nombres complexes : cours et exercices

Nombres complexes
Table des matières
I
Cours
1 Les
1.1
1.2
1.3
3
opérations + et ×
Propriétés des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intégrité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R, Q, Z, N, stabilité par les opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
2 Présentation de C
2.1 Propriétés caractéristiques de C . . . .
2.2 Parties réelles et imaginaires . . . . . .
2.3 Lien avec la géométrie du plan . . . .
2.3.1 Affixe et coordonnées . . . . .
2.3.2 Lien avec les opérations . . . .
2.4 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Définition et propriétés . . . .
2.4.2 Orthogonalité . . . . . . . . . .
2.5 Module . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Définition et propriétés simples
2.5.2 Inégalité triangulaire . . . . . .
2.5.3 En géométrie : alignement . . .
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7
7
8
9
9
10
10
10
11
11
3 Les
3.1
3.2
3.3
3.4
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11
11
12
13
13
fonctions cosinus et sinus
Propriétés admises . . . . .
Formules d’addition . . . .
Duplication . . . . . . . . .
Tangente . . . . . . . . . .
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4 Exponentielle complexe
13
4.1 Définition de l’exponentielle sur U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Définition de l’exponentielle sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Trigonométrie
5.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Méthode : quand développer, quand factoriser ?
5.4 Phase et amplitude . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . .
5.6 Écriture exponentielle d’un complexe . . . . . .
5.7 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . .
1
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16
16
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18
18
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6 Interlude : applications linéaires
20
7 Géométrie
7.1 Interprétation géométrique de la multiplication
7.1.1 Multiplication par eiθ . . . . . . . . . .
7.1.2 Multiplication par un réel . . . . . . . .
7.1.3 Résumé, et autres transformations . . .
7.2 Calcul d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 En résumé : formules de géométrie à connaître
II
Exercices
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23
23
1 Opérations sur les nombres
1
2 Module, conjugué, notions générales
1
3 Trigonométrie
2
4 Application à la géométrie
3
2
Première partie
Cours
La définition précise de C et de ses opérations + et × n’est pas au programme. Nous allons dans cette
première partie énumérer les propriétés élémentaires de cet ensemble et de ces opérations, sans les justifier :
ce seront nos axiomes.
En fait, pour la plupart des chapitres nous procéderons ainsi : on admet un petit d’assertions de base, et
on voit tout ce qu’on peut en déduire. C’est précisément cela la démarche mathématique.
Les opérations + et ×
1
1.1
Propriétés des opérations
On commence par énumérer les propriétés de l’addition + et de la multiplication ×. Elles vont vous
paraître évidentes, mais elles prendront leur importance au second semestre lorsque nous étudierons d’autre
additions et d’autre multiplications qui ne les vérifierons pas toujours.
De plus, même si les propriétés vous sont connues, vous ne connaissez peut-être pas leur nom.
1. L’addition est associative, ce qui signifie que :
∀(a, b, c) ∈ C3 ,
(a + b) + c = a + (b + c).
En conséquence, il n’est pas obligatoire d’écrire les parenthèses dans un calcul ne faisant intervenir que
l’addition : le nombre a + (b + c) (qui est aussi égal à (a + b) + c) pourra être noté juste a + b + c.
2. La multiplication aussi est associative.
3. Le nombre 0 est un élément neutre pour l’addition, ce qui signifie que
∀a ∈ C,
a + 0 = a et 0 + a = a.
4. Le nombre 1 est un élément neutre pour la multiplication.
5. Pour tout nombre complexe z, il existe un nombre complexe opposé à z, qu’on note −z et qui vérifie :
z + (−z) = 0 et − z + z = 0
6. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un nombre complexe inverse de z, qu’on note
z −1 et qui vérifie :
z×
1
1
= 1 et × z = 1
z
z
7. L’addition est commutative, ce qui signifie que ∀(a, b) ∈ C2 , a + b = b + a.
8. La multiplication aussi est commutative.
9. La multiplication est distributive par rapport à l’addition, ce qui signifie :
∀(a, b, c) ∈ C3 ,
(a + b) × c = a × c + b × c et a × (b + c) = a × b + a × c.
Remarques et notations :
• Soit (z1 , z2 ) ∈ C2 . Le nombre z1 + (−z2 ) peut être noté z1 − z2 .
1
1
z1
De même, si z2 6= 0 de sorte que
existe, le nombre z1 ×
peut être noté .
z2
z2
z2
3
1
ou
z
• On remplace souvent le symbole × par un simple point. Parfois même, lorsque le contexte est clair,
on l’oublie complètement.
• Dans un calcul utilisant uniquement +, les parenthèses sont inutiles grâce à l’associativité. De même
dans un calcul utilisant uniquement ×. Par contre, dans un calcul combinant les deux, elles sont
indispensables. On décide que lorsqu’aucune parenthèse n’est écrite, c’est la multiplication qui doit
être effectuée en premier. Ainsi 2.3 + 2 signifie (2.3) + 2 (donc 8) et non pas 2.(3 + 2) (qui ferait 10).
• Puisque + est commutative, lorsque la condition a×1 = a est vérifiée, on a automatiquement 1×a = a.
Mais le jour où vous rencontrerez une multiplication non commutative, il faudra bien vérifier les deux
pour prouver qu’un élément est neutre.
Exemple: Effectuer le calcul (114 + 31) − 14 le plus rapidement possible. Quelles propriétés utilisez-vous ?
Même question avec (17 + 39) + (11 − 17), puis 992 , en remarquant que 99 = 100 − 1.
Proposition 1.1. (multiplication par 0)
Pour tout z ∈ C, 0.z = z.
1.2
Intégrité
Voici une conséquence du fait tout complexe hormis 0 admet un inverse pour ×, qui est indispensable à
la résolution d’équations :
Théorème 1.2. ((C, +, .) est intègre)
Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 :
z.z 0 = 0
⇔
z = 0 ou z 0 = 0.
Démonstration:
Le sens ⇐ n’est autre que la proposition 1.1.
Réciproquement, supposons que z.z 0 = 0. Nous allons considérer deux cas, selon que z est nul ou pas :
1. Si z = 0 : l’assertion « z = 0 ou z 0 = 0 » est vraie.
2. Si z 6= 0 : Dans ce cas, z est inversible, i.e. z −1 existe. On a alors, en multipliant l’égalité z.z 0 = 0 par z −1 à
gauche :
donc
donc
z −1 .z.z 0 = z −1 .0
1.z 0 = 0
z 0 = 0.
(définition de z −1 à gauche, et proposition 1.1 à droite )
(1 est neutre pour .)
Nous avons traité tous les cas possibles (z = 0 ou z 6= 0) et à chaque fois, nous avons vu que z = 0 ou z 0 = 0 .
Ce théorème est très important : c’est celui qui permet de résoudre la plupart des équations. Par exemple
résoudre les équations suivantes, d’inconnue x ∈ C :
(A) : x2 = 4
(D) : cos(x) + 2x cos(x) = 0
2
(B) : x = 2
(E) : x2 + 2x + 2 = 0
(C) : x2 = −1
(F ) : x2 + x + 2 = 0
1.3
R, Q, Z, N, stabilité par les opérations
La définition des ensembles N, Z, Q, R n’est pas au programme. Dans ce paragraphe, on rappelle juste un
point : les opérations + et × appliquées à deux nombres réels donnent un nombre réel. En formules :
∀(a, b) ∈ R2 ,
a+b∈R
et
4
∀(a, b) ∈ R2 ,
a×b∈R
On dit que R est stable par + et ×.
Les ensembles Q, Z et N sont également stables par + et ×.
Concernant l’opposé et l’inverse, on a :
• ∀a ∈ R, −a ∈ R. On dit que R est stable par passage à l’opposé.
• Z également est stable par passage à l’opposé. Par contre N ne l’est pas.
1
• ∀a ∈ R∗ , ∈ R∗ .
a
Exemple: Soit a ∈ R et b ∈ C \ R. Démontrer que a + b ∈ C \ R. Indication :Par l’absurde.
Même question pour a.b. Attention : il y a un piège ...
Remarque : La notation d’ensemble stable par les opérations sera très importante au second semestre.
5
Présentation de C
2
2.1
Propriétés caractéristiques de C
Voici les propriétés caractéristiques de C. Tous les théorèmes que nous prouveront dans ce chapitre en
découleront.
Proposition 2.1. Il existe un nombre complexe noté i vérifiant :
1. i2 = −1
2. ∀z ∈ C, ∃!(x, y) ∈ R2 tel que z = x + i.y
Nous fixons pour toute l’année (et aussi celle à venir) un tel nombre complexe i.
Remarque : −i vérifie aussi ces deux conditions ! Peut-être que les extra-terrestres utilisent −i au lieu de i
lorsqu’ils utilisent les nombres complexes.
2.2
Parties réelles et imaginaires
Il est important de noter que les réels x et y du 2) sont uniques. Ceci nous autorise à leur donner un
nom.
De manière général, on peut poser une définition, c’est-à-dire donner un nom à un objet à partir du moment
où on est sûr qu’il existe et qu’il est unique.
Définition 2.2. Soit z ∈ C. Soient (x, y) ∈ R2 l’unique couple de nombres réels tels que z = x + iy.
1. x est appelé la partie réelle de z, et y sa partie imaginaire. On note x = Re(z) et y = Im(z).
2. L’écriture z = x + iy s’appelle l’écriture algébrique de z.
3. Lorsque Im(z) = 0, on a z ∈ R, on peut dire que z est réel.
4. Lorsque Re(z) = 0, on dit que z est imaginaire pur. L’ensemble des nombres imaginaires purs se note
iR.
On a donc iR = i × x | x ∈ R .
Par exemple quelle est l’écriture algébrique de 0 ? Bien sûr, c’est 0 + 0 · i. Détaillons le calcul à titre
d’exercice :
Principe général : dans un calcul, partir de préférence du côté le plus compliqué. Ici, c’est 0 + 0i.
0+0·i=
=
0·i
0
car 0 est neutre
par la proposition 1.1 (multiplication par 0)
Ainsi, 0 = 0 + 0.i, nous avons trouvé l’écriture algébrique de 0. On constate alors que la partie imaginaire
de 0 est 0, et que sa partie réelle est 0.
1
. Il s’agit donc de mettre ce nombre sous sa
1+i
forme algébrique. Bien sûr vous connaissez la méthode : multiplier numérateur et dénominateur par 1 − i.
Exemple: Déterminer partie réelle et imaginaire de
Proposition 2.3. (linéarité de Re et Im)
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 . Alors :
Re(z + z 0 ) = Re(z) + Re(z 0 )
6
Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 ).
En outre, si λ ∈ R, on a :
Re(λz) = λRe(z)
Im(λz) = λIm(z).
On dit que les fonctions Re et Im sont « linéaires ».
N.B. Il n’y a pas de formule simple pour Re(z × z 0 ) ou Im(z × z 0 ) ! À titre d’exercice, déterminer une formule
pour exprimer Re(z × z 0 ) et Im(z × z 0 ) en fonction de Re(z), Re(z 0 ), Im(z), Im(z 0 ).
Logique : on va utiliser la notion d’implication et d’équivalence.
Théorème 2.4. ∀(z, z 0 ) ∈ C2 ,
z = z0
⇔
(
Re(z) = Re(z 0 )
Im(z) = Im(z 0 )
.
