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L1 PC et IM & PEEI 2011–2012
UEL SME 2011–2012
Enseignement PHY1
UFR-Sciences de Luminy
Centre d’Océanologie de Marseille
Département de Physique
Dynamique des systèmes – T.D. I
Rappels mathématiques
I.1 Derivées. Les scalaires ω et τ étant des constantes et t le temps, calculer :
1) les dérivées par rapport au temps de cos(ωt), sin(ωt), cos(τ t2 ) et cos2 (ωt),
2) les dérivées par rapport au temps de cos(ωt) sin(ωt) et cos(τ t2 ) cos2 (ωt).
I.2 Intégrales. Le scalaire ω étant une constante et t le temps, calculer :
1) les primitives par rapport au temps de cos(ωt), sin(ωt) et cos(ωt) sin(ωt),
2) les primitives par rapport au temps de eωt et tn avec n 6= −1.
Z 2
Z 1
dx
dx
√ ,
Calculer les intégrales :
.
x 0 x+1
0
I.3 Trigonométrie.
A partir des formules fondamentales suivantes : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b),
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) et cos2 (a) + sin2 (a) = 1, montrer que :
1) cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1,
2) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
I.4 Triangles et produit scalaire.
−→
−−→
−−→
On considère les trois vecteurs OA = ~ex + ~ey + ~ez , OB = −~ey + ~ez et OC = −~ex + ~ey − ~ez
où O désigne une origine de l’espace euclidien tridimensionnel et (~ex , ~ey , ~ez ) une base
orthonormée directe de R3 .
1) Calculer les produits scalaires ~a · ~b, ~b · ~c et ~c · ~a ainsi que les normes a, b et c des côtés
−−→
−→
−−→
~a = BC, ~b = CA et ~c = AB du triangle ABC.
2) Quels sont les angles aux sommets Â, B̂ et Ĉ de notre triangle ?
I.5 Produit vectoriel.
Calculer les produits vectoriels ~a × ~b, ~b × ~c et ~c × ~a où ~a, ~b et ~c sont les vecteurs de
l’exercice (I.4).
I.6 Triangles et produit vectoriel.
−−→ −→
1) Justifier que S(A, B, C) = 21 || AB × AC || donne la surface d’un triangle ABC.
2) Calculer la surface du triangle ABC de l’exercice (I.4).
I.7 Double produit vectoriel.
Etablir la formule importante : ~a × (~b × ~c ) = ~b (~a · ~c ) − ~c (~a · ~b ).
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Enseignement PHY1
UFR-Sciences de Luminy
Centre d’Océanologie de Marseille
Département de Physique
Dynamique des systèmes – T.D. II
Cinématique galiléenne
II.1 Record du monde.
Un sprinter court le 100 m en 9,58 s. Trouver sa vitesse moyenne en km · h−1 et . . . son
nom.
II.2 Vitesse moyenne.
1) Un avion relie les villes A et B à vitesse v1 pendant la moitié de la durée totale du
voyage et à vitesse v2 pendant l’autre moitié du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
2) Un avion relie les villes A et B à vitesse v1 sur la moitié de la distance totale du voyage
et à vitesse v2 sur l’autre moitié du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
II.3 Base polaire.
Le vecteur ~er = cos θ ~ex + sin θ ~ey est défini pour chaque angle θ. Déterminer sa dérivée
~eθ = d~er /dθ et vérifier que (~er , ~eθ ) est une base orthonormée (directe) du plan euclidien.
II.4 Vitesse et accélération en coordonnées polaires.
On munit le plan d’un repère cartésien orthonormé {O, (~ex , ~ey )} fixe. Les coordonnées
polaires (r, θ) sont reliées aux coordonnées cartésiennes (x, y) par
x = r cos θ
y = r sin θ
−−→
et la position de tout point M du plan est donnée par le vecteur ~r = OM .
1) Ecrire l’expression du vecteur ~r dans le repère cartésien et calculer sa norme.
2) Posant r = || ~r ||, on définit, pour chaque angle θ, le vecteur
~er =
~r
= cos θ ~ex + sin θ ~ey .
r
Vérifier que ~er est un vecteur unitaire.
