Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions

Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions
E. Dostal
septembre 2013
Table des matières
3 Compléments sur les fonctions
3.1 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définitions et dérivabilité . . . . . . . . . . .
3.1.2 Fonctions trigonométriques sur [0; π] . . . . .
3.1.3 Parité, périodicité et courbes représentatives
3.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Théorèmes d’opérations et de compositions .
1
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2
2
4
4
5
5
6
7
Chapitre 3
Compléments sur les fonctions
Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou une partie de R et sont à
valeurs dans R. Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point.
3.1
3.1.1
Fonctions trigonométriques
Définitions et dérivabilité
On considère le cercle trigonométrique dans le repère orthonormé (O;~i, ~j).
−−→
Soit M un point du cercle tel que (~i, OM ) = α [2π]. On cherche à déterminer les coordonnées de
M dans le repère en fonction de α.
Soient A et B les projetés orthogonaux de M sur les axes.
• Si M est dans le quart de plan positif :
Dans le triangle OAM rectangle en A, on a : cos(α) =
De même sin(α) =
coté opposé
AM
OB
=
=
= OB
hypoténuse
OM
OM
OA
coté adjacent
=
= OA
hypoténuse
OM
Ainsi dans ce quart de plan, M a pour coordonnées ( cos α , sin α )
• Cas général : On étend cette propriété à tout le plan afin de définir le cosinus et le sinus de
n’importe quel angle en radians, donc de n’importe quel réel α.
−−→
Soit α un nombre réel. Soit M le point du cercle trigonométrique tel que (~i, OM ) = α [2π], alors,
on définit le cosinus de α noté cos(α) comme l’abscisse de M et le sinus de α noté sin(α) comme
l’ordonnée de M
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CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
Définition 1
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur R par : x 7→ cos(x)
La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur R par : x 7→ sin(x)
• A l’aide du cercle trigonométrique, on complète :
x
cos x
sin x
0
2π
π
π
2
3π
2
− 6π
2
• Valeurs remarquables de cos et sin : (tableau à connaı̂tre par coeur)
x
cos x
sin x
0
1
0
π
6
π
4
√
√
3
2
2
2
√
1
2
2
2
3
π
3
π
2
π
1
2
0
−1
√
3
2
1
0
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CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
Proposition 1
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout x ∈ R :
cos′ (x) = −sin(x)
sin′ (x) = cos(x)
Conséquence : Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
Proposition 2
sin(x)
=1
x→0
x
lim
3.1.2
Fonctions trigonométriques sur [0; π]
x
0
1
π
2
cos(x) & 0
.8
.6
.4
.2
.2
.4
.6
.8
.0
3.1.3
π
π
π
x 0
2
sin(x)
1
0% &0
& −1
.8
.6
.4
.2
.2
.4
.6
.8
.0
1.57
1.57
Parité, périodicité et courbes représentatives
Définition 2
Soit f une fonction définie sur Df telle que :
1.
Df est centré en 0. (symétrique par rapport à O)
2.
pour tout x dans Df on a : f (−x) = f (x)
alors f est paire sur Df .
Proposition 3 Si f est paire sur Df alors sa courbe représentative Cf est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
Exemple : La fonction cosinus est paire.
Définition 3
Soit f une fonction définie sur Df telle que :
1.
Df est centré en 0. (symétrique par rapport à O)
2.
pour tout x dans Df on a : f (−x) = −f (x)
alors f est impaire sur Df .
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CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
Proposition 4 Si f est impaire sur Df alors sa courbe représentative Cf est symétrique par
rapport à l’origine.
Exemple : La fonction sinus est impaire.
Remarque : Si une fonction est paire ou impaire (ce qui n’est pas souvent le cas), on peut se
contenter de l’étudier sur R+ puis trouver le reste par symétrie.
Définition 4
Soit f une fonction définie sur R et T un réel tel que pour tout x on a
f (x + T ) = f (x) alors f est périodique de période T .