Démonstration: Notons x, y, x0 , y 0 les parties réelles et imaginaires de z et z 0 , respectivement. Donc z = x + iy,
0
z = x0 + iy 0 , et x, y, x0 , y 0 sont réels.
• Commençons par ⇐ :
(
On suppose que
x = x0
y = y0
. Alors :
z = x + iy = x0 + iy 0 = z 0 .
•
Réciproquement, prouvons par ⇒ :
On suppose z = z 0 .
Alors z = x + iy = x0 + iy 0 .
On a trouvé deux couples de réels permettant d’écrire z sous forme algébrique. Or les axiomes de C indiquent
qu’un tel couple est unique. Donc ces deux couples sont en fait le même, i.e. x = x0 et y = y 0 .
Et donc les parties réelles et imaginaires de z et z 0 sont les mêmes.
N.B. L’écriture z = x + iy est unique à condition que x et y soient réels !
Par exemple, on a 0 = 0 + i · 0 et 0 = 1 + i · i, mais seule la première écriture est l’écriture algébrique
de 0.
2.3
Lien avec la géométrie du plan
Il est souvent parlant de représenter un nombre complexe par un point du plan. Nous rappelons ici
définitions et propriétés élémentaires, sachant que cette partie restera un peu imprécise car nous n’avons pas
fait de rappels sur la géométrie du plan (plus vraiment au programme)...
2.3.1
Affixe et coordonnées
~ l’ensemble des vecteurs de P.
Soit P un plan, muni d’un repère orthonormé R = (O,~i, ~j). On notera P
Ces notations seront conservées pour tout le chapitre.
~ un vecteur, alors on peut définir l’image de M par la translation de
Si M ∈ P et un point et ~u ∈ P
vecteur ~u, celle-ci est notée M + ~u.
On rappelle que pour tout point M ∈ P, il existe un unique couple (x, y) ∈ R2 tel que M = O + x~i + y~j :
ce sont les coordonnées de M dans le repère (O,~i, ~j).
~ il existe un unique couple (x, y) ∈ R2 tel que ~u = x~i + y~j : ce sont les
Et pour tout vecteur ~u ∈ P,
coordonnées de ~u dans la base (~i, ~j).
7
Définition 2.5. (affixe d’un vecteur)
• Pour tout vecteur ~u de coordonnées (x, y) dans (~i, ~j), on appelle affixe du vecteur ~u dans la base (~i, ~j)
le nombre complexe x + iy.
• Dans l’autre sens, si z = x + iy est un nombre complexe, on appelle le vecteur d’affixe z dans la base
(~i, ~j) le vecteur de coordonnées (x, y) dans (~i, ~j) (i.e. le vecteur x.~i + ~j).
Définition 2.6. (affixe d’un point)
• Pour tout point M de coordonnées (x, y), on appelle affixe du point M dans le repère R le nombre
complexe x + iy.
• Dans l’autre sens, si z = x + iy est un nombre complexe, on appelle point d’affixe z dans le repère R
le point de coordonnées (x, y) dans R (i.e. le point O + x~i + y~j).
N.B. Un nombre complexe peut donc être utilisé pour représenter un point ou un vecteur : ne pas mélanger
les deux !
Remarques :
• Si z est l’affixe d’un vecteur (resp. d’un point) ~u (resp. M ) dans la base (~i, ~j) (resp. le repère (O,~i, ~j)),
alors Re(z) est son abscisse et Im(z) est son ordonnée.
• Par ailleurs, il n’existe pas de notation clairement fixée pour l’affixe d’un point/vecteur ou pour le
point/vecteur d’affixe donnée. Le mieux est d’écrire la phrase en français.
Les définitions précédente nous permettent de penser aux nombres complexes comme à des vecteurs ou
comme à des points du plan. (On choisira selon la situation la représentation la mieux adaptée.) Ceci permet
souvent de mieux comprendre les problèmes.
Et réciproquement, un problème de géométrie plane pourra souvent être traité de manière plus simple
grâce aux nombres complexes.
2.3.2
Lien avec les opérations
Opérations usuelles sur les points et les vecteurs du plan :
• Milieu de deux points
−−→
• Étant donnés deux points A et B, on peut définir le vecteur AB
• Additionner deux vecteurs
• Multiplier un vecteur par un réel
• Étant donnés un point et un vecteur, effectuer la translation de ce point par ce vecteur.
Pour chacune des opérations suivantes, voyons comment on calcule les coordonnées et l’affixe du résultat.
Proposition 2.7.
1. Soit A un point d’affixe zA et ~u un vecteur d’affixe zu . Alors le point A + ~u a pour affixe zA + zu .
2. Soient ~u et ~v deux vecteurs, d’affixes zu et zv . Alors ~u + ~v a pour affixe zu + zv .
−−→
3. Soient z1 et z2 sont les affixes de deux points A et B, alors AB a pour affixe z2 − z1 .
~ soit z sont affixe. Soit λ ∈ R. Alors l’affixe de λ.~u est λ.z.
4. Soit ~u ∈ P,
N.B. Le sens géométrique de la multiplication par un complexe non réel est plus difficile, et sera traité plus
loin dans le chapitre.
Démonstration:
Soient (xA , yA ) les coordonnées de A et (xu , yu ) les coordonnées de ~
u. Alors les coordonnées de A + ~
u sont
(xA + xu , yA + yu ).
Par ailleurs, zA = xA + iyA et zu = xu + iyu , donc zA + zu = xA + xu + i(yA + yu ).
On constate donc qu’effectivement, l’affixe du point A + ~
u est zA + zu .
8
Deuxième point similaire.
2.4
2.4.1
Conjugaison
Définition et propriétés
Définition 2.8. Soit z = x + iy ∈ C. Alors son conjugué, noté z̄ est :
z̄ = x − iy .
Remarque : En physique, le conjugué de z est parfois noté z ∗ . De plus, certains ont l’habitude de souligner tous les
nombres complexes.
Géométriquement : soit z ∈ C et soit M le point d’affixe z, et M 0 le point d’affixe z̄. Alors M 0 est le symétrique
de M par rapport à l’axe des ordonnées O + Vect(~i).
Proposition 2.9. (propriétés de la conjugaison)
• (compatibilité avec + et × : Pour tous (z, z 0 ) ∈ C2 , on a : z + z 0= z̄ + z¯0 et zz 0 = z̄.z¯0 .
• (compatibilité avec le quotient :) Soit z ∈ C et z 0 ∈ C∗ , alors zz0 = z̄z̄0 .
• (compatibilité avec les puissances) ∀z ∈ C, ∀n ∈ N, z n = z̄ n . En outre, si z 6= 0, alors ceci est encore valable
pour n ∈ Z.
• (la conjugaison est une involution :) ∀z ∈ C, z̄¯ = z.
• ∀z ∈ C, z + z̄ = 2Re(z) et z − z̄ = 2i.Im(z).
N.B. La conjugaison a de très bonnes propriétés vis-a-vis des opérations. C’est pourquoi elle est très utile dans
les exercices. Notamment, dans un exercice utilisant des modules, il sera souvent judicieux de les remplacer par des
conjugués, grâce à la formule |z|2 = z × z (formule rappelée ci-après).
Le théorème ci-dessous est le plus souvent utilisé concernant la conjugaison. Il permet de savoir facilement quand
est-ce qu’un nombre est réel ou imaginaire pur.
Théorème 2.10. (caractérisation d’un réel ou d’un imaginaire pur)
Soit z ∈ C. Alors :
1. z ∈ R ⇔ z = z̄.
2. z ∈ iR ⇔ z = −z̄.
Démonstration:
On prouve le premier point, le second étant similaire.
• Prouvons ⇒ :
On suppose z ∈ R. Alors l’écriture algébrique de z est z = z + 0i, et donc z̄ = z − Oi = z.
• Réciproquement, prouvons ⇐ :
supposons que z̄ = z. Soient (x, y) ∈ R2 tels que z = x + iy. On a :
donc
donc
donc
z̄ = z
x − iy = x + iy
(
x=x
y = −y
2.y = 0 donc y = 0
proposition 2.4
Et par conséquent, z = x, et c’est un nombre réel.
cf exercice: 9
Exemple: Soit (a, b, c, d) ∈ R4 . On suppose que l’équation (E) : az 3 + bz 2 + cz + d = 0 d’inconnue z ∈ C a une
seule solution. Montrer que celle-ci est réelle.
En général, montrer que pour tout z ∈ C, si z est solution de (E), alors son conjugué z̄ aussi.
Remarque : bien entendu ceci est valable pour n’importe quelle équation polynomiale, la preuve étant toujours la
même.
9
2.4.2
Orthogonalité
~ 2 . On dit qu’ils sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul i.e. ~
Soient (~
u, ~v ) ∈ (P)
u.~v = 0.
Soient (x, y) ∈ R2 les coordonnées de ~
u et (x0 , y 0 ) celles de ~v . Alors ~
u.~v = x.x0 + y.y 0 , et donc ~
u ⊥ ~v
xx0 + yy 0 = 0.
⇔
Traduisons ceci à l’aide de nombres complexes : Soit z = x + iy l’affixe de ~
u et soit z 0 = x0 + iy 0 l’affixe de ~v . On
0
0
0
constate que xx + yy = Re(z̄.z ), d’où :
~
u ⊥ ~v
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Re(z̄.z 0 ) = 0
z̄.z 0 ∈ iR
z̄.z 0 = −z̄.z 0
z.z̄ 0 = −z̄.z 0
z.z̄ 0 + z̄.z 0 = 0
proposition2.10
propriétés de la conjugaison
Remarque : Les calculs ci-dessus sont simples : si vous avez oublié le résultat, refaites-les !
cf exercice: ??
2.5
2.5.1
Module
Définition et propriétés simples
Le module prolonge la notion de valeur absolue pour les nombres complexes.
Définition 2.11. Soit z = x + iy un nombre complexe et son écriture algébrique. On définit le module de z, noté |z|
par :
p
|z| = x2 + y 2 .
Remarque : La définition est valide car x2 + y 2 est un nombre réel, et positif.
Géométriquement, soit z ∈ C. Soit M le point d’affixe z, soit ~
u le vecteur d’affixe z. Alors |z| est la longueur OM ,
c’est aussi la norme du vecteur ~
u : |z| = OM = ||~
u||.
Proposition 2.12.
1. ∀z ∈ C, |z| est un réel positif ou nul.
2. ∀z ∈ R, le module de z est égal à sa valeur absolue. (Ceci justifie l’utilisation de la même notation |z|.)
3. ∀z ∈ C, le nombre z.z̄ est un réel positif, et :
√
|z| = z.z̄.
4. ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , |z.z 0 | = |z|.|z 0 |.
5. ∀z ∈ C, |z| = 0 ⇔ z = 0.
6. ∀z ∈ C, |z| = |z̄|.
Démonstration:
1. évident.
√
√
2. Soit z ∈ R, alors l’écriture algébrique de z est z = z + 0.i, et son module est z 2 + 02 = z 2 . Ceci est
effectivement égal à la valeur absolue de z.
3. Soit z = x + iy un complexe et son écriture algébrique. Alors :
z.z̄ = (x + iy).(x − iy) = (x2 + y 2 ) + i(−xy + yx) = x2 + y 2 .