3) En déduire que le vecteur ~eθ = d~er /dθ est unitaire et orthogonal à ~er . Montrer que la
base polaire (~er , ~eθ ) est directe.
4) On suppose que le point M décrit une trajectoire t 7→ M (t) dans le plan, ses coordonnées
cartésiennes – comme ses coordonnées polaires (r, θ) – dépendant différentiablement du
temps t. Exprimer la vitesse ~v = ~r˙ et l’accélération ~a = ~v˙ de ce point dans la base polaire.
Réponse :
~v = ṙ ~er + rθ̇ ~eθ
~a = (r̈ − rθ̇2 ) ~er + (rθ̈ + 2ṙθ̇) ~eθ .
2
5) Applications :
i) Le mouvement de la terre ⊕ autour du soleil étant bien approximé par un mouvement
circulaire uniforme, donner la valeur numérique de sa vitesse v⊕ orbitale sachant que la
distance moyenne terre-soleil est l’Unité Astronomique 1 : 1 UA ∼
= 1,496 1011 m.
ii) On se donne la trajectoire suivante, paramétrée en coordonnées polaires par
r(t) = v0 t + r0 ,
θ(t) = ωt + θ0 ,
v0 ω > 0.
Calculer l’expression de la vitesse, ~v , et de l’accélération, ~a, d’un point se déplaçant sur
cette spirale d’Archimède.
II.5 Détermination de trajectoire.
1) Une particule est animée d’un mouvement d’accélération
~a(t) = a(ωt ~ex + cos ωt ~ey + e−ωt ~ez ).
Préciser les dimensions physiques de a et ω.
2) Si au temps t = 0 la particule est située en ~r0 = ~0 et sa vitesse est ~v0 = ωa (−2~ex +~ey +2~ez ),
trouver la vitesse ~v (t) et la position ~r(t) de la particule à chaque instant. (Vérifier, à chaque
étape, que les dimensions physiques sont correctes.)
II.6 Effet Doppler classique. On admet que la propagation d’un son pur s’effectue par
“phonons” émis à intervalles de temps réguliers (la période du phénomène sonore) à la
vitesse |c| ∼
= 340 m/s par rapport à l’air, et ce, indépendamment de la vitesse de la source.
1) Un camion de pompiers (Source) actionne, à l’arrêt, sa sirène de fréquence νS = 1/TS .
Votre voiture (Récepteur) le croise à vitesse vR constante. Tracer les lignes d’univers de
votre voiture, du camion de pompiers et de deux “phonons” successifs. Donner la période
TR du signal sonore que vous percevez en fonction de TS et vR /c. Commentaires ?
2) Même exercice dans le cas où vous êtes à l’arrêt et le camion de pompiers animé d’une
vitesse vS par rapport à l’air.
3) Vous percevez (vR = 0) le son d’une sirène de pompier avec un décalage d’un ton vers
les graves. Le camion se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il ? Quelle est sa vitesse vS ?
4) Si la source émet le La3 (νS = 440 Hz), quelles sont les fréquences νR de réception dans
le cas d’une vitesse relative v = 100 km/h. Discuter les différents cas de figure.
5) Trouver enfin la formule générale de l’effet Doppler dans le cas : vS 6= 0 et vR 6= 0.
II.7 Hélice circulaire.
On considère la courbe suivante dans l’espace euclidien ordinaire

x(t) = r cos(ωt)


y(t) = r sin(ωt)

 z(t) = hω t
2π
où r > 0, h et ω sont des constantes.
1) Calculer la vitesse ~v (t) et l’accélération ~a(t). Exprimer les constantes précédentes en
fonction des conditions initiales ~r0 , ~v0 . Montrer que ~a(t) = ~b × ~v (t) où ~b est un vecteur
constant à déterminer en fonction de ω.
2) Donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) telle que s(0) = 0 et ṡ(t) > 0.
3) Trouver la tangente unitaire T~ en tout point.
1. 1 UA = 1,4959787066(2) 1011 m.
3
~ en fonction de t.
