Quelques outils mathématiques utiles au cours de physique

Quelques outils mathématiques
utiles au cours de physique
Arithmétique élémentaire
Associativité et commutativité des opérations
fondamentales
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des termes (commutativité) ;
- d’effectuer des totaux partiels (associativité).
Exemple :
12 – 15 + 10 + 8 – 5 = 12 + 8 + 10 – 15 – 5
= 20 + 10 – 20
= 20 – 20 + 10
= 10
(commutativité)
(associativité)
(commutativité)
(associativité)
Multiplication et division
Pour multiplier ou diviser plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des facteurs (commutativité) ;
- d’effectuer des produits partiels (associativité).
Exemple :
18 × 15 × 40 18 × 15 × 40
=
= 2 × 3 × 5 = 30 .
8×9×5
9×5× 8
Priorité de × et : sur + et –
Dans un calcul où n’apparaît aucune parenthèse, il faut en priorité effectuer les multiplication et
les divisions ; on procède ensuite aux additions et soustractions.
Exemple :
15 + 3 × 5 × 2 – 8 : 4 = 43.
Toutes les calculatrices ne respectent pas ces règles de l’arithmétique. Testez votre machine avec
cet exemple.
1
Utilisation des parenthèses
Les parenthèses s’utilisent pour modifier l’ordre de priorité, par exemple forcer l’opération
préalable d’une addition ou d’une soustraction avant une multiplication ou une division.
Exemples :
1+1×2=?
1 + (1 × 2) = ?
(1 + 1) × 2 = ?
3×5–2×6=?
3 × (5 – 2) × 6 = ?
d’abord × puis +
parenthèses inutiles
d’abord + car parenthèses puis ×
d’abord les × puis –
d’abord – car parenthèses puis les ×
(3)
(3)
(4)
(3)
(54)
Toutes les calculatrices ne disposent pas de parenthèses. Il faut dans ce cas pallier ses carences
en effectuant les opérations dans un ordre éventuellement différent afin de respecter les règles
mathématiques pour obtenir le résultat correct.
Calculs avec des fractions
Addition et soustraction
Pour additionner et/ou soustraire plusieurs fractions, il faut préalablement les réduire au même
dénominateur.
Multiplication
Pour multiplier plusieurs fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
Inversion
Pour inverser une fraction, on permute son numérateur et son dénominateur. Si le dénominateur
est nul, la fraction n’a pas de sens.
Division
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par la seconde inversée.
Si nécessaire, on peut toujours transformer un nombre en une fraction en le divisant par 1.
On veillera dans tous les cas à aligner scrupuleusement les signes = avec la barre de fraction
« principale », sans quoi le résultat s’en trouve modifié.
Exemples :
4 4
7 = 7 = 4×1 = 4
3 3 7 3 21
1
mais
4
4 1 4 3 12
= = × =
.
7 7 1 7 7
3 3
Pour éviter ce genre de confusion, lorsqu’on écrit une fraction on veillera à écrire d’abord la barre
de fraction au même niveau que le signe = et ensuite seulement le numérateur et le
dénominateur.
2
Proportionnalité
Grandeurs directement proportionnelles
Deux grandeurs sont directement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est multipliée (ou divisée) par le même
nombre. Deux grandeurs directement proportionnelles sont donc multiples l’une de l’autre.
Si y est directement proportionnel à x (on note y ∝ x), on a :
y=kx
et, par conséquent, leur quotient est un nombre invariable :
y
=k.
x
Le nombre k est la constante de proportionnalité entre x et y.
Une relation de proportionnalité directe entre deux grandeurs se manifeste par le fait que le
graphique de l’une en fonction de l’autre se présente sous la forme d’une droite qui passe par
l’origine. La relation qui les lie est un cas particulier d’une relation linéaire.
Exemple : la masse m d’un bloc de fer est directement proportionnelle à son volume V ; la
constante de proportionnalité est la masse volumique ρ du fer :
m = ρ V.
Grandeurs inversement proportionnelles
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est divisée (ou multipliée) par le même
nombre. Deux grandeurs inversement proportionnelles sont donc l’une un multiple de l’inverse de
l’autre.
Si y est inversement proportionnel à x, on a :
y=k
1
x
et, par conséquent, leur produit est un nombre invariable :
xy=k.
