L1S2 - Mathématiques et Informatique - Université de Tours - 2011/2012 EXAMEN D’ANALYSE - JUIN 2012 - SESSION 2 Documents, calculatrices et matériels électroniques non autorisés Durée de l’épreuve 2h EXERCICE I Soit f la fonction définie sur ] − π, 0[∪]0, π[ par f (x) = 1 sin2 x − x2 1 = . − x2 sin2 x x2 sin2 x 1. Rappeler le développement limité de sin x en 0 à l’ordre 6. En déduire le développement limité de sin2 x en 0 à l’ordre 6. 1 en 0 à l’ordre 1. 1−u 1 En déduire le développement limité de en 0 à l’ordre 2. 1 − 31 x2 2. Rappeler le développement limité de 3. Démontrer que le développement limité de la fonction f en 0 à l’ordre 2 est égale à f (x) = − 1 1 2 − x + x2 (x) 3 15 avec lim (x) = 0. x→0 4. (a) Déduire de la question précédante que la fonction f peut être prolongée par continuité en 0 et donner la valeur de ce prolongement en 0. (b) Démontrer que la fonction g est dérivable en 0 et donner la valeur de sa dérivée en 0. 5. (a) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative C de f en x = 0. (b) Prtéciser la position de la la courbe C par rapport à sa tangente au voisinage de x = 0. EXERCICE II 1. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Vérifier que si x ∈ [a, b], alors a + b − x ∈ [a, b]. T.S.V.P. 2. Soit f une fonction continue de [a, b] dans R et telle que pour tout x de [a, b], on ait : f (a + b − x) = f (x) . (1) Démontrer que b Z a a+b x f (x) dx = 2 b Z f (x) dx . (2) a (on pourra faire le changement de variable u = a + b − x et utiliser l’égalité (1)). 3. (Application) Soit maintenant f une fonction continue de [0, π] dans R définie par : f (x) = sin x . 1 + cos2 x (a) Vérifier que la fonction f satisfait l’égalité (1). (b) Démontrer que Z π 0 x sin x π dx = 2 1 + cos x 2 Z π 0 sin x dx . 1 + cos2 x (c) Calculer Z 1 −1 1 du . 1 + u2 (d) Déduire de tout ce qui précède la valeur de Z π x sin x dx . 2 0 1 + cos x (on pourra utiliser le changement de variable u = cos x EXERCICE III On considère l’équation différentielle y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = xex + e3x (E) 1. Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (Eh ) associée à (E). 2. Trouver une solution particulère de l’équation différentielle y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = xex (E1 ) (on pourra, après justification, la chercher sous la forme y1 (x) = (ax + b) ex où a et b sont des réels à déterminer). 3. Trouver une solution particulère de l’équation différentielle y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = e3x (E2 ) (on pourra, après justification, la chercher sous la forme y2 (x) = cx2 e3x où c est un réel à déterminer). 4. Donner la forme générale des solutions de (E).