C’est bien un réel positif, et sa racine carrée est bien |z|.
4. On utilise le point précédent :
p
√
√
√
|z.z 0 | = z.z̄. z 0 .z̄ 0 = z.z 0 .z̄.z̄ 0 = (z.z 0 ).z.z 0 = |z|.|z 0 |.
5. Soit z ∈ C, et soit x + iy son écriture algébrique. Alors :
|z| = 0
⇔
p
x2 + y 2 = 0
⇔
x2 + y 2 = 0
⇔
(x = 0 et y = 0)
⇔
z = 0.
10
2.5.2
Inégalité triangulaire
Théorème 2.13. (inégalité triangulaire)
1. Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 : z + z 0 6 |z| + |z 0 |.
2. (cas d’égalité) Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 : z + z 0 = |z| + |z 0 |
⇔
∃λ ∈ R+ tq (z = λ.z 0 ou z 0 = λ.z).
La condition d’égalité s’interprète très simplement géométriquement : les deux vecteurs d’affixe respective z et z 0
sont colinéaires et de même sens.
N.B. |z − z 0 | = |z + (−z 0 )| 6 |z| + | − z 0 | = |z| + |z 0 |.
cf exercice: 9,13,14
Remarque : Cette inégalité permet de majorer que |z + z 0 |, i.e. de montrer que |z + z 0 | n’est pas trop grand. C’est ce
dont on a besoin le plus souvent. Cependant, si vous vouliez minorer cette quantité (donc montrer que |z + z 0 | n’est
pas trop petit), vous auriez besoin d’une inégalité dans l’autre sens. Cette inégalité existe, et s’appelle la seconde
inégalité triangulaire, la voici :
∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z + z 0 > |z| − |z 0 | |.
En outre, il y a égalité si et seulement si ∃λ ∈ R− tq z = λz 0 ou z 0 = λz. Géométriquement, c’est lorsque les
vecteurs d’affixes z et z 0 sont colinéaires de sens opposé.
2.5.3
En géométrie : alignement
Nous venons de parles de vecteurs colinéaires. Développons et profitons-en pour étudier l’alignement des points.
3
Les fonctions cosinus et sinus
3.1
Propriétés admises
La définition et les preuves des propriétés élémentaires des fonctions sinus et cosinus ne sont pas au programme.
S’en tenir à la vision géométrique du cercle trigonométrique.
On rappelle quelques propriétés élémentaires :
Proposition 3.1. (admis)
1. ∀θ ∈ R, cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1.
2. Pour tout couple (x, y) ∈ R2 tel que x2 + y 2 = 1, il existe θ ∈ R tel que x = cos(θ) et y = sin(θ).
Interprétation géométrique : soit (x, y) ∈ R2 tel que x2 + y 2 = 1, alors (x, y) sont les coordonnées d’un point M
−−→
du cercle trigonométrique. Le réel θ donné par le point (ii) est alors une mesure de l’angle (~i, OM ). Les points (iii)
et (iv) indiquent que les autres mesures possibles de cet angle sont tous les nombre de la forme θ + 2kπ, pour k ∈ Z.
Enfin, le point (i) peut-être vu comme une réciproque : pour tout θ ∈ R, le couple (cos(θ), sin(θ)) forme les
coordonnées d’un point du cercle trigonométrique.
Notons que (i) implique que pour tout θ ∈ R, cos(θ) ∈ [−1, 1]. En effet, sinon on aurait cos2 (θ) > 1 et donc
cos2 (θ) + sin2 (θ) > 1 car sin2 (θ) > 0 puisque c’est un carré.
Et de même et sin(θ) ∈ [−1, 1].
La proposition suivante indique quand est-ce que les fonctions cosinus et sinus peuvent prendre deux fois la même
valeur, ce sera en particulier le résultat essentiel pour résoudre des équations :
Proposition 3.2.
−θ2 + 2kπ.
1. Pour tout (θ1 , θ2 ) ∈ R2 , cos(θ1 ) = cos(θ2 )
2. Pour tout (θ1 , θ2 ) ∈ R2 , sin(θ1 ) = sin(θ2 )
(
3. Pour tout (θ1 , θ2 ) ∈ R2 ,
⇔
⇔
∃k ∈ Z tq θ1 = θ2 + 2kπ ou θ1 =
∃k ∈ Z tq θ1 = θ2 + 2kπ ou θ1 = π − θ2 + 2kπ.
0
cos(θ) = cos(θ )
sin(θ) = sin(θ0 )
⇔
∃k ∈ Z tq θ = θ0 + 2kπ.
11
Remarques :
• Pour dire « ∃k ∈ Z tq θ = θ0 + 2kπ », on peut noter « θ ∈ θ0 + 2πZ », ou encore « θ ≡ θ0 [2π] ».
• Nous n’avons pas parlé de la définition du nombre π... En réalité, une définition possible, et même sans doute
celle la plus utilisée, serait que π est le plus petit réel strictement positif qui annule la fonction sin.
Proposition 3.3. (symétries)
1.
2.
3.
4.
5.
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
cos(x + 2π) = cos(x). On dit que la fonction cosinus est 2π-périodique.
sin(x + 2π) = sin(x). La fonction sinus est donc également 2π-périodique.
cos(−x) = cos(x) : on dit que cosinus est paire
sin(−x) = − sin(x) : on dit que sinus est impaire
cos(x + π) = − cos(x) et sin(x + π) = − sin(x)
π
π
6. ∀x ∈ R, cos( − x) = sin(x) et sin( − x) = cos(x)
2
2
On déduit de ces formules les formules pour cos(π/2 + x), cos(π − x)...
3.2
Formules d’addition
On propose dans ce paragraphe une preuve géométrique des formules d’addition pour sinus et cosinus (sin(a+b) =
.., cos(a + b) = ...)
Soit (a, b) ∈ R2 . Pour simplifier, prenons en fait (a, b) ∈ [0, π2 ], tel que a + b 6 π/2, de sorte que les sinus et cosinus
de a, b et a + b sont positifs.
Nous munissons le plan d’un repère orthonormé (O,~i, ~j). Pour tout θ ∈ R, on notera M (θ) le point du cercle
trigonométrique repéré par θ. Notons A = M (a). Soit H le projeté orthogonal de M (a) sur O + R.~i (l’axe des abscisses
autrement dit).
Soit B l’intersection entre la droite (OM (b)) et la perpendiculaire à (OA) passant par A.
Soit J le projeté orthogonal de B sur O + R~i, et I le projeté orthogonal de B sur (AH).
A
a
C
I
B
b
a
O
H
J
−−→ −→
Un simple calcul d’angles montre que (AH, AB) a pour mesure a.
Comme OA = 1 (A est un point du cercle trigonométrique), cos(a + b) = OH et sin(a + b) = AH. Nous allons
calculer la longueur AH :
AH = AI + IH = AI + BJ = AB. cos(a) + OB. sin(A) = sin(b). cos(a) + cos(b). sin(a)
Nous avons donc obtenu que :
sin(a + b) = sin(a). cos(b) + cos(a). sin(b)
Nous admettrons que cette formule reste valable pour tout (a, b) ∈ R2 .
Pour obtenir la formule analogue concernant le cosinus, on peut :
12
• refaire une preuve similaire, en partant de cos(a + b) = OH = AJ − HJ
• Appliquer la formule pour le sinus avec π/2 − a au lieu de a, et −b au lieu de b
3.3
Duplication
Des formules d’addition déjà vues, on obtient immédiatement :
(
∀x ∈ R,
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
sin(2x) = 2 sin(x). cos(x)
Notons que la première formule permet par exemple de calculer le cosinus ou le sinus de la moitié d’une valeur
connue. En effet, on à ∀x ∈ R, en appliquant les formules ci-dessus avec x/2 :


cos2 ( x ) = cos(x) + 1
2
2
1 − cos(x)

sin2 ( x2 ) =
2
r
Il reste juste à connaître le signe de cos(x) pour savoir si cos(x) =
r
cos(x) + 1
ou −
2
cos(x) + 1
.
2
cf exercice: 15
3.4
Tangente
Définition 3.4. Pour tout θ ∈ R \ (
π
+ πZ), on pose :
2
tan(θ) =
sin(θ)
.
cos(θ)
Soit (a, b) ∈ R \ ( π2 + π.Z) tel que a + b ∈ R \ ( π2 + π.Z), de sorte que tan(a), tan(b), et tan(a + b) sont bien définies.
Exprimons tan(a + b) en fonction de tan(a) et tan(b) :
tan(a) + tan(b)
sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
=
cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
1 − tan(a) tan(b)
Ensuite, la formule de duplication : pour tout a ∈ R \ ( π4 + π2 .Z) :
tan(a + b) =
2 tan(a)
1 − tan2 (a)
tan(2a) =
4
4.1
Exponentielle complexe
Définition de l’exponentielle sur U
Définition 4.1. Pour tout θ ∈ R, on pose :
eiθ = cos(θ) + i sin(θ) .
La fonction ainsi définie est 2π-périodique : pour tout θ ∈ R, on a ei(θ+2π) = cos(θ + 2π) + i sin(θ + 2π) =
cos(θ) + i sin(θ) = eiθ .
Quelques valeurs remarquables :
• ei0 = cos(0) + i sin(0) = 1, de sorte que cette définition est cohérente avec celle de l’exponentielle réelle.
• eiπ = −1.
• eiπ/2 = i
Proposition 4.2. (propriétés simples de l’exponentielle complexe)
• La fonction θ 7→ eiθ est 2π-périodique, c’est-à-dire que pour tout θ ∈ R, ei(θ+2π) = eiθ .
• Pour tout θ ∈ R, e−iθ = eiθ .
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin(θ) =
.
• Pour tout θ ∈ R, cos(θ) =
2
2
13
4.2
Morphisme
La fonction exponentielle est très pratique en trigonométrie, car elle rassemble en une seule fonction les fonctions
cosinus et sinus. De plus, les formules concernant l’exponentielle complexes sont plus simples à retenir que celles
concernant cos et sin.
Proposition 4.3. (propriété fondamentale de l’exponentielle complexe)
Pour tout (θ, θ0 ) ∈ R2 ,
0
0
ei(θ+θ )) = eiθ .eiθ .
Remarque : On dit que l’exponentielle complexe est un « morphisme » de (R, +) vers (U, ×).
Démonstration: C’est une simple conséquence des formules donnant cos(θ + θ0 ) et sin(θ + θ0 ).
D’une part,
0
ei(θ+θ ) = cos(θ + θ0 ) + i sin(θ + θ0 ) = cos(θ) cos(θ0 ) − sin(θ) sin(θ0 ) + i sin(θ) cos(θ0 ) + cos(θ) sin(θ0 ) .
D’autre part,
0
eiθ .eiθ = cos(θ) + i sin(θ) + cos(θ0 ) + i sin(θ0 ) = cos(θ) cos(θ0 ) − sin(θ) sin(θ0 ) + i sin(θ) cos(θ0 ) + cos(θ) sin(θ0 ) .
Les deux nombres sont bien les mêmes.