4) Déterminer la courbure ρ et la normale unitaire N
~ = T~ × N
~ . Montrer que (T~ , N
~ , B)
~ forme une base mobile
5) On définit la binormale B
orthonormée directe.
~ · dB/ds.
~
6) On définit en toute généralité la torsion τ = −N
Calculer la torsion en tout
point de cette hélice circulaire. A quelle condition a-t-on une hélice sans torsion ?
7) A.N . Calculer courbure et torsion d’un brin d’ADN (r = 1 nm, et h = 3.4 nm).
II.8 Cycloı̈de.
Une roue de rayon r roule sans glisser sur le sol avec une vitesse angulaire ω constante.
1) Déterminer la trajectoire t 7→ M (t) d’un point de la périphérie de la roue (un gravillon
encastré dans un pneu de bicyclette). Tracer cette courbe appelée cycloı̈de.
2) Donner la vitesse ~v (t) et l’accélération ~a(t) de ce point au cours du temps t. Quelle
distance a parcouru ce point à l’instant t ?
3) Quelle serait la vitesse du gravillon s’il était éjecté à t = 0, π/(2ω), π/ω, 2π/ω ? La
cycloı̈de possède-t-elle des points de rebroussement ?
4) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire.
II.9 Courbure.
On considère une courbe t 7→ ~r de l’espace euclidien R3 ; son abscisse curviligne s(t) est
telle que v(t) = ṡ(t) > 0 dans un certain intervalle de temps.
~.
1) Prouver que ~v = v T~ et ~a = v̇ T~ + ρ v 2 N
2) En déduire la formule suivante de la courbure (indépendante du paramétrage) :
ρ=
|| ~v × ~a ||
.
|| ~v ||3
3) Calculer la courbure d’une hélice circulaire (cf. exercice (II.7)). Même question pour
une spirale d’Archimède r = kθ, pour une chaı̂nette y = k ch(x/k) dans le plan z = 0.
II.10 Course poursuite.
Un cycliste roulant à vitesse constante v > 0 sur une route en ligne droite observe, à
un instant donné, une voiture distante de d qui démarre devant lui avec une accélération
constante a > 0.
1) Dans un référentiel R lié à la route pour lequel le choix de l’origine des temps et de
l’espace aura été précisée, écrire l’équation horaire du cycliste et de la voiture. Donner la
nature de chacun des mouvements.
2) Si a et v sont fixées, pour quelles valeurs de d le cycliste rattrapera-t-il la voiture ?
3) Déterminer le temps t de la course poursuite en fonction de a, v, et d.
4) Tracer les “lignes d’univers” (t, x(t)) du cycliste et de la voiture. Discuter graphiquement
les divers scénarios de la course poursuite,
(i) dans le référentiel R lié à la route,
(ii) dans un référentiel galiléen R∗ lié au cycliste.
5) A.N . Calculer les dates de croisement pour d = 10 m, a = 2 m/s2 et v = 36 km/h.
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Département de Physique
Dynamique des systèmes – T.D. III
Dynamique
III.1 L’équation du sprinter.
Lors d’une compétition sportive, la vitesse v(t) d’un coureur à pied sur des distances
inférieures à 200 m satisfait à l’équation suivante
dv
= A − B v(t)
dt
où A et B sont des constantes positives données.
1) Quelles sont les dimensions physiques de A et de B ?
2) Trouver la solution générale de l’équation différentielle précédente.
3) Sachant que le signal du départ est donné au temps t = 0, trouver la vitesse v(t) du
sprinter à chaque instant t ≥ 0.
4) Montrer qu’il existe une vitesse limite v∞ = limt→∞ v(t) que l’on exprimera en fonction
de A et de B.
5) Trouver l’accélération a(t) au temps t. Exprimer A en fonction de l’accélération initiale
a0 = a(0).
6) Déterminer la position x(t) du coureur au temps t si x(0) = 0, en fonction de a0 et v∞ .
7) Déduire de la question précédente la durée t1 du sprint en fonction de la vitesse v1 du
coureur sur la ligne d’arrivée, de la longueur x1 de la piste, et des données a0 et v∞ .
III.2 Equations différentielles et exemples de processus chimiques.
