T°S - Monsieur CHAPON

T°S
A tout nombre réel x, on peut associer son sinus ou son cosinus. On crée ainsi deux nouvelles fonctions : les
fonctions sin et cos.
Ces deux fonctions augmente le nombre des fonctions de référence étudiées au lycées. Leurs propriétés sont
à connaître parfaitement afin d'étudier des fonctions plus complexes appelées fonctions trigonométriques.
FONCTIONS SINUS – FONCTION COSINUS
FONCTION SINUS
Définition : on appelle fonction sinus (sin en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x
sin x .
Propriété : la fonction sinus est impaire. Cela signifie que pour tout réel x, on a : sin(− x)=−sin x .
Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine O.
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction sinus est impaire.
Propriété : la fonction sinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a : sin( x+ 2 π)=sin x .
Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction sinus est invariante par translation de
vecteur 2 π ⃗i .
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que la
fonction sinus est 2-périodique.
Si on tient compte de plus de la parité de la fonction sinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle [0 ;π ] :
en effet, la parité permet d'en déduire les variations sur [−π ; π ] (amplitude 2) ; la 2-périodicité permet d'en déduire les
variations sur ℝ.
Propriété : la fonction sinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a : sin ' (x)=cos( x) .
Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction sinus sur [0 ;π ] .
π
x
0

2
Signe de sin ' (x)=cos( x)
1
0
−1
1
Variations de la fonction sin
0
0
Propriété : limite remarquable : lim
x →0
sin x
=1 .
x
Définition : la courbe représentative de la fonction sinus s'appelle une sinusoïde.
FONCTION COSINUS
Définition : on appelle fonction cosinus (cos en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x
cos x .
Propriété : la fonction cosinus est paire. Cela signifie que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos x .
Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe (O ; ⃗j ) .
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction cosinus est paire.
Propriété : la fonction cosinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a : cos( x+ 2 π)=cos x .
Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est invariante par translation de
vecteur 2 π ⃗i .
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que
la fonction cosinus est 2-périodique.
Si on tient compte de plus de la parité de la fonction cosinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle [0 ;π ]
Lycée Victor Hugo
M. CHAPON
puisque la parité permet de déduire les variations sur [−π ; π ] (amplitude 2) ;
la 2-périodicité permet d'en déduire les variations sur ℝ.
Propriété : la fonction cosinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a : cos ' ( x)=−sin( x) .
Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction cosinus sur [0 ;π ] .
x
0

Signe de sin( x)
0
+
0
Signe de cos ' ( x)=−sin( x) 0
–
0
1
Variations de la fonction cos
−1
Propriété : limite remarquable : lim
x →0
cos x−1
=0 .
x
Propriété : dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , on passe de la courbe représentative de la fonction cosinus à la courbe
π
représentative de la fonction sinus par une translation de vecteur 2 ⃗i .
Définition : la courbe représentative de la fonction cosinus s'appelle aussi une sinusoïde.
FORMULAIRE (RAPPELS DE 1ÈRE S)
Propriété : soient x et y deux réels quelconques. On a alors les égalités suivantes.
cos – x=cos x
sin  – x=– sin x
cos – x=– cos x
sin  – x=sin x
sin  x= –sin x
cos
 2 – x =sin x
cos
 2  x =– sin x
sin
 2 x =cos x
√3
cos π =
6 2
√2
cos π =
4 2
1
cos π =
3 2
cos π =0
2
sin 0=0
1
sin π =
6 2
√2
sin π =
4 2
√3
sin π =
3 2
sin π =1
2
cos( x+ y)=cos x cos y−sin xsin y
sin( x+ y)=sin x cos y+ cos x sin y
cos( x – y)=cos x cos y+ sin x sin y
sin( x− y)=sin x cos y−cos x sin y
2
Formules de duplication :
 2 – x =cos x
cos 0=1
cos 2 x+ sin 2 x=1
Formules d'addition :
sin
cos x= – cos x
2
cos(2 x)=cos x−sin x
cos(2 x)=2cos 2 x−1
cos(2 x)=1−2sin 2 x
sin(2 x)= 2sin x cos x
Remarque : à part les formules d'addition et de duplication, toutes ces formules se retrouvent rapidement à l'aide d'un cercle trigonométrique.
FONCTIONS PÉRIODIQUES
Définition : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D.
On dit que f est périodique de période P (ou P-périodique) si :
∀x∈D, (x+ P) ∈D ; et : ∀x∈D, f ( x+ P )= f ( x) .
Propriété : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D.
Si f est P-périodique, alors sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j) est invariante par translation de vecteur P ⃗i .
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M. CHAPON