Enseignement spécifique Chap. 7’ Fonctions trigonométriques I. Cosinus et sinus d’un nombre réel Dans un repère orthonormé (O ; OI , OJ ), on note C le cercle de centre O et de rayon 1. On oriente le plan dans le sens direct. C est appelé le cercle trigonométrique. Définition : Sinus et cosinus d’un angle Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; i ; j . Soit un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique tel que est une mesure de i ; OM . On appelle cosinus du nombre , noté cos , l’abscisse de M dans O; i ; j sinus du nombre , noté sin , l’ordonnée de M dans O; i ; j . Premières propriétés : Pour tout réel x et pour tout entier naturel k, – 1 cos x 1 ; Angles associés : – 1 sin x 1 ; ; cos² x + sin² x = 1 Soit une mesure de i ; OM dans un repère orthonormal direct O; i ; j . cos (– ) = cos cos ( ) = cos cos ( ) = cos sin (– ) = – sin sin ( ) = sin sin ( ) = sin A 1 A o cos sin 2 A 2 A 3 2 cos sin 2 2 II. Fonctions cosinus et sinus Périodicité Quel que soit le réel x, on a vu que cos(x + 2) = cos x et sin(x + 2) = sin x. On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2. Parité Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos(x) . On dit que la fonction cosinus est paire. 7’. Fonctions trigonométriques Page 1 Terminale S Enseeignement spéécifique On a aussi que quel que so oit le réel x, sin(-x) = -sin(x) . Onn dit que la fonction f sin nus est impaaire. f cosinus est syymétrique paar rapport à l’axe des On a alors que la représenttation graphhique de la fonction onnées et ceelle de la fonction sinus est symétrrique par rappport à l’orrigine du rep père. ordo Thééorème : 1. La fonnction sinus est dérivabble sur R et sa fonction dérivée est la fonction n cosinus 2. La fonnction cosinus est dérivvable sur R et e sa fonctioon dérivée est e la fonction – sinus f co os et sin sur [- ; ] : On peut alors étabblir les tableeaux de varriation des fonctions - 0 x 2 2 1 0 cos 0 -1 -1 - x sin 2 - 2 1 0 0 0 0 -1 Rep présentation ns graphiqu ues x 0 cos x 1 sin x 0 6 3 2 1 2 4 2 2 2 2 3 1 2 3 2 2 0 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 2 2 2 5 6 3 2 1 2 -1 0 d chaque fonction f et à la périodiccité, il est maintenant m p possible de tracer t la cou urbe Grâce à la parité de représentative de chacune dees fonctions. be représen ntative de la fonction cos : Courb 7’. Fonctions F trigoonométriques Pagee 2 Term minale S Enseeignement spéécifique be représen ntative de la fonction sin : Courb Limite remarquable : Soitt f la fonctioon sinus, . ett lim → 0 cos 0 1. D’après la ddéfinition du d nombre dérivé, d on obbtient : lim → 7’. Fonctions F trigoonométriques Pagee 3 1 Term minale S