Dans une réaction chimique A → B mole pour mole, la vitesse de disparition de A, et donc
la vitesse de formation de B, sont à chaque instant proportionnelles à la concentration de
A qui vaut C0 à l’instant initial. Etablir et intégrer les équations différentielles auxquelles
satisfont les concentrations CA (t) et CB (t).
III.3 Mouvement d’un projectile.
Au voisinage de la surface terrestre, on admet que le champ de pesanteur ~g est uniforme
et que l’on peut négliger les autres forces, en particulier celle due au frottement de l’air.
1) Ecrire les équations du mouvement pour la vitesse ~v (t) et la position ~r(t) d’un projectile.
2) Donner le mouvement défini par les conditions initiales, ~r0 = ~r(0) et ~v0 = ~v (0).
3) On choisit un repère cartésien {O, (~ex , ~ey , ~ez )} tel que ~g = −g~ez avec g = const. > 0. Le
projectile est lancé, à la date t = 0, de l’origine ~r0 = ~0, avec la vitesse ~v0 = v0 (cos α ~ex +
sin α ~ez ), où α est l’angle de tir. A partir de l’équation du mouvement pour ~r(t), montrer
que la trajectoire est une parabole z = ax2 + bx + c, les constantes a, b et c s’exprimant
en fonction de v0 , tg α et g.
4) En terrain horizontal, la vitesse initiale v0 étant donnée, quelle(s) valeur(s) faut-il donner
à l’angle de tir α pour atteindre une cible C de coordonnées (xC , 0, zC ) ?
5) En déduire l’ensemble des points accessibles par le projectile pour une vitesse initiale v0
donnée (parabole de sûreté).
5
III.4 Chute dans un fluide visqueux.
Une goutte d’eau de rayon R soumise au champ de pesanteur ~g tombe dans l’air avec une
vitesse suffisamment faible pour que la résistance de l’air soit, en bonne approximation,
donnée par une force de frottement “visqueux”, F~ = −η ~v , où η est une constante positive
qui dépend du milieu et de la taille de la goutte.
1) Etablir l’équation différentielle qui gouverne la vitesse de la goutte.
2) Montrer que la goutte d’eau atteint une vitesse limite que l’on déterminera, et ce,
indépendamment de la vitesse initiale.
3) Les forces exercées par l’air (vu comme un fluide), non prises en compte dans le frottement, sont assimilables, avec une bonne approximation et bien qu’il y ait mouvement, à
la poussée d’Archimède, f~ = −M~g , où M est la masse de l’air occupant un volume égal à
celui de la goutte d’eau.
Avec cette modification, répondre aux questions 1) & 2) ci-dessus.
4) A.N . Calculer cette vitesse limite pour R = 0,5 mm, η = 1,81 10−5 SI, g = 10 m s−2 ,
la densité de l’air relativement à celle de l’eau, ρeau = 103 kg m−3 , étant 1,3 10−3 .
III.5 Force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse.
Une bille de plomb de masse m est lachée, en chute libre, sans vitesse initiale. La vitesse de
la bille étant relativement grande au cours de sa chute, l’intensité de la force de frottement
de l’air est, avec une bonne approximation, donnée par f = ηv 2 avec η = const. > 0.
1) Ecrire l’équation différentielle qui gouverne la vitesse de la bille.
2) Intégrer l’équation différentielle trouvée en 1).
3) Montrer que la bille atteint une vitesse limite, V , finie que l’on précisera.
N .B. On utilisera la primitive suivante
Z
dx
1
a+x
=
ln
+ const.
(|x| < |a|)
2
2
a −x
2a a − x
III.6 Mouvement d’une particule chargée dans l’espace.
Une particule de charge électrique q est soumise à l’action d’un champ électrique constant,
~ = E ~ey , et d’un champ magnétique constant, B
~ = B ~ez , qui lui est perpendiculaire.
E
1) Étudier son mouvement pour les conditions initiales : ~r0 = ~0 et ~v0 = ~0.
2) Préciser le type de trajectoire qu’elle décrit.