0
0
Remarque : L’égalité ei(θ+θ ) = eiθ .eiθ « contient » les deux égalités cos(θ + θ0 ) = cos(θ) cos(θ0 ) − sin(θ) sin(θ0 ) et
sin(θ + θ0 ) = sin(θ) cos(θ0 ) + cos(θ) sin(θ0 ) (il suffit de prendre la partie réelle pour cos et la partie imaginaire pour
sin), mais elle est beaucoup plus facile à retenir. En cas de trou de mémoire, on pourra donc retrouver ces dernières
à partir de la première.
Une simple récurrence permet d’obtenir le résultat suivant :
Proposition 4.4. (formule de Moivre)
Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ Z,
einθ = eiθ
n
.
Autrement dit :
cos(nθ) + i sin(nθ) = cos(θ) + i sin(θ)
Proposition 4.5. (égalité de deux exponentielles)
Pour tout (θ, θ0 ) ∈ R2 :
0
⇔
eiθ = eiθ
(ou encore θ ≡ θ0
n
.
∃k ∈ Z tq θ = θ0 + 2kπ
[2π], ou encore θ ∈ θ0 + 2πZ.)
Démonstration:
Soit (θ, θ0 ) ∈ R2 , alors :
eiθ = eiθ
0
⇔
⇔
⇔
cos(θ)
+ i sin(θ) = cos(θ0 ) + i sin(θ0 )
(
cos(θ) = cos(θ0 )
sin(θ) = sin(θ0 )
∃k ∈ Z tq θ = θ0 + 2πZ
14
4.3
Définition de l’exponentielle sur C
Définition 4.6. Soit z = x + iy un nombre complexe sous sa forme algébrique. On définit :
ez = ex .eiy .
Ainsi nous obtenons une fonction C → C∗ .
Vérifions que cette définition est compatible avec l’exponentielle réelle déjà étudiée : soit x ∈ R, alors x = x + 0.i
donc la définition ci-dessus donne ex+0i = ex .e0i = ex .1 = ex .
Remarque : La notation « exp » sans plus précision représente a priori l’exponentielle réelle R → R+∗ . Il n’y a pas de
notation spécifique à l’exponentielle complexe.
Proposition 4.7. Pour tous (z, z 0 ) ∈ C2 , on a :
0
0
ez+z = ez .ez .
→
7
→
C
z
De plus son noyau est 2iπ.Z.
Autrement dit, la fonction
C
ez
est un morphisme de groupes de (C, +) dans (C∗ , .).
Remarque : On peut facilement montrer aussi que cette fonction est surjective.
Démonstration:
Soient (x, y, x0 , y 0 ) ∈ R4 tels que z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 . Alors :
0
ez+z =
ex+x
0
+i(y+y 0 )
x
0
x
iy
iy
e .e .e .e
=
=
0
= ex+x .ei(y+y
x
iy
e .e
z
z
e .e
=
iy 0
. e .e
ex+iy .ex
=
+iy
)
(définition 4.6)
0
x0
0
0
(propriétés de l’exponentielle réelle et proposition 4.3)
(commutativité de C)
0
(encore selon la définition 4.6)
0
Montrons que exp est surjective dans C∗ : soit z ∈ C∗ , soit (x, y) ∈ R2 tel que z = x+iy. Nous savons (coordonnées
polaires) qu’il existe (ρ, θ) ∈ R+∗ × R tels que x = ρ. cos(θ) et y = ρ. sin(θ). Alors :
z = ρ.eiθ = eln(ρ)+iθ
Enfin, étudions le noyau de exp. Déjà, il est clair que 2iπ.Z est inclus dans le noyau de exp. Réciproquement, soit
z ∈ Ker(exp). Donc ez = 1. Notons x + iy l’écriture algébrique de z. Alors ez = ex .eiy .
Déjà, on peut étudier le module : 1 = |z| = ex . D’où x = 0. On obtient alors eiy = 1. Vue notre étude de la
fonction θ 7→ eiθ , ceci implique y ∈ 2π.Z.
Remarque : La surjectivité de exp est en fait peu utile.
Remarque : L’exponentielle complexe est assez facilement définie, par contre l’existence d’un logarithme complexe
est bien plus délicat. En classe préparatoire, on appliquera la règle : ne jamais prendre le logarithme d’un nombre
complexe !
Corollaire 4.8. Soit (z, z 0 ) ∈ C2 . Alors :
ez = ez
0
⇔
∃k ∈ Z tq z = z 0 + 2ikπ
Démonstration:
ez = ez
0
⇔
0
ez−z = 1
⇔
z − z 0 ∈ Ker(exp)
⇔
z − z 0 ∈ 2iπZ
⇔
∃k ∈ Z tq z = z 0 + 2ikπ
15
5
Trigonométrie
Les fonctions trigonométriques sont très fréquentes toutes sciences confondues, il est important de savoir les
manipuler.
On a vu partie 3 les formules les plus élémentaires. L’usage de l’exponentielle complexe va nous permettre
maintenant de prouver facilement quelques formules un peu plus élaborées.
5.1
Linéarisation
Pour commencer, voyons sur un exemple comment d’y prendre pour linéariser une expression polynomiale en
eix − e−ix
eix + e−ix
cos(x) et sin(x). Il suffit de remplacer cos(x) par
et sin(x) par
.
2
2i
2
2
Soit x ∈ R, linéarisons cos (x). sin (x) :
cos2 (x). sin2 (x) =
2
2
eix + e−ix
eix − e−ix
×
2i
2
−1 2ix
−2ix
× e2ix − 2 + e−2ix
e +2+e
16
−1 4ix
.(e + e−4ix − 4)
16
1
1
− cos(4x)
4
8
=
=
=
cf exercice: ??,18
Maintenant, voyons comment linéariser une expression plus générale : où les cos et les sin ne sont plus forcément
évaluée en une même valeur x comme ci-dessus.
Soit (a, b) ∈ R2 . Cherchons à linéariser les expressions cos(a) cos(b), sin(a) sin(b), et sin(a) cos(b).
eia + e−ia eib + e−ib
1
1
.
= .(ei(a+b) + ei(a−b) + e−i(a−b) + e−i(a+b) ) = (cos(a + b) + cos(a − b))
2
2
4
2
−1 i(a+b)
1
eia − e−ia eib − e−ib
i(a−b)
−i(a−b)
−i(a+b)
.
=
.(e
−e
−e
+e
) = (cos(a − b) − cos(a + b))
sin(a) sin(b) =
2i
2i
4
2
eia − e−ia eib + e−ib
1 i(a+b)
1
i(a−b)
−i(a−b)
−i(a+b)
sin(a) cos(b) =
.
= .(e
+e
−e
−e
) = .(sin(a + b) + sin(a − b))
2i
2
4i
2
•
cos(a) cos(b) =
•
•
cf exercice: 15.4), 18,17
5.2
Factorisation
A présent, nous cherchons plutôt à factoriser une somme. Typiquement, dans l’optique de résoudre une équation
ou d’étudier un signe. Dans ce paragraphe nous traitons un cas très particulier :
Soit θ ∈ R, alors :
θ
1 + eiθ = eiθ/2 .(e−iθ/2 + eiθ/2 ) = 2eiθ/2 . cos( ).
2
(On a « factorisé par l’angle moitié ».)
On peut généraliser un peu le principe : soit (a, b) ∈ R2 , alors :
eia + eib = ei(a+b)/2 . ei(a−b)/2 + ei(b−a)/2
= 2.ei(a+b)/2 . cos(
a−b
).
2
(Ici, on a factorisé par « l’angle moyen ».)
Cette factorisation a ceci de pratique qu’un des facteurs est réel. Elle est donc très pratique pour rechercher une
partie réelle ou imaginaire (cf exercice: ??,?? ).
16
En prenant les parties réelles et imaginaires dans ce qu’on vient d’obtenir, on trouve :


cos(a) + cos(b) = 2 cos( a + b ). cos( a − b )
2
2
a+b
a−b

sin(a) + sin(b) = 2 sin(
). cos(
)
2
2
Par ailleurs, en partant de eia − eib on trouve :
eia − eib = 2iei(a+b)/2 sin(
D’où :
cos(a) − cos(b) = −2 sin
a−b
)
2
a−b
a+b
). sin(
)
2
2
cf exercice: 23( 4 et 5), 20,21.
Exemple: Accordage de guitare.
5.3
Méthode : quand développer, quand factoriser ?
Nous avons vu comment « linéariser » (i.e. de transformer en somme), ou au contraire de « factoriser » (i.e.
transformer en produit) une expression trigonométrique. L’opération n’est pas difficile, avec un peu d’entraînement
(indispensable !) cela devient mécanique. Par contre il faut savoir reconnaître les situations où il est utile de factoriser,
et celles où il est utile de linéariser. Typiquement :
• la linéarisation est utile pour dériver ou intégrer.
• La factorisation est utile pour résoudre une équation, ou une inéquation, en particulier étudier un signe.
Exercice :
1. Étudier sur [0, 2π] les variations de la fonction f : x 7→ sin(x) + cos(x).
2. Calculer
R 2π
0
cos(x) sin(x)dx.
3. Calculer la dérivée troisième de x 7→ cos3 (x).
4. Résoudre l’équation cos(2x) + cos(4x) = cos(3x).
5.4
Phase et amplitude
Il arrive fréquemment en physique que l’on somme deux fonctions sinusoïdales de pulsation différente. Il est bon
de savoir qu’alors le résultat est encore une fonction sinusoïdale, simplement il y aura un décalage, une « phase ».
Précisément :
Proposition 5.1. Soit (a, b) ∈ R2 , x ∈ R. Alors il existe A ∈ R et ϕ ∈ R tel que :
a. cos(x) + b. sin(x) = A. cos(x − ϕ) .
√
Plus précisément, on peut prendre A = a2 + b2 .
(Pas de formule simple et générale pour calculer ϕ.)
Il faut savoir faire ce calcul si√nécessaire, et pour ce, suivre la démonstration que voici.
Démonstration: Posons A = a2 + b2 . Si a = 0 et b = 0, alors A = 0 et la formule voulue est vraie quel que soit
ϕ. Supposons à présent a 6= 0 ou b 6= 0, donc A > 0. On a alors :
a cos(x) + b sin(y) = A
s
2 2
a
A
a b
, ) est un point du cercle trigonométrique, et ces deux nombres
A A
a
 = cos(ϕ)
peuvent être mis sous forme d’un cos et sin d’un même angle. En termes exacts, il existe ϕ ∈ R tel que A
.
 b = sin(ϕ)
A
Nous fixons un tel ϕ, il vient alors :
Mais on a
b
A
a
b
cos(x) + sin(x)
A
A
= 1, donc le point (
a cos(x) + b sin(y) = A(cos(ϕ) cos(x) + sin(ϕ) sin(x)) = A. cos(x − ϕ)
17
5.5
Équations trigonométriques
Essentiellement, on utilise la proposition 3.2.
Quelques exemples, toutes d’inconnue x ∈ R :
lAbel=(A) : 2 cos(3x) = 1.
π
lBbel=(B) : cos(x) = sin(2x). Ici on peut transformer le cosinus en sinus par cos(x) = sin( − x).
2
√
√
lCbel=(C) : 3 cos(x) + sin(x) = 2. Factoriser le côté gauche en utilisant l’écriture « amplitude / phase ».
lDbel=(D) : cos(x)+cos(3x) = cos(2x). Pas d’astuce ici : factorisez ! Et si vous ne connaissez pas par cœur les formules
de factorisation, retrouvez-les grâce à l’exponentielle complexe en partant ainsi : cos(x) + cos(3x) =
Re(ei3x + eix ).
cf exercice: 23
5.6
Écriture exponentielle d’un complexe
Logique : on va utiliser la notion d’ensemble, d’ensemble défini par équation et par paramétrisation, et montrer
que deux ensembles sont égaux par double inclusion.