Une relation de proportionnalité inverse entre deux grandeurs n’est pas immédiatement décelable sur un graphique de l’une en fonction de l’autre.
Exemple : la durée ∆t nécessaire pour parcourir un trajet de longueur l est d’autant plus petite
que la vitesse v du mouvement est grande ; ∆t est inversement proportionnel à v :
∆t =
3
l
.
v
Règles de trois
Grandeurs directement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs directement proportionnelles, il faut les multiplier ou les
diviser en même temps.
Exemple. Sachant qu’une solution doit être réalisée en dissolvant 25 g de sel dans 3 l d’eau,
combien de sel devra-t-on utiliser pour préparer 5 l de solution ?
3 litres :
25 g
1 litre :
25 g
3
5 litres :
25 g × 5
3
(3 fois moins de solution, donc 3 fois moins de sel)
(5 fois plus de solution, donc 5 fois plus de sel).
Grandeurs inversement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs inversement proportionnelles, il faut diviser l’une si on
multiplie l’autre et vice versa.
Exemple. Une construction est exécutée en 25 heures par 3 ouvriers. Combien de temps
durerait-elle si 5 ouvriers y travaillaient ?
3 ouvriers :
25 h
1 ouvrier :
25 h × 3
(3 fois moins d’ouvriers donc 3 fois plus de temps)
5 ouvriers :
25 h × 3
5
(5 fois plus d’ouvriers donc 5 fois moins de temps).
Produits remarquables
( a ± b) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2
( a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3 ab 2 ± b3
a 2 − b 2 = ( a − b)( a + b)
a 3 ± b3 = ( a ± b)( a 2 ∓ ab + b 2 )
4
Aires et volumes
Surfaces
Carré :
A = c2
(c = côté)
Rectangle :
A=bh
(b = base ; h = hauteur)
Parallélogramme :
A=bh
(b = base ; h = hauteur)
Triangle :
A=
bh
2
(b = base ; h = hauteur)
Cercle :
A = πr 2 =
Sphère :
A = 4πr 2 = πd 2
(r = rayon, d = diamètre)
Cube :
V = a3
(a = arête)
Parallélépipède rectangle :
V=Llh
(L = longueur, l = largeur, h = hauteur)
V=lhp
(l = largeur, h = hauteur, p = profondeur)
πd 2
4
(r = rayon, d = diamètre)
Volumes
V =
Sphère :
4 3 1 3
πr = πd
3
6
(r = rayon, d = diamètre)
Écriture des nombres
Il n’existe que dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ils servent à écrire les nombres. Les chiffres
sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots.
Exemples :
0,0041 : nombre de 5 chiffres
7 : nombre de 1 chiffre.
Le signe décimal se marque par un point ou une virgule.
Par souci de lisibilité, dans les nombres comportant beaucoup de chiffres, on groupera ceux-ci par
trois à partir du signe décimal, en les séparant d’un espace exclusivement.
Exemples :
incorrect
admis
préféré
1.234.567
1234567
0,654321
1234.55
1 234 567
0,654 321
1 234,55
1.234,55
5
Notation scientifique
Terminologie
Dans l’expression a × 10n :
a
10
n
10n
est le facteur
est la base
est l’exposant
est la puissance de 10
Règles fondamentales
10m × 10n = 10m + n
10m
= 10m −n
10n
d10 i
m
n
10 − m =
= 10m⋅n
1
10m
1
= 10n
10 − n
Règles de calcul
a⋅10n + b⋅10n = (a + b)⋅10n
(même puissance, factorisation)
a⋅10m × b⋅10n = (a ⋅ b)⋅10m + n
(produit de puissances)
(a⋅10m)k = ak⋅10m⋅k
(puissance de puissance)
a⋅10–n = a / 10n
(puissance négative = inverse)
Ces règles sont valables lorsque les exposants prennent n’importe quelle valeur réelle. En
pratique, les exposants seront presque toujours des nombres entiers (positifs ou négatifs).
Remarque : les racines
3
x = x 1/ 2
racine carrée = puissance 1/2
x = x 1/ 3
racine cubique = puissance 1/3
6
Transformation des notations scientifiques - décimales
Cette transformation n’est immédiate que si les exposants sont des nombres entiers. En pratique,
retenons que l’exposant (en valeur absolue) indique toujours le nombre de zéros à écrire.