~ B)
~
N .B. Une particule chargée, de charge q, plongée dans un champ électromagnétique (E,
~ +~v × B)
~ dépendant de la vitesse ~v de la particule.
est soumise à la force de Lorentz F~ = q(E
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Département de Physique
Dynamique des systèmes – T.D. IV
Lois de conservation
IV.1 Travail d’une force : Intégrale curviligne.
Considérons le champ de forces
F~ (x, y) = (y 2 − x2 )~ex + 2xy ~ey .
1) Calculer la circulation de F~ de O à P de coordonnées (a, b) le long des courbes Γ1 , Γ2 , Γ3
et Γ4 , où Γ4 est l’arc de parabole y = bx2 /a2 .
y
P
b
!
1
!
3
!
4
x
O
!
a
2
2) La force F~ est-elle conservative ? Si oui, calculer l’énergie potentielle V (x, y) et vérifier
les calculs de 1).
3) Calculer le travail du champ de forces
F~ (x, y) = (y 2 − x2 )~ex + 3xy ~ey
le long du chemin fermé Γ4 ∪ Γ3 , où Γ3 est le chemin Γ3 parcouru en sens inverse. Ce
champ de forces est-il conservatif ?
IV.2 Force de Coulomb.
Dans l’atome d’hydrogène, l’électron est soumis à la force coulombienne
x~ex + y~ey + z~ez
F~ (x, y, z) = −e2 2
(x + y 2 + z 2 )3/2
où e est une constante proportionnelle à la charge électrique élémentaire.
1) Montrer que le champ de forces F~ dérive d’un potentiel, V .
2) Déterminer le potentiel coulombien, V (x, y, z), qui s’annule à l’infini.
7
IV.3 David et Goliath.
Une grosse boule (Goliath) de masse m1 = 3m entre en collision frontale avec une boule
plus petite (David) de masse m2 = m. Sachant que la vitesse de Goliath est ~v1 avant le
choc, quelle doit être la vitesse ~v2 de David pour qu’il arrête Goliath ? Quelle est, après le
choc, la vitesse ~v2 0 de David ?
IV.4 Collision élastique.
Une particule de masse m1 et de vitesse ~v1 entre en collision parfaitement élastique avec
une particule de masse m2 au repos dans le laboratoire. Un expérimentateur, qui connaı̂t
les deux masses et la vitesse incidente ~v1 , mesure l’angle θ2 sous lequel est éjectée la
deuxième particule relativement à la direction incidente lors de la collision.
P’
1
!
P
1
1
!
P’
2
2
Muni de ces informations (m1 , m2 , v1 = ||~v1 || et θ2 ) et en utilisant la conservation de
l’impulsion et de l’énergie, il peut déterminer toutes les autres quantités cinématiques
relatives à la collision. Mettez-vous à sa place et déterminer alors
1) la vitesse v20 = ||~v20 || de la particule 2 après le choc en fonction de m1 , m2 , v1 et θ2 .
2) les vitesses ~v2 0 , d’abord, et ~v1 0 ensuite, en fonction des mêmes quantités.
3) la valeur de la tangente de l’angle θ1 de la trajectoire de la première particule après la
collision relativement à la direction incidente.
4) Pour quel angle de déviation θ2 la vitesse v20 est-elle maximale ?
5) Application. Des neutrons n de vitesse vn bombardent une cible contenant des protons p
au repos. Donner la vitesse maximum vp0 des protons après collision en fonction des masses
mn , mp et de vn .
6) Même question pour une cible contenant maintenant des noyaux d’azote N de masse
mN = 7(mn + mp ).
0 ∼ 7, 50034, déterminer le rapport
7) Sachant que l’on trouve expérimentalement vp0 /vN
=
mn /mp des masses du neutron et du proton.
IV.5 Fusée.
Une fusée (à un étage) de masse totale initiale M0 , comprenant une masse M0 de combustible, est lancée. Les gaz sont ejectés avec une vitesse relative constante c. Dans tout
l’exercice, on suppose que le mouvement de la fusée se produit en dehors de toute influence
extérieure.
1) Déterminer l’équation du mouvement de la fusée.