Définition 5.2. On note U =
z ∈ C | |z| = 1 . On appelle cet ensemble le « groupe unitaire ».
Proposition 5.3.
U=
eiθ θ ∈ R
Démonstration: On montre les deux inclusions.
• Montrons ⊂ :
Il s’agit de prouver que tout complexe de module 1 peut s’écrire sous la forme eiθ , pour un certain θ ∈ R.
Soit z ∈ U, donc |z| = 1. Prouvons qu’il existe θ ∈ R tel que eiθ = z.
Soit (x, y) ∈ R2 les parties réelles et imaginaires de z. Le fait que |z| = 1 donne x2 + y 2 = 1. (Donc le
point (x, y) d’affixe z est un point du cercle trigonométrique.) D’après les propriétés de cos et sin rappelées
(et admises) au chapitre 0, il existe θ ∈ R tel que x = cos(θ) et y = sin(θ). On a alors z = cos(θ)+i sin(θ) = eiθ .
• Montrons ⊃ :
Cettep
inclusion est plus simple : soit z ∈ exp(iR), ceci signifie qu’il existe θ ∈ R tel que z = eiθ . Alors
|z| = cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1.
N.B. Les deux inclusions dans cette proposition sont utiles : d’une part eiθ est de module 1 pour tout θ ∈ R. D’autre
part, tout complexe de module 1 peut s’écrire ainsi.
Corollaire 5.4. Soit z ∈ C. Alors il existe ρ ∈ R+ et θ ∈ R tels que z = ρ.eiθ .
Si de plus z 6= 0 et θ ∈] − π, π], alors cette écriture est unique.
Définition 5.5. Dans la situation du corollaire, l’écriture z = ρ.eiθ s’appelle une écriture trigonométrique (ou
géométrique) de z.
cf exercice: 7,10, 11
N.B. L’écriture algébrique d’un complexe z est unique. Par contre, il existe plusieurs écritures trigonométriques, et
plusieurs arguments. La notation « arg(z) » n’est pas bien définie. Parfois « Arg(z) » (avec la majuscule) signifie l’argument principal de z, celui-ci est effectivement unique. Mais attention avec cette notation on n’aura pas les formules
de type Arg(z.z’)= Arg(z) +Arg(z’). Tout ceci pour dire qu’on déconseille fortement l’usage de telle notation...
18
Remarque : Si z = ρ.eiθ , avec ρ < 0, alors un argument de z est θ + π. En effet, z = −ρ.(−1).eiθ = −ρ.eiπ .eiθ =
−ρ.ei(θ+π) . Comme −ρ > 0, on a bien une écriture trigonométrique de z (ce n’était pas le cas pour ρ.eiθ ). Et donc
θ + π est un argument de z.
~ d’affixe z. un argument de z est une mesure de l’angle (~i, ~
Géométriquement, soit z ∈ C et ~
u∈P
u).
Voici une formule pour calculer un argument d’un nombre complexe.
Proposition 5.6. Soit z ∈ C∗ .
(i) Si z ∈ i.R, alors l’argument principal de z est −π/2 ou π/2.
(ii) Sinon, on a pour tout θ ∈ R :
tan(θ) =
Im(z)
Re(z)
⇔
θ ou θ + π est un argument de z.
Remarque : Le problème vient de ce que si z = ρ.eiθ avec ρ < 0, alors on a quand même tan(θ) =
Im(z)
.
Re(z)
Re(z)
Im(z)
et sin(θ) =
. Le formule
|z|
|z|
ci-dessus avec la tangente est un peu plus simple lorsqu’on dispose de la forme algébrique de z : il n’y a pas à calculer
de module.
Démonstration:
Remarque : On peut aussi prouver que si θ est un argument de z, alors cos(θ) =
(i) Premier cas : si z ∈ iR. Supposons d’abord z ∈ i.R+ : il existe ρ ∈ R+ tel que z = i.ρ. Alors z = ρ.eiπ/2 est une
écriture trigonométrique de z, donc π/2 est un argument.
Ensuite, si z ∈ i.R− . Il existe ρ ∈ R+ tel que z = −iρ = ρ.e−π/2 . Un argument de z est donc −π/2.
(ii) À présent, on suppose que z n’est pas imaginaire pur, donc Re(z) 6= 0.
On commence par le sens ⇐. Supposons que θ soit un argument de z. Alors ∃ρ ∈ R+ tel que z = ρ.eiθ =
ρ cos(θ) + iρ sin(θ). Donc :
Im(z)
ρ sin(θ
=
= tan(θ).
Re(z)
ρ cos(θ)
De même, si θ + π est un argument de z, alors ∃ρ ∈ R+∗ tq z = ρ.ei(θ+π) . D’où :
Im(z)
ρ sin(θ + π
=
= tan(θ).
Re(z)
ρ cos(θ + π)
Passons à la réciproque : soit θ ∈ R tel que tan(θ) =
Alors, le même calcul que précédemment montre que
Im(z)
. Soit z =
Re(z)
Im(z)
=
tan(α).
Re(z)
ρ.eiα une écriture trigonométrique de z.
Par conséquent, tan(α) = tan(θ). Cela signifie soit que α = θ [2π] au quel cas θ est un argument de z ; soit que
α = θ + π [2π] auquel cas θ + π est un argument de z.
N.B. Par définition, pour tout x ∈ R, le nombre Arctan(x) est l’unique θ ∈] − π2 , π2 [ tel que tan(θ) = x. Lorsqu’on
cherche un argument d’un complexe z, on peut donc calculer θ0 = Arctan( Im(z)
) ; un argument de z sera θ0 si
Re(z)
Re(z) > 0, ou bien θ0 + π si Re(z) < 0.
Si en plus on veut l’argument principal, alors il faut prendre θ0 − π dans le cas où Re(z) < 0 et Im(z) > 0.
5.7
Fonctions circulaires réciproques
Voici les fonctions présentes dans les calculettes permettant de calculer la mesure d’un angle lorsqu’on connaît
sont cosinus, son sinus, ou sa tangente :
1. Soit x ∈ [−1, 1]. Arccos(x) est le nombre θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x.
π π
2. Soit x ∈ [−1, 1]. Arcsin(x) est le nombre θ ∈ [− , ] tel que sin(θ) = x.
2 2
19
−π π
, [ tel que tan(θ) = x.
2 2
Remarque : Nous démontrerons plus tard l’existence et l’unicité du nombre θ vérifiant les conditions ci-dessus, et nous
pourrons alors donner une vraie définition propre de ces fonctions. Pour l’instant, le but est juste de vous indiquer
comment retrouver la mesure d’un angle à partir de son cosinus, sinus ou de sa tangente.
3. Soit x ∈ R. Arctan(x) est le nombre θ ∈]
Ainsi, si nous cherchons un nombre θ ∈ R :
• Si nous connaissons son cosinus, notons-le x, alors :
Si sin(θ) > 0, alors θ ≡ Arccos(x) [2p i]
Si sin(θ) 6 0, alors θ ≡ − Arccos(x) [2p i]
• Si nous connaissons son sinus, notons-le x, alors :
Si cos(θ) > 0, alors θ ≡ Arcsin(x) [2p i]
Si cos(θ) 6 0, alors θ ≡ π − Arcsin(x) [2p i]
• Si nous connaissons sa tangente, notons-la x, alors :
Si cos(θ) > 0, alors θ ≡ Arctan(x) [2p i]
Si cos(θ) 6 0, alors θ ≡ π + Arctan(x) [2p i]
(Tout ceci est à savoir retrouver en dessinant un cercle trigonométrique.)
cf exercice: 7
6
Interlude : applications linéaires
Maintenant ou plus tard ?
Proposition 6.1. (Caractérisation d’une AL)
Définition 6.2. (Image et noyau)
7
Géométrie
Dans ce paragraphe nous étudions le sens géométrique des opérations élémentaires sur les complexes. Nous nous
placerons uniquement du point de vue affine : c’est-à-dire que nous utiliserons uniquement l’interprétation d’un
complexe comme un point (et pas comme un vecteur).
7.1
Interprétation géométrique de la multiplication
On étudie à présent le sens géométrique de la multiplication dans C. Nous allons distinguer deux cas : la multiplication par un réel, et la multiplication par un complexe de module 1.
7.1.1
Multiplication par eiθ
En premier lieu, pour tout θ ∈ R, la multiplication par eiθ correspond à la rotation d’angle θ de centre l’origine
du repère :
Proposition 7.1. Soit θ ∈ R.
1. (version affine : pour les points) Soit M un point z et z son affixe. Le nombre eiθ .z est l’affixe de l’image de
M par la rotation de centre O et d’angle de mesure θ.
2. (version vectorielle) Soit ~
u un vecteur, et z son affixe. Le nombre eiθ .z est l’affixe de l’image de ~
u par la rotation
d’angle de mesure θ.
N.B. C’est le résultat clé pour utiliser les nombres complexes en géométrie. Une fois ceci bien assimilé, le reste vous
paraîtra évident.
N.B. C’est surtout la version vectorielle qui sera utile. En effet la version affine ne parle que de la rotation par
rapport à l’origine, ce qui est limité. Pour étudier une rotation par rapport à un point autre que O, on utilise ce qui
suit (très utile en pratique !) :
20
Soient A, B, C trois points et θ ∈ R. Notons a, b, c les affixes de A, B, C respectivement, alors :
−−→
−→
BC est image de BA par rotation d’angle de mesure θ
⇔
⇔
−−→
−→
affixe de BC = eiθ · affixe de BA
c − b = eiθ · (b − a)
cf exercice: 35
Démonstration: Soit α un argument de z, de sorte que z = |z|.eiα . Alors z.eiθ = |z|.ei(α+θ) . On se contentera
ensuite d’un dessin...
On en déduit comment calculer les mesure de l’angle entre deux vecteurs :
Proposition 7.2. Soient ~
u, ~v deux vecteurs non nuls. Soient z1 et z2 leurs affixes dans une certaine BONd.
z2
Les mesure de l’angle (~
u, ~v ) sont les arguments de
.
z1
cf exercice: 32 (le 2) ).
Démonstration: Notons θ1 , θ2 des arguments de z1 et z2 et ρ1 , ρ2 les modules. Donc
z2
ρ2 i(θ2 −θ1 )
=
.e
, un arguz1
ρ1
ment de z2 /z1 est bien θ2 − θ1 .
~v
~
u
,
). L’avantage est que ces deux nouveaux vecteurs sont de norme 1,
||~
u|| ||~v ||
il sont toujours les mêmes arguments. Ainsi, leurs affixes sont eiθ1 et eiθ2 .
~
u
On constate que pour passer de eiθ1 à eiθ2 , il faut multiplier par ei(θ2 −θ1 ) . Cela signifie que pour transformer
||~
u||
~v
en
, il faut faire une rotation d’angle de mesure θ2 − θ1 . Ce qui signifie bien que l’angle est θ2 − θ1 .
||~v ||
Déjà l’angle (~
u, ~v ) est le même que (
7.1.2
Multiplication par un réel
La multiplication par un nombre réel correspond quand à elle à une homothétie de centre O :
Proposition 7.3. Soit r ∈ R.
