Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes

Exercice 1
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes :
z1 =
cos θ + i sin θ
cos θ − i sin θ
et z2 = (3 + i)4
Exercice 2
1. z et z 0 sont deux complexes, démontrer que :
|z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 ).
2. Interpréter géométriquement cette égalité en admettant (provisoirement. . . )
que si M(z) et M’(z 0 ) alors MM’2 = |z − z 0 |2 .
Exercice 3
√
6−i 2
et z2 = 1 − i.
On pose z1 =
2
z1
1. Ecrire z1 , z2 et
sous forme trigonométrique.
z2
π
π
et sin .
2. En déduire cos
12
12
3. Résoudre dans [−π, +π[ l’équation :
√
√
√
√
( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2.
√
(On rappelle que cos a cos b + sin a sin b = cos(a − b))
Exercice 4
√
n est un entier naturel, on pose z = ( 3 + i)n .
Déterminer un argument de z et en déduire l’ensemble E des valeurs de n
pour lesquelles z est un réel strictement positif.
Exercice 5
1. Résoudre l’équation z 2 − 2z + 2 = 0 dans C.
Préciser le module et un argument de chacune des solutions.
2. En déduire les solutions dans C de l’équation :
(−iz + 3i + 3)2 − 2(−iz + 3i + 3) + 2 = 0.
1
G.Gremillot
Exercice 6
A tout complexe z = x + iy, z 6= −1, on associe le complexe Z =
2iz − i
.
z+1
1. Calculer ZZ puis |Z| en fonction de x et y.
2. Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels que |Z| = 1.
3. Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire
pur.
Exercice 7
z+1
.
z−1
1. Démontrer que |z| = 1 ⇔ z 0 imaginaire pur.
Pour tout complexe z 6= 1, on pose z 0 =
2. En déduire que, dans le plan complexe, le lieu géométrique des points M’
d’affixe z 0 lorsque le point M d’affixe z décrit le cercle C de centre O et de
rayon 1 privé du point A d’affixe 1.
2
G.Gremillot