2) En déduire la formule donnant, pour une vitesse initiale nulle, la vitesse de la fusée
lorsque tout le combustible a été consommé.
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Dynamique des systèmes – T.D. V
Gravitation newtonienne
V.1 Force centrale et orbites.
1) Montrer qu’une force centrale, F~ (~r) = f (r) ~er , dérive d’un potentiel V (r) que l’on
calculera explicitement (à une constante additive près).
Cas particulier : Calculer le potentiel newtonien correspondant à f (r) = −GM m/r2 où M
désigne la masse du centre attracteur, m la masse de la particule d’essai et G la constante
de Newton.
2) Exprimer l’énergie totale E d’un point matériel de masse m dans le champ newtonien
précédent en fonction des coordonnées polaires (r, θ) et de leurs dérivées associées au plan
~ 6= ~0).
de l’orbite. (On supposera le moment angulaire L
3) Montrer que L = mr2 θ̇ et que E = mṙ2 /2 + Veff (r) où Veff s’exprime en fonction de
L, m, M et G. Tracer le graphe du potentiel effectif Veff .
4) Montrer que les orbites circulaires correspondent au minimum strict de Veff . En déduire
la troisième loi de Kepler,
ω 2 a3 = GM ,
pour les orbites circulaires de rayon a et de vitesse angulaire ω.
V.2 Orbites circulaires.
1a) Retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas particulier des orbites circulaires,
T2 =
4π 2 a3
.
GM
1b) On pose ω = 2π/T . Montrer que, pour les orbites circulaires, l’énergie s’écrit :
E=−
2
m
m GM
= − (GM ω) 3 .
2 a
2
1c) Que représente a dans le cas d’une orbite elliptique ?
2) Calculer la masse du soleil connaissant le rayon a de l’orbite terrestre (supposée pratiquement circulaire). On donne a = 1,496 1011 m.
3) Un satellite paraı̂t immobile dans le ciel. Montrer que sa trajectoire doit être circulaire
équatoriale. Calculer son altitude, sa vitesse et son énergie totale connaissant sa masse m.
A.N . On donne la masse M = 5,974 1024 kg et le rayon R = 6381 km de la terre ; on
prendra m = 68 kg.
4) Un des satellites de Jupiter (Ganymède) effectue sa révolution en 7 jours, 3 heures
43 minutes et se trouve à une distance du centre de Jupiter égale à 15 fois le rayon de la
planète. La lune effectue sa révolution en 27 jours, 7 heures 44 minutes et se trouve à une
distance du centre de la Terre égale à 60 fois le rayon de la Terre. Trouver le rapport des
masses volumiques de Jupiter et de la Terre.
9
V.3 Comète.
On mesure la vitesse v d’une comète de masse inconnue m au moment où elle se trouve
à 266 109 m du soleil ; le résultat expérimental donne v ∼
= 105 m s−1 .
1) Donner l’expression de l’énergie totale de la comète. A.N .
2) Cette dernière repassera-t-elle un jour au voisinage du soleil ?
3) Une étude précise de la trajectoire de la comète permettrait-elle de déterminer sa masse ?
N .B. La masse du soleil est M = 1,99 1030 kg, et G = 6,67 10−11 m3 kg−1 s−2 .
V.4 Vitesse de libération.
La force de gravitation créée par une planète sur un objet de masse m dérive du potentiel
Newtonien V = −Km/r où r est la distance de l’objet au centre de la planète.
1) Déterminer K sachant que le rayon de la planète est R et la vitesse de libération de
l’attraction planétaire vlib .
A.N . On donne R = 10000 km et vlib = 10 km / s.
2) Depuis la surface de la planète, quelle vitesse initiale v0 faut-il donner à un projectile
pour qu’il atteigne une altitude h (au dessus du niveau du sol) avec une vitesse vh nulle ?
A.N . Calculer v0 si h = R = 10000 km.
3) Quelle est, sur cette planète, l’accélération g de la gravitation au niveau du sol ?
V.5 Pathfinder et Voyager II.
On essaie, dans cet exercice de décrire le voyage de Pathfinder de la Terre vers Mars, où
fut déposé un petit véhicule, le “Rover” Sojourner.