1. (version vectorielle) Soit ~
u un vecteur et z son affixe. Alors r.z est l’affixe du vecteur r.~
u.
2. (version affine) Soit M un point et z son affixe. Le point d’affixe r.z est l’image de M par l’homothétie de
centre O de rapport r
Remarque : On dit que r.~
u est l’image de ~
u par l’homothétie (vectorielle) de rapport r. L’homothétie de rapport r
est juste la fonction qui multiplie les vecteurs par r !
Rappel : Une homothétie de centre O et de rapport r est un « agrandissement » (si r > 1), ou un « rétrécissement »
(si r ∈ [0, 1[), basé en O. Si r = −1, c’est la symétrie de centre O, de sorte que si r < −1 c’est un agrandissement
suivi de la symétrie de centre O, si r ∈] − 1, 0[, c’est un rétrécissement suivi de centre symétrie.
C’est une opération qui préserve les angles, mais multiplie les longueurs par |r|. Si r > 0 elle préserve l’orientation,
si r < 0 elle l’inverse.
Elle est définie précisément ainsi : Pour tout M ∈ P, l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport r
est le point M 0 tel que :
−−−→0
−−→
OM = r.OM .
7.1.3
Résumé, et autres transformations
Voici les transformations (point de vue affine) qu’on a déjà rencontrées :
• translation
• homothétie de centre O
• rotation de centre O
21
Voyons comment écrire une rotation ou une homothétie de centre autre que O. Soit A ∈ P, θ ∈ R, soit r la
rotation de centre A d’angle de mesure θ.
Notons zA l’affixe de A. Soit M ∈ P, d’affixe z, notons enfin z 0 l’affixe de r(M ). On sait que r(M ) est caractérisé
par :
1. AM = Ar(M )
−−→ −−−−→
2. si A = M , r(M ) = M , et sinon (AM , Ar(M )) est de mesure θ.
Donc si z = zA , alors z 0 = z = zA . Sinon considérons le complexe
un argument est θ par le point (ii). Donc
Et finalement :
z 0 − zA
= eiθ .
z − zA
z 0 − zA
: son module est 1, par le point (i), et
z − zA
z 0 = (z − zA ).eiθ + zA
Ainsi l’image par r du point d’affixe z est le point d’affixe (z − zA ).eiθ + zA .
De même, l’image d’un point d’affixe z par l’homothétie h de centre A et de rapport ρ est (z − zA ).ρ + zA .
Et enfin, l’image d’un point d’affixe z par la composée h ◦ r est le point d’affixe (z − z1 ).ρ.eiθ + zA .
7.2
Calcul d’angle
Proposition 7.4. (argument et produit)
Soient z et z 0 deux complexes non nuls. Si θ est un argument de z et θ0 un argument de z 0 , alors :
1. θ + θ0 est un argument de z.z 0 .
2. θ − θ0 est un argument de z/z 0 .
N.B. L’argument a de mauvaises propriétés vis-à-vis de la somme.
Géométriquement : Soient ~
u et ~v deux vecteurs non nuls d’affixe z1 et z2 . Alors les mesures de l’angle (~
u, ~v )
sont les arguments de z2 /z1 .
cf exercice: 32
7.3
Alignement
On a les conséquences suivantes :
1. ~
u ⊥ ~v
⇔
z2 /z1 est imaginaire pur.
2. ~
u et ~v sont colinéaires ssi z2 /z1 est réel.
Le point (ii) est de toute façon évident avec la définition de la colinéarité. Poursuivons un peu les équivalence :
⇔
~
u, ~v colinéaires
⇔
⇔
⇔
⇔
z2
∈R
z
1 z2
z2
=
z1
z1
z̄2 .z1 = z2 .z̄1
z1 .z¯2 ∈ R
Im(z1 .z¯2 ) = 0
On rappelle qu’on avait déjà vu que ~
u.~v = Rez1 .z̄2 , et donc que :
~
u ⊥ ~v
⇔
Rez1 .z̄2 = 0
On constate donc qu’à la fois la partie réelle et la partie imaginaire du nombre z1 .z̄2 sont utiles.
Pour conclure, donnons une formule en coordonnées pour Im(z1 .z̄2 ) : soit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que z1 = a + ib et
z2 = c + id. (Donc ~
u a pour coordonnées (a, b), et ~v a pour coordonnées (c, d).) Alors :
Im(z1 .z̄2 ) = Im((a + ib).(c − id)) = ad − bc
Définition 7.5. Avec les notations ci-dessus, le nombre ad − bc s’appelle le déterminant de (~
u, ~v ) et se note det(~
u, ~v ).
22
Et on a donc det(~
u, ~v ) = Im(z1 .z̄2 ) et surtout :
~
u, ~v colinéaires
⇔
det(~
u, ~v ) = 0.
(Résultat qui ne fait plus apparaître de nombres complexes. On aurait pu le prouver sans les complexes, mais
c’est moins pratique.)
cf exercice: 32, 41, 42
7.4
Milieu
Proposition 7.6. Soient A, B deux points du plan et a, b leurs affixes.
Alors l’affixe du milieu de [AB] est :
a+b
.
2
7.5
En résumé : formules de géométrie à connaître
Soient A, B deux points et ~
u, ~v deux vecteurs du plan, vous devez savoir calculer :
−→
• Affixe de AB ;
• Distance AB ;
• Affixe du milieu de [AB] ;
• Mesure de l’angle (~
u, ~v ) ;
• Produit scalaire ~
u · ~v ;
• Savoir quand deux vecteurs sont colinéaires ;
• Savoir quand trois points sont alignés.
Deuxième partie
Exercices
23
Exercices : nombres complexes
Dans les fiches de TD, les étoiles indiquent approximativement la difficulté : une étoile indique une application
directe du cours, deux étoile indiquent un exercice du niveau ordinaire d’une colle ou d’une question de devoir, trois
étoiles indiquent un exercice difficile, destiné à ceux qui tenteront les concours plus difficiles.
En outre, un point d’exclamation indique un exercice classique, à savoir absolument refaire seul. Deux points
d’exclamation indiquent un exercice faisant quasiment partie du cours : le résultat prouvé pourra être utilisé dans un
devoir sans justification.
Vous trouverez un certain nombre d’indications à la fin de la fiche de TD. En outre, sur le site internet se trouvent
un certain nombre corrigés. Je rajouterai tout corrigé ou indication sur simple demande.
Pour n’importe quel exercice, mais encore plus dans ce chapitre, il est important de faire des dessins à chaque fois
que possible pour comprendre le problème et deviner une solution.
1
Opérations sur les nombres
Exercice 1. * ! identités remarquables
Soient (a, b) ∈ C2 . Démontrer que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et que (a − b)(a + b) = a2 − b2 en citant soigneusement
chacune des propriétés de + et de × utilisée.
Exercice 2. * Distributivité à trois termes
Soit (a, b, c, d) ∈ C4 . Démontrer que a × (b + c + d) = a × b + a × c + a × d.
Exercice 3. * inverse non nul
Soit a ∈ C∗ . Démontrer que a−1 6= 0.
Exercice 4. ** Somme d’un réel et d’un non réel
Soit a ∈ Q et b ∈ R \ Q (i.e. b est un nombre réel mais pas un nombre rationnel).
1) Démontrer que a + b 6∈ Q
2) Dans quel cas est-il possible que a × b ∈ Q ?
Exercice 5. *** unicité des éléments neutres, opposés et inverse
1) Montrer que 0 est l’unique élément neutre pour + dans C. De même, montrer que 1 est l’unique élément neutre
pour ×.
2) Soit z ∈ C. Montrer que −z est l’unique opposé de z.
1
De même, si z 6= 0, démontrer que est l’unique inverse de z.
z
2
Module, conjugué, notions générales
Exercice 6. * ! Formes algébriques et trigonométriques
Pour chacun des nombres complexes suivants, trouver l’écriture algébrique et une écriture trigonométrique :
√
√
3 − 1 + i(1 + 3)
√ 1 + i√
3 + 3 + i( 3 − 3)
√
2)
i+ 3
3) Pour θ ∈ R, (tan(θ) + i)2
4) Pour θ ∈ R, 1 + eiθ
5) Les racines carrée de 2i
1)
6) Les racines cubiques de 2i − 2
7)
√ !125
1+i 3
1+i
Exercice 7. * ! Forme géométrique
Calculer module et argument des nombres suivants. On donnera une écriture à l’aide de Arccos, de Arcsin, et
enfin de Arctan.
1
1) 2 + 5i
2) 2 − 5i
3) −2 − 5i
4) 5i − 2
Exercice 8. * ! inégalité entre module et parties réelle et imaginaire
Montrer que ∀z ∈ C, |Re(z)| 6 |z| et |Im(z)| 6 |z|. Faire un dessin.
Exercice 9. * module et conjugaison
Soit z ∈ C \ {1}. Montrer que :
|z| = 1
1+z
∈ iR.
1−z
⇔
Exercice 10. ** Un nombre réel
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 non nuls et de même module. Démontrer que
(z + z 0 )2
∈ R+ .
z.z 0
Exercice 11. ** D’autres nombres réels
√
1) Soit n ∈ Z et x = (1 − 3i)n . Pour quelles valeurs de n est-ce que x ∈ R+ ?
(i − 1)n
√ .
2) Même question avec y =
3+i 3
Exercice 12. *** identifier un nombre réel, plus dur
2
z+1
. Quand est-ce que z ∈ iR ?
Soit z ∈ C \ {1} et a =
z−1
Exercice 13. ** inégalité triangulaire
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 .
1. Montrer que |z + z 0 | > |z| − |z 0 |. Préciser le cas d’égalité.
2. Montrer que |z| + |z 0 | 6 |z + z 0 | + |z − z 0 |. Interprétation géométrique ? Préciser le cas d’égalité.
Exercice 14. *** Équation avec la formule du module
Résoudre l’équation d’inconnues (u, v) ∈ C2 :
|u + iv|2 = u2 + v 2
(E) :
3
Trigonométrie
Exercice 15. * ! Quelques valeurs trigonométriques
Calculer les nombres suivants :
1) cos(π/8)
2) sin(5π/24)
3) tan(π/12)
4) sin(π/12) · sin(5π/24)
Exercice 16. ** utilisation d’une forme exponentielle
1. Calculer cos( π8 ) et sin( π8 ).
2. En déduire une expression simple de
p
2+
√
p
2+i
2−
√ 8
2 .
Exercice 17. ** une utilisation de la linéarisation
Calculer la dérivée sixième de f : x →
7 cos4 (x).
Exercice 18. ** ! intégrales trigonométriques
Calculer les intégrales suivantes :
1)
Rπ
2)
R
3)
cos(x) sin(x)dx
0
2π
R02π
0
4)
cos2 (x)dx
5)
sin3 (x)dx
2
Rπ
R0π
0
cos2 (x) sin2 (x)dx
cos(x +
π
) sin(2x)dx
6
Exercice 19. ** antilinéarisation
1. Trouver un polynôme P tel que ∀x ∈ R, cos(3x) = P cos(x) .
2. Trouver un polynôme Q tel que ∀x ∈ R, sin(3x) = sin(x)Q cos(x) .
Exercice 20. * Angle moitié
Soit x ∈ R \ (π + 2πZ). Simplifier
1 − eix
.