101 =
10
10–1 =
0,1
102 =
100
10–2 =
0,01
103 =
1 000
10–3 =
0,001
104 =
10 000
10–4 =
0,000 1
105 =
100 000
10–5 =
0,000 01
Exposant nul
On a toujours : 100 = 1
Exposant positif
L’exposant indique le nombre de zéros à écrire à droite du chiffre 1. Le signe décimal éventuel est
écrit à droite du zéro le plus à droite.
Exemples :
105 =
100 000
106 = 1 000 000
3,14159 × 105 = 314 159
0,015 × 106 =
15 000
Exposant négatif
L’exposant (en valeur absolue) indique le nombre de zéros à écrire à gauche du chiffre 1. Le signe
décimal est écrit juste après le zéro le plus à gauche.
Exemples :
0,000 1
12,566 × 10–4 = 0,001 256 6
10–6 = 0,000 001
0,015 × 10–6 = 0,000 000 015
10–4 =
Préfixes usuels
Les puissances de 10 sont utilisées pour former des multiples et sous-multiples décimaux d’unités. À certaines d’entre elles correspond un préfixe SI (système international d’unités) utilisé
pour former le nom de ces multiples et sous-multiples.
Facteur
Préfixe
Symbole
Signification
Facteur
Préfixe
Symbole
Signification
101
102
103
106
déca
hecto
kilo
méga
da
h
k
M
dizaine
centaine
millier
million
10–1
10–2
10–3
10–6
déci
centi
milli
micro
d
c
m
dixième
centième
millième
millionième
109
1012
1015
1018
giga
téra
peta
exa
G
T
P
E
milliard
billion
10–9
10–12
10–15
10–18
nano
pico
femto
atto
trillion
µ
n
p
f
a
milliardième
(inusité)
(inusité)
Attention : dans un texte américain, « billion » signifie 109, « trillion » signifie 1012, etc. !
7
Machines à calculer
Les calculatrices dites « scientifiques » permettent souvent d’effectuer des calculs avec des
nombres comportant des puissances de 10. La lecture du mode d’emploi de la machine est
indispensable, un modèle n’étant pas l’autre. À titre général, on peut attirer l’attention sur
quelques points.
1°) Les machines n’affichent en général pas la base (10). Ainsi, le nombre 2 × 103 (= 2 000) est
affiché comme suit :
2
3
ce qu’il ne faut évidemment pas interpréter comme 2 au cube (23 = 8) !
2°) Pour introduire un nombre au clavier (2 × 103), on tape d’abord le facteur (2) suivi de la
touche d’introduction de l’exposant de 10 (EEX, EXP, EE, etc. selon le modèle de machine)
suivi de l’exposant (3).
3°) Si le facteur vaut 1 (il n’est alors pas nécessairement écrit), comme dans 104, taper 1 — et
pas 10 —, suivi de la touche EEX, EXP, EE ou autre et de l’exposant. Certains modèles de
calculatrices admettent que le 1 soit omis. Cette erreur de manipulation est à l’origine d’un
facteur 10 en excès dans les résultats de nombreux élèves (et d’un facteur 10 en défaut dans
leur cote...). En effet, s’il faut introduire 104 (sous-entendu 1 × 104), les élèves commettent
l’erreur de taper 10 EE 4, ce que la machine interprète comme 10 × 104.
4°) Si le facteur est négatif, on modifie son signe avec une touche spéciale (+/–, CHS, etc.) et
surtout pas avec la touche – qui s’utilise pour calculer une différence.
5°) Si l’exposant est négatif, on modifie son signe avec la même touche spéciale, après l’avoir
introduit (certaines machines autorisent de le faire avant).
6°) Il est inutile d’employer une fonction telle que yx avec y égal à 10.
À défaut de posséder une calculatrice scientifique qui permet l’usage de puissances de 10, on
évitera de pallier ce manque en complétant par des zéros. D’abord, il ne sera pas toujours possible
d’introduire de grands nombres. Ensuite, le résultat risque de dépasser la capacité d’affichage de
la calculatrice.