1) Les orbites de la Terre et de Mars autour du Soleil sont assimilées à des circonférences
coplanaires de rayon RT = 1,496 1011 m et RM = 1,52 RT . Sachant que la période de
révolution TT de la Terre est d’une année, calculer la période de Mars.
2) La sonde Pathfinder envoyée de la Terre vers Mars est soumise à l’attraction de la
Terre, de Mars et du Soleil. On supposera que seule l’attraction du Soleil est importante
pendant le voyage. On rappelle que la masse MS du Soleil est MS = 1,99 1030 kg et que
MT /MS = 3 10−6 et MM /MS = 3,2 10−7 où MT et MM sont les masses de la Terre et de
Mars.
RM
Mars
(T)
Terre
A2
Soleil
10
RT
A1
Au départ, la sonde est placée sur une orbite d’attente où sa vitesse par rapport à la Terre
est très faible. De même, à l’arrivée sur Mars, elle est placée sur une orbite d’observation
autour de Mars avec une vitesse très faible par rapport à Mars. On peut donc considérer
le voyage Terre-Mars comme réduit à un problème de transfert d’orbite : la sonde localisée
sur l’orbite terrestre autour du Soleil (de rayon RT ) doit être transférée sur l’orbite de
Mars autour du Soleil (de rayon RM ) — voir schéma. L’orbite de transfert est l’ellipse T .
a) Calculer l’énergie ET de la sonde sur l’orbite terrestre en fonction de C = GmMS et de
RT , où G est la constante de gravitation, et m la masse de la sonde (supposée constante).
b) Calculer de même l’énergie EM de la sonde lorsqu’elle sera sur l’orbite de Mars.
3) L’orbite de transfert T est une ellipse tangente aux orbites terrestres et martiennes en
A1 et A2 , le soleil étant l’un des foyers de l’ellipse (cf. schéma). Calculer l’énergie de la
sonde sur cette orbite.
4) Le transfert d’orbite se fait au point A1 pour aller jusqu’à A2 où il y aura rencontre
avec Mars. Calculer la vitesse VT de la sonde lorsqu’elle est sur l’orbite terrestre (juste
avant le transfert en A1 ). A.N .
5) En A1 , on allume des moteurs supplémentaires pour envoyer Pathfinder sur l’orbite
elliptique T . Calculer la vitesse de la sonde VA1 en A1 sur l’orbite T . A.N .
6) Quelle est la variation de vitesse nécessaire pour ce transfert d’orbite. A.N .
7) Démontrer que la vitesse de la sonde au point A2 sera VA2 = VA1 RT /RM . A.N .
8) En arrivant en A2 il faut de nouveau accélérer la sonde pour la mettre sur orbite autour
de Mars à la vitesse de cette planète autour du soleil. Calculer cette augmentation de
vitesse.
9) Calculer la durée du voyage de A1 à A2 . A.N . En fait, Pathfinder, lancé le 4/12/96
a subi quatre corrections de trajectoire avant son arrivée le 4/7/97, après sept mois de
voyage.
10) En admettant que le lancement à partir de la terre a lieu en A1 , où devrait se trouver
alors Mars à cet instant-là pour que la rencontre soit effectuée en A2 . (Repérer Mars par
rapport au soleil par un angle α à calculer.)
11) Estimer avec ce modèle approximatif la durée du voyage jusqu’à Neptune de Voyager II.
On donne le rayon RN = 30 RT de l’orbite de Neptune autour du Soleil. En fait, lancé le
5/9/77, Voyager II est arrivé le 24/8/89 au voisinage de Neptune. Commenter le résultat
trouvé.
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L1 PC et IM & PEEI 2011–2012
UEL SME 2011–2012
Enseignement PHY1
UFR-Sciences de Luminy
Centre d’Océanologie de Marseille
Département de Physique
Dynamique des systèmes – T.D. VI
Oscillateurs
VI.1 Oscillateur harmonique simple.
Un bloc de masse m est attaché à un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixée
à un mur. Le bloc glisse sans frottement sur un axe horizontal.
1) Établir l’équation du mouvement du bloc autour de sa position d’équilibre.