1 + eix
Exercice 21. ** Factorisation et calcul de tan(π/24).
cos(p) − cos(q)
est-il bien définit ?
Soit (p, q) ∈ R2 . Quand le nombre
sin(p) + sin(q)
Simplifier cette expression, et en déduire la valeur de tan(π/24).
Exercice 22. * études de fonction
1. Tracer le graphe de la fonction f : x 7→
2. Étudier la fonction g : x 7→ cos(x +
π
)
4
√
3 cos(x) + sin(x).
+ sin(x +
π
)
6
Exercice 23. ** ! Équations trigonométriques
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x ∈ R.
(A) : cos(2x − π/3) = sin(x + 3π/4)
(D) : sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0
(B) : tan(x). tan(2x) = 1
√
√
(C) : 3 cos(x) + 3 sin(x) = 6
(E) : sin(2x) + sin(6x) = cos(3x) − cos(5x)
(F ) : cos4 (x) + sin4 (x) = 1
Exercice 24. * ! ! égalité de deux tangentes
2
1. Soient (a, b) ∈ R \ ( π2 + πZ) . Quand est-ce que tan(a) = tan(b) ? On pourra conjecturer le résultat en
dessinant un cercle trigonométrique, mais on le prouvera en revenant aux propriétés de sin et cos.
√
2. Résoudre tan(x) + tan(3x) = 3(1 − tan(x) tan(3x)).
Exercice 25. *** somme d’arctangentes
1) Soit p ∈ N. Calculer tan(Arctan(p + 1) − Arctan(p)). En déduire la valeur de Arctan(p + 1) − Arctan(p).
Pn
1
).
2) Calculer la limite de la suite (Sn )n∈N telle que ∀n ∈ N, Sn = p=0 Arctan( 2
p +p+1
Exercice 26. *** équation dans le cercle trigonométrique
Résoudre l’équation eix + eiy + eiz = 0 d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 . Montrer que si (x, y, z) est une solution, alors
(2x, 2y, 2z) aussi.
On pourra commencer par le cas particulier où x = 0.
4
Application à la géométrie
On fixe dans cette partie un ROND R = (O,~i, ~j) du plan. Lorsqu’on parlera d’affixe d’un point, il sera sousentendu que l’affixe est prise dans ce repère R.
Exercice 27. ** parallélogramme
Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Exercice 28. ** Pythagore pour un parallélogramme
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 . Démontrer que 2 |z|2 + |z 0 |2 = |z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 . Interprétation géométrique ?
Exercice 29. * utilisation simple de module et conjugué
Soit z ∈ C. Montrer que z ∈ iR ⇔ |z − 1| = |z + 1|. Interprétation géométrique ?
Exercice 30. * triangle isocèle
Soit M un point et z son affixe. Soit N le point d’affixe z̄. Démontrer que OM N est isocèle. À quelle condition
est-il rectangle (**) en O ? Équilatéral (***) ?
3
Exercice 31. ** Pythagore
Démontrer le théorème de Pythagore à l’aide des nombres complexes.
Exercice 32. ** théorèmes classiques : angle inscrit/angle au centre
Soit ∈ R+∗ et C le cercle de centre O et de rayon r.
1) Soit A, B, C trois points de C, tels que A et B sont diamétralement opposés. Démontrer que ABC est rectangle
en C.
−→ −−→
−→ −−→
2) Soient A, B, C trois points de C deux à deux distincts. Vérifier que (OA, OB) = 2(CA, CB).
Exercice 33. ** orthogonalité : réciproque de l’exercice 32
1. Soit C un cercle de centre O, soient A et B deux points de C diamétralement opposés. Déterminer l’ensemble
des points M tels que AM B soit rectangle en M .
2. Même question si A est le point d’affixe 0 et B le point d’affixe 1
Exercice 34. * Transformations du plan
Soit M un point d’affixe z. Déterminer l’affixe z 0 du point M 0 , image de M par :
1) La rotation de centre (0, 1) et d’angle 2π/3. (Indication : utiliser la translation de vecteur de coordonnées (0, 1).)
2) L’homothétie de centre (1, 1) et de rapport 4.
3) La similitude directe de centre (1, 0), de rapport 2 et d’angle π/4.
Exercice 35. ** CNS pour Triangle équilatéral
1) Montrer que trois nombres complexes distincts a, b, c sont les affixes des sommets d’un triangle équilatéral si et
seulement si a + jb + j 2 c = 0 ou a + j 2 b + jc = 0.
2) À quelle situation correspond chacun des deux cas a + jb + j 2 c = 0 et a + j 2 b + jc = 0 ?
Proposer une formule pour caractériser tous les triangles équilatéraux.
3) Soient a et b les affixes de deux points A et B. Quel est l’affixe du point C tel que ABC est un triangle équilatéral
direct ?
Exercice 36. ** Théorème de Napoléon
Soit ABC un triangle direct. On construit sur chaque côté de ABC un triangle équilatéral. On note M, N, P les
centres de gravité de ces trois triangles.
Montrer que M N P est équilatéral.
Exercice 37. ** autre utilisation de l’exercice 35
Soit ABCD un parallélogramme direct. Soient E et F tels que BCE et CDF soient des triangles équilatéraux
« extérieurs » à ABCD. Montrer que AEF est équilatéral.
Exercice 38. ** Avec des carrés : théorème de Von Aubel
Ce théorème est semblable au théorème de Napoléon, mais avec des carrés au lieu des triangle équilatéraux.
1. (Préliminaire) Soit ABCD un carré direct, notons M son centre. Notons a, b, c, d, m les affixes de ces points.
a+b+c+d
.
Le fait que M est le centre de ABCD se traduit par m =
4
−−→
−→
π
(a) En utilisant le fait que AD est l’image de AB par rotation d’angle de mesure , exprimer d en fonction
2
de a et b.
(b) Exprimer de même c, puis m en fonction de a et b.
−−→
−−→
π
(c) Vérifier que M B est l’image de M A par rotation d’angle de mesure .
2
2. On considère un quadrilatère direct ABCD. Sur chacun des côtés de ce quadrilatère, on construit un carré
« vers l’extérieur ». On note P, Q, R, S les centres de ces carrés, P étant le centre du carré basé sur le côté AB,
Q le centre de celui basé sur BC, etc...
Démontrer que les segments [P R] et [SQ] sont orthogonaux et de même longueur.
Exercice 39. ** suite géométrique et triangle rectangle
Soit (zn )n∈N ∈ CN une suite qu’on suppose géométrique de raison imaginaire pure. Notons pour tout n ∈ N, Mn
le point d’affixe zn .
Prouver que pour tout n ∈ N, Mn Mn+1 Mn+2 est rectangle.
4
Exercice 40. *** triangle rectangle
Soit z ∈ C, A d’affixe z, B d’affixe z 2 et C d’affixe z + i.
À quelle condition ABC est-il rectangle en A ?
Exercice 41. *** Alignement
Déterminer l’ensemble des nombres z ∈ C tels que les points d’affixe z, i et iz soient alignés.
Exercice 42. *** Alignement 2
Déterminer l’ensemble des nombres z ∈ C∗ tels que les points d’affixe z, z 2 et 1/z soient alignés.
Exercice 43. ** Alignement 3
Soit z ∈ C. À quelle condition les points d’affixe z, z 2 et z 4 sont-ils alignés ?
Quelques indications
2 Ne pas oublier que b + c + d signifie en fait (b + c) + d (ou b + (c + d) si vous préférez).
3 Procéder par l’absurde, en partant du fait que a−1 est le nombre tel que a × a−1 = 1.
4 Procéder par l’absurde, et utiliser la stabilité de Q par + et ×.
5 1) Supposons qu’il y ait un autre élément neutre, notons-le e. Cela signifie que ∀z ∈ C, e + z = z. Et il faut en
déduire que e = 0...
2) Supposons qu’il y ait un autre opposé de z, notons-le par exemple u. Ceci signifie que z + u = 0. Et il faut en
déduire que u = −z.
6 3) Très simple en s’y prenant bien... Mais si vous ne voyez pas l’astuce : commencez par chercher une forme
exponentielle pour tan(θ) + i, et pour ce, cherchez son module. La formule obtenue peut être un peu simplifiée.
8 Prendre l’écriture algébrique de z.
9 Utiliser la conjugaison pour caractériser un imaginaire pur.
10 Mettre sous forme trigonométrique.
11 mettre sous forme trigonométrique.
12 Utiliser A2 = B 2
⇔
A = B ou A = −B. Une fois simplifié au maximum, revenir à la forme algébrique.
13 Utiliser l’inégalité triangulaire avec des nombres bien choisis.
14 Écrire le module au carré comme produit par le conjugué. Pour l’autre membre, utiliser l’identité remarquable
u2 + v 2 = (u − iv).(u + iv).
15 4) : utiliser une formule de linéarisation
16
17 Linéariser en passant par les exponentielles.
18 dans les cas non évidents, on pourra utiliser des formules de linéarisation.
19 Utiliser les formes exponentielles : cos(3x) = Im e
3ix
= Im
ix
e
3 .
21 Formules de factorisation. (Ou, passage en exponentielle complexe et angle moitié, c’est la même chose.)
5
22
1. Mettre sous la forme x 7→ A. cos(x + ϕ).
2. Factoriser la dérivée pour étudier sont signe.
23 1) utiliser par exemple sin(a + π/2) = cos(a)
2) utiliser la formule pour tan(a + b). Peut-on l’utiliser pour transformer 1 − tan(a) tan(b) ?
3) Factoriser sous la forme « phase et amplitude »
4) factorisation
5) factorisation
6) tout simplement sin2 = 1 − cos2 devrait fonctionner. Ou l’utilisation des formules d’Euler (brutal).
24 Pour répondre à une question de type « Quand est-ce que », le plus rapide dans les cas simples est d’utiliser des
équivalences.
25 1) Dans quel intervalle se situe Arctan(p + 1) − Arctan(p) ?
2) On peut calculer directement la valeur de Sn : faire apparaître une somme dont les termes s’annulent deux à deux.
27 Soient A, B, C, D les quatre sommets du parallélogramme. Dire que les diagonales se coupent en leur milieu signifie
que le milieu de [AC] est égal au milieu de [BD].
−→ −−→
Et dire que ABCD est un parallélogramme signifie que AB = DC.
29 Mettre au carré les modules pur les remplacer par des conjugués.
31 La seule difficulté est de prendre des notations et d’écrire clairement la formule à prouver.
32 1) Soit a, b, c les affixes de A, B, C. Soit α ∈ R un argument de A et γ un argument de C. Donc a = reiα ,
b = −reiα , et c = reiγ .
Il ne reste plus qu’à utiliser la caractérisation des angles droits vue en cours.
33 Pour déterminer l’ensemble des objet vérifiant une certaine condition, le plus rapide dans les cas simples est de
procéder par équivalences.
−→
−→
π
35 Utiliser qu’un triangle ABC est équilatéral si et seulement si AC est l’image de AB par rotation d’angle . Vous
3
savez comment traduire une rotation à l’aide de nombres complexes.