Il sera bien plus intelligent, économique et efficace de séparer d’une part le calcul des produits et
quotients (effectués à la machine) des facteurs et d’autre part le calcul des exposants de 10
(effectués mentalement).
Exemple : calculer en mètres la longueur d’une année de lumière (distance parcourue par la
lumière dans le vide, à la vitesse de 299 792 458 m/s, en un an, c’est-à-dire 31 557 600 s).
On trouve cette distance en multipliant ces deux nombres (vitesse × durée). Mais une machine de
base (quatre opérations) générera une erreur de calcul et ne permettra peut-être même pas
d’introduire tous les chiffres de la vitesse. On procédera donc par exemple comme suit :
299 792 458 = 0,299 792 458 × 109
31 557 600 = 31,5576 × 106
d’où
299 792 458 × 31 557 600 = (0,299 792 458 × 109) × (31,5576 × 106)
= (0,299 792 458 × 31,5576) × (109 × 106)
= 9,46073... × 1015 m
8
(parenthèses superflues)
(parenthèses superflues)
Autre exemple : calculer en newtons la force d’attraction exercée
connaître la masse du Soleil MS = 1,99 × 1030 kg, la masse de
distance qui les sépare d = 149,6 × 109 m et la constante
G = 6,672 × 10–11 Nm2/kg2. On obtient la force en utilisant la loi
Newton :
F =G
par le Soleil sur la Terre. Il faut
la Terre MT = 5,97 × 1024 kg, la
de la gravitation universelle
de la gravitation universelle de
MS ⋅ MT
d2
= 6,672 × 10 −11 ×
1,99 × 1030 × 5,97 × 1024
(149,6 × 109 )2
À nouveau, on peut séparer les opérations a effectuer sur les nombres décimaux et sur les
puissances. On les groupe de la manière suivante (sans oublier que la carré au dénominateur
porte sur 149,6 et 109 :
F =
6,672 × 1,99 × 5,97
× 10 −11 +30 + 24 −2×9
(149,6)2
Le calcul de la fraction s’opère sans difficulté avec n’importe quelle calculatrice, même non
scientifique, et le calcul de l’exposant s’effectue mentalement. On trouve finalement que cette
force vaut 0,003 542 × 1025 N, soit 35,42 × 1021 N.
Résolution d’équations
En mathématique, les inconnues s’appellent habituellement x, y ou z. En physique, chaque
grandeur est représentée par une lettre bien précise : m (masse), v (vitesse), x (coordonnée), F
(force), etc. Selon le cas, la lettre représentant l’inconnue sera donc m, v, x, F, etc. Remplacer
toutes les inconnues par x donnerait lieu à une confusion inextricable.
Équation linéaire à une inconnue
L’inconnue apparaît une seule fois
Isoler l’inconnue (transformation de formule).
À ce propos, il est utile d’insister sur le fait qu’il faudrait proscrire les multiples « trucs » et
« recettes » permettant de résoudre (transformer) ces équations :
- triangles,
U
R
- un terme qui change de membre change de signe,
I
- un facteur qui change de membre s’inverse...
L’expérience à montré que de nombreux élèves les appliquent à tort et à travers.
En outre, il faudrait autant de trucs qu’il y a de façons de transformer une équation. On n’en sort pas ! Pour vous en convaincre, testez-en l’efficacité en cherchant à extraire d de
b
b
. Si vous ne trouvez pas d = c − , alors le conseil suivant vous concerne.
l’équation a =
c−d
a
Suggestion : utiliser une méthode unique qui fonctionne toujours. La méthode est simple : effectuer la même opération (permise) sur les deux membres de l’équation, pour isoler l’inconnue.
9
Exemple : résolution de l’équation a =
b
en d.
c−d
Point de départ. On veut isoler d (avoir d seul et
au numérateur).
a=
b
On multiplie les deux membres par le dénomina- a( c − d ) =
(c − d )
c−d
teur (c – d) pour pouvoir simplifier et faire
apparaître l’inconnue au numérateur.
On divise les deux membres par a pour pouvoir
simplifier et isoler progressivement l’inconnue.
On soustrait c aux deux membres pour pouvoir
simplifier et isoler l’inconnue
1
1
a( c − d ) = b
a
a
c−d −c =
On change les deux membres de signe.
