définition de ez pour z complexe : ez = eRe(z) ei Im(z) . Notation exp(z), ez . PC et SI : définition d’une impédance complexe en régime sinusoïdal. Exponentielle d’une somme. Pour tous z et z 0 dans C, exp(z) = exp(z 0 ) si et seulement si z − z 0 ∈ 2iπZ. Résolution de l’équation exp(z) = a. h) Interprétation géométrique des nombres complexes Interprétation géométrique du module et d’un arc−b . gument de c−a Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité. 1 Rémy Nicolai S2 Programme colle math Semaine 2 du 26/09/16 au 02/10/16 Interprétation géométrique des applications z 7→ az + b. Interprétation géométrique de la conjugaison. MPSI B Hoche Similitudes directes. Cas particuliers : translation, homothéties, rotations. L’étude générale des similitudes indirectes est hors programme. Calculs algébriques (fin) Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique. b) Coefficients binomiaux et formule du binôme Factorielle. Coefficients binomiaux. n Relation np = n−p Formule et triangle de Pascal. Notation n p . Lien avec la méthode d’obtention des coefficients binomiaux utilisée en Première (dénombrement de chemins). Formule du binôme dans C. c) Systèmes linéaires Système linéaire de n équations à p inconnues à coefficients dans R ou C. PC et SI dans le cas n = p = 2. Interprétation géométrique : intersection de droites dans R2 , de plans dans R3 . Système homogène associé. Structure de l’ensemble des solutions. Opérations élémentaires. Algorithme du pivot. Notations Li ↔ Lj , Li ← λLi (λ 6= 0), Li ← Li + λLj . I : pour des systèmes de taille n > 3 ou p > 3, on utilise l’outil informatique. Prochain programme Raisonnements et vocabulaire ensembliste. Inégalités dans R. Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 Rémy Nicolai S2