Exemples : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π
Remarque : Si une fonction est périodique de période T , on peut se contenter de l’étudier sur
[0; T ] puis trouver le reste par translations successives de vecteur T~i et −T~i.
Application : Tracer les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle
[−2π; 2π]
3.2
Dérivation
3.2.1
Nombre dérivé
Définition 5 Soit f une fonction définie sur Df et a dans Df .
(a)
On dit que f est dérivable en a si la quantité f (a+h)−f
admet une limite finie quand h
h
tend vers zéro.
Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a et se note f ′ (a).
On note :
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
Définition 6
Soit f une fonction dérivable en a. Soit Cf sa courbe représentative dans
un repère orthonormé (O;~i, ~j). La droite passant par A(a, f (a)) et de pente f ′ (a) est appelée
tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a.
Remarque :
Dans le cas ou f n’est pas dérivable en a, on peut avoir
1. limite infinie, on parle de tangente verticale
2. limites en a à gauche et à droite distinctes, on parle de demi-tangentes.
3. pas de limite en a (meme à droite, ou à gauche) (exemple : f définie par f (x) = x sin( x1 ) si x 6= 0
et f (0) = 0)
Proposition 5
Si f est dérivable en a alors une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est :
y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
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3.2.2
CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
Fonction dérivée
Définition 7 Soient f une fonction définie sur Df et I un intervalle inclus dans Df .
On dit que f est dérivable sur I lorsqu’ elle est dérivable en tout a de I.
On peut alors définir la fonction dérivée de f sur I, notée f ′ de la manière suivante :
f ′ : x 7−→ f ′ (x)
les physiciens notent dy = f ′ (x)dx
Théorème 6
Dérivées des fonctions usuelles
fonction f
dérivée f ′
ensemble de dérivabilité
f : x 7−→ k
f ′ : x 7−→ 0
R
f : x 7−→ ax + b
f ′ : x 7−→ a
R
f : x 7−→ xn avec n ≥ 1
f ′ : x 7−→ nxn−1
R
1
xn
n
f ′ : x 7−→ − xn+1
] − ∞; 0[∪]0; +∞[
f : x 7−→
avec n ≥ 1
f : x 7−→
√
f ′ : x 7−→
x
1
√
2 x
]0; +∞[
f : x 7−→ sin x
f ′ : x 7−→ cos x
R
f : x 7−→ cos x
f ′ : x 7−→ − sin x
R
f : x 7−→ tan x
f ′ : x 7−→ 1 + tan x2 =
1
cos x2
] − π2 ; π2 [
Les dérivées de sinus et cosinus sont admises et les autres sont démontrées en exercice.
Ce tableau est à connaı̂tre par coeur ! ! ! !
Remarque : La fonction racine est la seule à ne pas être dérivable sur tout son ensemble de définition
puisqu’elle n’est dérivable que sur ]0; +∞[ alors qu’elle est définie sur [0; +∞[.
Il est à noter que cependant, même si elle n’est pas dérivable en 0, elle admet tout de même une tangente
en son point d’abscisse 0 sauf que cette tangente étant verticale, elle n’a pas de pente.
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3.2.3
CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
Théorèmes d’opérations et de compositions
Théorème 7 Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors :
f + g, kf (k ∈ R), f g le sont aussi
f
1
sont dérivables sur I
Si de plus g ne s’annule pas sur I, et
g
g
(démonstration vue en première)
Corollaire 8 Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où
elles sont définies
Proposition 9 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I
√
1
Alors f = u est dérivable sur I et f ′ = √ u′
2 u
Proposition 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I
Alors g = un est dérivable sur I et g ′ = nun−1 u′
Théorème 11 u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un
intervalle J avec u(I) ⊂ J
Alors f = vou est dérivable sur I et pour tout x de I, f ′ (x) = v ′ (u(x))u′ (x)
(démonstration admise)
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