2) Donner la solution du problème sachant que la position du bloc est x0 à t = 0 et qu’à
cet instant sa vitesse est nulle.
3) Calculer la période des oscillations. Quelle est la dimension physique de k ?
VI.2 Pendule simple.
On considère un pendule simple de longueur ` et de masse m dont le mouvement est celui
d’un point matériel, lié à un cercle de rayon `, dans le champ (constant) de pesanteur
d’accélération ~g . On repère la position du pendule par l’angle θ qu’il fait avec la verticale.
1) Déterminer l’énergie totale E du système. En déduire l’équation du mouvement en θ.
2) Donner la solution de l’équation du mouvement linéarisée pour les conditions initiales
θ(0) = θ0 et θ̇(0) = 0. En déduire la période des petits mouvements.
3) Évaluer la tension T~ de la corde.
VI.3 Potentiel de Higgs.
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse m soumis à la force, F (x), dérivant
du potentiel de Higgs
λ
V (x) = (x2 − x20 )2
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où x0 est une constante non nulle et λ une constante strictement positive.
1) Montrer que F (x) = − 21 λx(x2 − x20 ).
2) Déterminer les points où la force s’annule.
3) Quelles sont les positions d’équilibre stable ?
4) Déduire de la seconde loi de Newton l’équation différentielle régissant le mouvement de
ce point matériel.
5) Montrer que cette équation devient : mü + λx20 u = 0 pour les petits mouvements
d’élongation u(t).
6) Quelle est la période, T , des oscillations ? Vérifier que T a bien la dimension d’un temps.
VI.4 Oscillateur harmonique isotrope.
On se propose d’étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m, se déplaçant
dans l’espace sous l’action d’une force de rappel F~ = −k~r, proportionnelle rayon vecteur
−−→
~r = OM repérant la position du point par rapport au centre attracteur, O.
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1) Établir et résoudre les équations du mouvement.
2) En supposant qu’à l’instant t = 0 le point M se trouve en ~r0 avec pour vitesse ~v0 ,
déterminer la trajectoire du point M .
3) Dans quelles configurations initiales, le mouvement se réduit-il à celui d’un oscillateur
à un degré de liberté ?
4) Calculer la période T de la trajectoire déterminée en 2). Cette période dépend-elle des
conditions initiales ?
VI.5 Potentiel de Lennard-Jones.
Deux atomes identiques, de masse m, interagissent par une force conservative dérivant du
potentiel de Lennard-Jones :
r 6 r0 12
0
V (r) = V0
−2
r
r
où r est la distance entre les atomes et V0 = const. > 0
1) Calculer la force dérivant de ce potentiel.
2) Tracer qualitativement le graphe de V et déterminer la pulsation des petites oscillations
autour de la position d’équilibre.
VI.6 Oscillateur harmonique amorti.
Un bloc de masse m est attaché à un ressort de raideur c et glisse avec frottement sur
un plan horizontal. La force de frottement s’oppose à son mouvement. Son intensité est
proportionnelle au poids du bloc. Le coefficient de proportionnalité µ est le coefficient de
friction.
1) On allonge le ressort de x0 par rapport à sa position d’équilibre. A quelle condition le
bloc se met-il en mouvement ?
2) Cette condition étant réalisée, à quelle distance x1 de la position d’équilibre le bloc
s’immobilisera-t-il une première fois avant de repartir en sens inverse ?
3) A quelle distance x2 de la position d’équilibre le bloc s’immobilisera-t-il une deuxième
fois avant de repartir ?
4) Combien d’oscillations le bloc va-t-il effectuer avant de s’immobiliser définitivement ?
VI.7 Oscillations forcées.
On considère un oscillateur unidimensionnel forcé dont l’équation du mouvement est
donnée par : ẍ + 2αẋ + ω02 x = f (t)/m, la force excitatrice étant de la forme
0 si t < 0
f (t) =
F si t ≥ 0
avec F = const. Sachant que le point est au repos en x = 0 pour t < 0, déterminer la
réponse en élongation x(t) et en vitesse ẋ(t) pour t ≥ 0.
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