36 Utiliser l’exercice 35, et ne pas avoir peur des gros calculs !
39
41 Après avoir simplifié au maximum en restant avec z, passer à l’écriture algébrique. On reconnaîtra l’équation d’un
cercle.
42 Pour commencer, montrer que z est solution ssi
z − z̄.
1+z
∈ R. Caractériser à l’aide des conjugués, et factoriser par
z2
43
6
Quelques solutions
1
2
3
4
5
6
1.
√
3 + 1 = 2eiπ/6
2.
3. Bien sûr, la forme algébrique est tan2 (θ) − 1 + i.2 tan(θ). Passons à une forme exponentielle.
1
1
On trouve que le module est
. On le met en facteur, on aboutit à
ei(π−2θ) .
cos2 (θ)
cos2 (θ)
4. 2 cos(θ/2)eiθ/2 lorsque θ ∈ [−π, π] + 2πZ, −2 cos(θ/2)ei(θ/2+π) sinon.
7
8
9
10
11
12
13 Appliquer l’inégalité triangulaire avec (z + z 0 )/2 et (z − z 0 )/2 : si nous notons a et b ces deux nombres, alors
a + b = z, donc |z| 6 |a| + |b|. Et z 0 = a − b, donc |z| 6 |a| + |b|. L’inégalité cherchée en découle.
Géométriquement : dans un parallélogramme, la somme des longueurs des deux côtés est inférieure à la somme
des longueurs des diagonales.
Enfin, on a égalité ssi (|a + b| = |a| + |b| et |a − b| = |a| + |b|) ssi ( (a et b sont colinéaires et de même sens) et (a
et −b sont colinéaires et de même sens)) ssi (a = 0 ou b = 0) ssi (z = z 0 ou z = −z 0 ). (Le parallélogramme est alors
aplati.)
14 Soit (u, v) ∈ C2 . On a :
|u + iv|2 = u2 + v 2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(u + iv).(ū − iv̄) = (u − iv)(u + iv)
(u + iv).(ū − iv̄ − u + iv) = 0
u + iv = 0 ou − 2Im(u) + 2iIm(u) = 0
u + iv = 0 ou (Im(u) = 0 et Im(v) = 0)
u + iv = 0 ou ((u, v) ∈ R2 )
15
16
17
√
2 3
18 5)
3
19
20 En utilisant l’angle moitié, on trouve −i tan(x/2).
7
21 Le nombre est bien défini ssi p 6≡ −q [2π] et p 6≡ π + q [2π].
cos(p) − cos(q)
q−p
= tan(
).
sin(p) + sin(q)
2
√
π
π
π
2−1
Prendre p =
et q = , on obtient tan( ) = p
√ .
3
4
24
2+ 3
22
1. Soit A =
p√
2
3 + 12 = 2 : c’est l’amplitude la fonction f . On factorise par A : pour tout x ∈ R,
!
√
3
1
cos(x) + sin(x)
f (x) =
2
2
2
=
=
π
π
2. sin( ). cos(x) + cos( ). sin(x)
6
6
2. sin(x + π/6)
Le tracé est maintenant simple : partir du graphe de 2. sin et le décaler de π/6 vers la gauche.
23
1.
2.
3. x solution
4.
5.
n
6. S(C) =
k
⇔
x ≡ 5π/12 [2π] ou x ≡ −π/12 [2π]
π
; k∈Z
2
o
24
25 1) on trouve tan(Arctan(p+1)−Arctan(p)) = 1/(p2 +p+1). Or Arctan(p+1)ß[0, π/2[ et − Arctan(p) ∈]−π/2, 0],
donc Arctan(p + 1) − Arctan(p) ∈] − π/2, π/2[. Alors Arctan(p + 1) − Arctan(p) est un antécédent par tan de
1/(p2 + p + 1) et il est dans l’intervalle ] − π/2, π/2[, c’est donc Arctan(1/(p2 + p + 1)).
2) Pour tout n ∈ N,
Sn =
n
X
(Arctan(p + 1) − Arctan(p)) = Arctan(n + 1) − Arctan(0).
k=0
Donc limn→∞ Sn = π/2.
26 Supposons x = 0. Alors pour tout (y, z) ∈ R2 ,
(
(y, z) solution de (E)
cos(y) + cos(z) = −1
sin(y) + sin(z) = 0
⇔
(
⇔
cos(y) + cos(z) = −1
y ≡ −z[2π] ou y ≡ π + z[2π]
(
cos(y) = −1/2
y ≡ −z[2π]
⇔
(
donc S =
2π
2π
(
+ 2kπ, −
+ 2lπ) (k, l) ∈ Z2
3
3
)
(
∪
)
2π
2π
+ 2kπ,
+ 2lπ) (k, l) ∈ Z2 . Notons qu’alors
(−
3
3
eiy = j et eiz = j 2 ou l’inverse.
Voyons le cas général : Soit (x, y, z) ∈ R3 alors :


y − x ≡ 2π [2π]
3
⇔
−2π

[2π]
z − x ≡
3
iy
ix
iz
Notons qu’alors e = e .j et e
vaut encore 0. (utiliser j 4 = j)
(x,
 y, z) solution ⇔

y − x ≡ − 2π [2π]
3
ou
2π

[2π]
z − x ≡
3
1 + ei(y−x) + ei(z−x) = 0
(cas précédent)
= eix .j 2 , ou l’inverse. Dans les deux cas, e2ix +e2iy +e2iz = (eix )2 +(eiy )2 +(eiz )2
8
27
28
29
• C’est le fait que |z| = |z|
30
•
OM N est rectangle en 0
⇔
⇔
Rezz = 0
Re(z 2 ) = 0
31 Soient A, B, C trois points, et a, b, c leurs affixes. On les équivalences :
ABC rectangle en B
⇔
⇔
⇔
−→ −−→
AB · BC = 0
(b − a)(c − b) + (b − a)(c − b) = 0
b̄c − |b|2 − āc + āb + bc̄ − |b|2 − ac̄ + ab̄ = 0
32 1) Soit α un argument de A, donc l’affixe de A est reiα et celle de B est −reiα . Soit encore γ un argument de C,
donc l’affixe de C est reiγ .
−→
−−→
L’affixe de CA est rreiα − eiγ , celle de CB est −reiα − reiγ .
−→ −−→
−→
−−→
On utilise la formule AC · BC = Re affixe de AC × affixe de BC .
2) Soient α, β, γ des arguments des affixes de A, B, C.
−→ −−→
On trouve (OA, OB) = β − α[2π].
β − α sin( β + γ
−−→
i
affixe de CB
2 .
Par ailleurs,
−→ = e 2
γ+α
affixe de CA
sin(
2
−→ −−→
β−α
β−α
. Dans le cas contraire, c’est
+π.
Donc si le quotient des sinus est positif, une mesure de (CA, CB) est
2
2
−→ −−→
−→ −−→
Mais dans les deux cas, l’égalité (OA, OB) = 2(CA, CB) est vraie !
33
1. Soit r le rayon de C, α un argument de l’affixe de A. Donc l’affixe de A est reiα et celle de B est −reiα .
Soit enfin M un point et z son affixe. Alors :
AM B rectangle en M
⇔
Re z − reiα (z + reiα ) = 0
⇔
Re |z|2 − r2 + 2iIm(z̄eiα ) = 0
⇔
⇔
|z|2 = r2
|z| = r
car |z| > 0 et r > 0
Ainsi M convient si et seulement si il est sur le cercle C.
35
36
37
38
1.
−−→
−→
−−→
−→
(a) L’affixe de AD est d − a, celle de AB est b − a. Le fait que AD est image de AB par rotation d’angle
π/2 se traduit par :
donc
donc
d − a = eiπ/2 .(b − a)
d − a = i.(b − a)
d = a + i.(b − a)
9
−−→
−→
(b) De même, BC est image de BA par rotation d’angle −π/2, ce qui se traduit par :
donc
c − b = e−iπ/2 .(a − b)
c = b − i(a − b)
Pour obtenir l’affixe m, on additionne le tout :
m=
=
=
a + b + b − i(a − b) + a + i(b − a)
4
2a + 2b − 2ia + 2ib
4
a + b + i(b − a)
2
(c) La question posée revient à montrer que b − m = eiπ/2 .(a − m). Le plus rapide sera de procéder par
équivalences :
b − m = eiπ/2 .(a − m)
⇔
2.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Vrai
b − m = i.(a − m)
2b − 2m = 2i.(a − m)
2b − (a + b − ia + ib) = i(2a − (a + b − ia + ib))
b − a + ia − ib = i(a − b + ia − ib)
b − a + ia − ib = b − a + ia − ib
La dernière égalité est vraie, et elle équivaut à la première. On en déduit que la première est vraie aussi.
−−→
−−→
donc b − m = eiπ/2 (a − m), ce qui signifie précisément que M B est image de M A par rotation d’angle de
mesure π/2.
−→
−→
Dire que [P R] et [SQ] sont orthogonaux et de même longueur revient à dire que P R est image de SQ par la
rotation d’angle de mesure ± π2 . Vu le dessin, il semble que ça soit + π2 .
Notons p, q, r, s les affixes des points P, Q, R, S.
b + a + i(a − b)
D’après la question 1b, p =
(attention : c’est le carré qui commence par BA qui est direct,
2
c + b + i(b − c)
d + c + i(c − d)
donc échanger A et B par rapport à la question 1b), Q =
, r =
, et s =
2
2
a + d + i(d − a)
.
2
On a les équivalences suivantes :
⇔
⇔
⇔
−→
−→
π
P R est image de SQ par rotation d’angle de mesure
2
r − p = i(q − s)
d + c + i(c − d) − b − a − i(a − b) = i c + b + i(b − c) − a − d − i(d − a)
−a − b + c + d + i(−a + b + c − d) = −a − b + c + d + i(−a + b + c − d).
−→
−→
La dernière égalité est vraie, donc la première assertion est vraie aussi, donc P R est image de SQ par la rotation
π
d’angle de mesure 2 . En particulier, [P R] et [SQ] sont orthogonaux et de même longueur.
39
40
41 Notons x = Re(z) et y = Im(z).
Les trois points sont alignés ssi 2i|z|2 + (1 − i)z − (1 + i)z = 0 ssi x2 + y 2 − x − y = 0 ssi (x − 12 )2 + (y − 21 )2 = 12 .
√
On trouve le cercle de centre (1/2, 1/2) de rayon 1/ 2.
10
42 Soit z ∈ C∗ .
z convient
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
1/z − z
∈R
z2 − z
1 − z2
∈R
z3 − z2
(1 − z)(1 + z)
∈R
z 2 (z − 1)
1+z
∈R
−z 2
1+z
∈R
z2
(1 + z̄)z 2 = (1 + z)z̄ 2
z 2 − z̄ 2 + |z|2 z − |z|2 z̄ = 0
(z − z̄)(z + z̄) + |z|2 (z + z̄) = 0
(z − z̄)(|z|2 + z + z̄) = 0
z = z̄ ou |z|2 + z + z̄ = 0
z ∈ R ou |z|2 + z + z̄ = 0
Pour résoudre |z|2 + z + z̄ = 0, on revient à l’écriture algébrique. On obtient le cercle de centre (−1, 0) de rayon
1.
Au final, l’ensemble des solutions est R réuni avec le cercle de centre (−1, 0) de rayon 1, le tout privé de 0.
43
11