−( −d ) = −
b
−c
a
FG b − cIJ
Ha K
b
c−d
a( c − d ) = b
c−d =
−d =
b
a
b
−c
a
d =c−
b
a
L’inconnue apparaît plus d’une fois
D’abord factoriser l’inconnue (la mettre en évidence), ensuite l’isoler (cas précédent).
Système de deux équations linéaires à deux inconnues
Résolution par substitution :
1°) Utiliser l’une des équations pour exprimer une inconnue (au choix) en fonction de l’autre.
2°) Dans la seconde équation, remplacer cette inconnue par son expression obtenue au point
précédent.
Équation du second degré
Soit à résoudre l’équation
ax 2 + bx + c = 0 .
où x est l’inconnue. On calcule d’abord le discriminant ∆ :
∆ = b 2 − 4ac .
Si ∆ est négatif, l’équation n’a pas de solution.
Si ∆ est positif ou nul, l’équation possède deux solutions (confondues si ∆ est nul) :
UV
W
x1
−b ± ∆
=
.
x2
2a
10
Système sexagésimal
Le système sexagésimal (base 60) est utilisé pour exprimer certaines unités de temps et d’angle.
À partir d’une unité de base, qui est soit le degré (°) soit l’heure (h), on forme les sous-multiples
suivants :
• la minute de degré (’) et la minute d’heure (min) qui valent 1/60 de l’unité de base ;
• la seconde de degré (”) et la seconde d’heure (s) qui valent 1/60 de la minute correspondante,
soit 1/3 600 de l’unité de base.
On a :
1 h = 60 min = 3 600 s
1 min = 1 h / 60
1 s = 1 h / 3 600
1° = 60’ = 3 600”
1’ = 1° / 60
1” = 1° / 3 600
À noter que l’heure peut être aussi bien une unité de temps qu’une unité d’angle (longitudes).
Dans ce cas, on a l’équivalence 1 h = 15°
Il est souvent indispensable (pour des calculs) de travailler avec des valeurs décimales plutôt que
sexagésimales (heures et décimales, degrés et décimales). La conversion se pratique comme suit.
Si une valeur est donnée sous forme sexagésimale par un nombre U d’unités, un nombre M de
minutes et un nombre S de secondes, son équivalent décimal se calcule par
M
S
U+
+
60 3600
ou encore
U+
S
60 .
60
M+
Si une valeur est donnée sous forme décimale, le nombre U d’unités est la partie entière de la
valeur. Après avoir multiplié la partie décimale par 60, le nombre M de minutes est la partie
entière de ce résultat et sa partie décimale multipliée par 60 donne le nombre (éventuellement
fractionnaire) S de secondes.
Exemple. Vérifiez l’égalité de ces deux angles : 0 h 17 min 26 s et 4° 21’ 30” (longitude d’Uccle).
11
Trigonométrie
Unités d’angle
L’unité d’angle courante est le degré (°). Le degré est la 360e partie d’un tour.
L’unité naturelle en mathématique est le radian (rad). C’est l’angle au centre d’un cercle qui
intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. Par simple règle de trois, on peut en déduire la longueur s de l’arc intercepté par les côtés d’un angle θ au centre d’un cercle de rayon r :
s = θ r.
En particulier, une circonférence est la longueur de l’arc intercepté par un angle de θ = 2π et sa
longueur vaut... 2πr.
Les conversions d’angles se font par simple règle de trois. Pour ce faire, il est utile d’avoir en tête
le tableau suivant :
tours
degrés
radians
1
1/2
1/4
360
180
90
2π
π
π/2
Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle
Soit un triangle ABC, rectangle en C. Soit θ l’angle en A. Par définition, on a :
sin θ =
BC
longueur du côté opposé
=
longueur de l’ hypoténuse AB
cos θ =
longueur du côté adjacent AC
=
longueur de l’ hypoténuse
AB
tg θ =
B
BC
longueur du côté opposé
=
longueur du côté adjacent AC
θ
A
C
Valeurs remarquables
Il est utile de connaître les valeurs des sinus, cosinus et tangentes de certains angles remarquables :
θ
0°
30°
45°
60°
90°
sin θ
0
1
2
2
2
3
2
1
cos θ
1
3
2
2
2
1
2
0
tg θ
0
3
3
1
3
∞
Ce tableau peut être reconstitué très simplement. Pour les sinus, écrire la série 0, 1, 2, 3, 4 ;
prendre ensuite la racine carrée et diviser le résultat par 2. Pour le cosinus, commencer avec la
série 4, 3, 2, 1, 0. Pour la tangente, diviser le sinus par le cosinus (division de fractions).
