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Le vecteur vitesse – Le vecteur accélération PHR 004 Exercice n°2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale. On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2πr, auquel est lié un repère orthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. La face latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet M de masse m assimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de M est: x = r cosθ y = r sinθ z = r (2π - θ) avec 0 < θ < 2π. Le point H correspond à θ = 0 et le point B à θ = 2π. 1. Calculer, en fonction de θ(t) et de ses dérivées, l'accélération de M en coordonnées cartésiennes. 2. Calculer, en fonction de θ(t) et de ses dérivées, l'accélération de M en coordonnées cylindriques. Solution JJJJG G G G 1) Le vecteur position s’écrit : OM = x i + y j + z k Les vecteurs de base sont constants au cours du temps, leur dérivée par rapport au temps est nulle. Le mouvement étant hélicoïdal, r ne varie pas au cours du temps, par conséquent r = 0 ( ( ) ) ⎧ x = - r θsin θ + θ 2 cos θ ⎧ x = - r θ sin θ ⎧ x = r cos θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y r y r y = r θ cos θ − θ 2 sin θ = ⇒ = ⇒ sin θ θ cos θ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z = r (2π - θ ) z = - r θ ⎩z = - r θ ⎪⎩ JJJJG G G G G 2) Le vecteur position s’écrit : OM = r ur + z u z = r ur + r ( 2 π − θ ) u z avec r = x 2 + y 2 JJG JJG G Les vecteurs de base u r , u θ ne sont pas constants au cours du temps. Le vecteur u z et r sont ( ) constants en fonction du temps. JJJJG G G OM = r ur + r ( 2 π − θ ) u z JG G G V = r θ uθ − r θ u z G G G G a = r θ uθ − r θ 2 ur − r θ uz 1