12
Le tableau suivant donne les valeurs des sinus, cosinus et tangente pour quelques angles du
premier quadrant. Entraînez-vous avec votre calculatrice à retrouver leurs valeurs et à retrouver
les angles au départ de leur sinus, cosinus ou tangente.
θ(°)
sin θ
cos θ
tg θ
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
0,00000
0,08716
0,17365
0,25882
0,34202
0,42262
0,50000
0,57358
0,64279
0,70711
0,76604
0,81915
0,86603
0,90631
0,93969
0,96593
0,98481
0,99619
1,00000
1,00000
0,99619
0,98481
0,96593
0,93969
0,90631
0,86603
0,81915
0,76604
0,70711
0,64279
0,57358
0,50000
0,42262
0,34202
0,25882
0,17365
0,08716
0,00000
0,00000
0,08749
0,17633
0,26795
0,36397
0,46631
0,57735
0,70021
0,83910
1,00000
1,19175
1,42815
1,73205
2,14451
2,74748
3,73205
5,67128
11,43005
∞
Une notation qui prête à confusion
Pour bien marquer le fait que le sinus, le cosinus et la tangente sont des fonctions de l’angle θ, il
faudrait écrire :
sin (θ)
cos (θ)
tg (θ),
mais on trouve très souvent les écritures abrégées suivantes :
sin θ
cos θ
tg θ.
Lorsque ces fonctions sont élevées à une puissance, par exemple au carré, il faudrait écrire :
[sin (θ)]2
[cos (θ)]2
[tg (θ)]2,
mais on trouve presque toujours les écritures abrégées suivantes :
sin2 θ
cos2 θ
tg2 θ.
La confusion devient totale dans la notation des fonctions cyclométriques (arc sinus, arc cosinus
arc tangente), réciproques des fonctions trigonométriques (très souvent abusivement appelées
fonctions « inverses »). Pour désigner ces fonctions, on peut écrire :
Arcsin (x)
Arccos (x)
Arctg (x),
On trouve aussi souvent (particulier sur les machines à calculer)
sin–1 x
cos–1 x
tan–1 x.
Dans la mesure où la notation sin2 θ s’interprète comme le carré de sin θ, ces notations-ci
risquent de s’interpréter (à tort) comme 1 / (sin x) etc., ce qui serait incorrect.
La plus grande prudence s’impose donc pour interpréter la notation correctement ; l’analyse du
contexte peut se révéler parfois bien utile.
13
Théorème de Pythagore
(sin θ )2 + (cosθ )2 = 1 .
Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique permet la généralisation aux angles orientés et aux angles supérieurs à
90 degrés (voir ci-dessous).
Propriétés fondamentales
Les relations qui suivent permettent de ramener la recherche de la valeur d’une fonction
trigonométrique d’un angle quelconque au calcul de la même fonction pour un angle compris
entre 0° et 90° (réduction au premier quadrant). Pour réduire le risque de confusion, on a tout
intérêt à retrouver chacune de ces relations sur un schéma rapide sur lequel on aura porté un
angle θ et respectivement –θ, 90° – θ, 90° + θ, 180° – θ ou 180° + θ.
Angles opposés
sin (–θ) = – sin (θ)
cos (–θ) = cos (θ)
Angles complémentaires
sin (90° – θ) = cos (θ)
cos (90° – θ) = sin (θ)
Angles anticomplémentaires
sin (90° + θ) = cos (θ)
cos (90° + θ) = – sin (θ)
Angles supplémentaires
sin (180° – θ) = sin (θ)
cos (180° – θ) = – cos (θ)
Angles antisupplémentaires
sin (180° + θ) = – sin (θ)
cos (180° + θ) = – cos (θ)
Machines à calculer
On ne peut que recommander à l’utilisateur d’une machine à calculer de lire son mode d’emploi et
de s’exercer sur les exemples qui y sont donnés. Quelques règles de base peuvent être utiles, mais
ne se substituent pas au mode d’emploi.
1°) Beaucoup de modèles de calculatrices sont capables de calculer des fonctions trigonométriques d’angles exprimés soit en degrés, soit en radians, soit en grades. Il faut s’assurer que
la machine est préparée à travailler avec l’unité dans laquelle vous donnez l’angle.
2°) En général (vérifiez si c’est le cas pour la machine que vous utilisez), on doit d’abord
introduire l’angle au clavier et ensuite appuyer sur la touche de fonction (sin, cos, tan...).
3°) Sur beaucoup de modèles de machines, le calcul de l’arc s’opère en composant la valeur de la
fonction trigonométrique au clavier, puis en appuyant sur les touches 2nd sin–1, 2nd cos–1,
2nd tan–1, ou sur les touches INV sin, INV cos, INV tan.
14
Vecteurs
Un déplacement (une translation) dans l’espace possède un point de départ (origine) et un point
d’arrivée (extrémité). On le représente par une flèche qui va de l’une à l’autre. Souvent, on
préfère ne mentionner que l’origine et remplacer la donnée de l’extrémité par sa direction, le sens
dans lequel elle se trouve et sa distance à l’origine.
Les grandeurs qui, pour être complètement décrites, nécessitent la précision
• d’une origine,
• d’une direction,
• d’un sens,
• d’un nombre
sont appelées vecteurs. Le nombre qui intervient dans la caractérisation d’un vecteur est appelé
son module ; il correspond à une longueur si le vecteur représente une translation.
Notation
On note habituellement un vecteur par un symbole surmonté d’une flèche : a , b , c... (dans des
textes imprimés, on utilise souvent un symbole en caractère gras, sans flèche). Le module du
vecteur est représenté par
a , b , c ... (mathématique) ou, plus simplement par a, b, c...
(physique).
Vecteurs équipollents
Des vecteurs équipollents sont des vecteurs de même direction, même sens et même module.
Somme de vecteurs
On définit comme suit la somme de deux vecteurs :
B
AB + BC = AC
(somme vectorielle)
On notera que la somme de vecteurs est associative et commutative.
b
b
a
c
a
c
a +b +c
C
A
Pour additionner plusieurs vecteurs,
on les place « bout à bout » : on amène (par équipollence)
l’origine du 2e vecteur à l’extrémité du 1er, l’origine du 3e à
l’extrémité du 2e, etc. Le vecteur somme a pour origine
l’origine du premier vecteur et pour extrémité l’extrémité
du dernier.
Dans le cas particulier de l’addition de deux vecteurs, on peut aussi les reporter (par équipollence) à partir d’une même origine et construire le parallélogramme qui les ceux-ci pour côtés ; la
somme recherchée correspond à celle des diagonales du parallélogramme qui part de l’origine
commune des deux vecteurs.
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Attention : le module de la somme de vecteurs n’est pas égale à la somme des modules des
vecteurs ; si deux vecteurs a et b forment entre eux un angle θ et
que leur somme est c = a + b , on a :
2
A
a
2
c = a + b + 2 a b cosθ .
S
c
θ
Ne pas confondre cette expression avec celle du théorème de O
Pythagore généralisé (triangles non rectangles) : le module c est la
b
longueur de la diagonale OS, alors que le théorème de Pythagore
généralisé donne la diagonale AB qui n’est autre que le 3e côté du triangle OAB :
B
AB = a 2 + b 2 − 2 a b cosθ .
Produit d’un vecteur par un scalaire
On définit comme suit le produit d’un vecteur par un scalaire :
C
k ⋅ AB = AC
(produit d’un vecteur par un nombre)
B
Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur de même direction, de
même sens ou de sens contraire selon que le scalaire est positif ou négatif, et A
dont le module est égal au produit du module du premier vecteur par le scalaire.
Multiplier un vecteur par –1 revient à renverser son sens.
Produit scalaire de deux vecteurs
Soient deux vecteurs a et b . Leur produit scalaire est noté a ⋅ b ; c’est un
scalaire qui est égal au produit du module d’un des deux vecteurs par le
module de la projection orthogonale de l’autre sur la direction du premier :
a ⋅ b = a ’ b = a b cosθ .
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a
O
θ
a’
b