Les fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques
Définitions et propriétés
Q
r
Θ
O
x
y rΘ
P
Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont définies
par les relations
sin θ =
y
,
r
cos θ =
x
,
r
tan θ =
y
sin θ
=
.
x
cos θ
(1)
On utilise aussi quelquefois les fonctions cotangente, sécante et cosécante :
cot θ =
1
,
tan θ
sec θ =
1
,
cos θ
csc θ =
1
.
sin θ
L’angle θ peut être mesuré en radians (un nombre décimal compris entre 0
et 2π) ou en degrés (entre 0 ◦ et 360 ◦ ). Lorsque θ est exprimé en radians,
la longueur de l’arc de cercle P Q est égale à rθ. On passe des degrés aux
radians par la formule
radians =
π
degrés.
180
1
On peut calculer le sinus et le cosinus de n’importe quel nombre (même non
compris entre 0 et 2π) en utilisant leur périodicité :
sin (θ + 2π) = sin θ,
cos (θ + 2π) = cos θ .
(2)
Les fonctions trigonométriques satisfont les relations suivantes :
cos2 θ + sin2 θ = 1
cos (−θ ) = cos θ ,
sin (−θ ) = − sin θ ,
(3)
tan (−θ ) = − tan θ
(4)
cos (θ + φ ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ
(5)
sin (θ + φ ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ
(6)
tan (θ + φ ) =
tan θ + tan φ
1 − tan θ tan φ
(7)
Les graphes de ces fonctions ont l’allure suivante :
1.0
sin Θ
5
0.5
tan Θ
Θ
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
-1.5 -1.0 -0.5
0.5
1.0
Θ
1.5
-5
cos Θ
-1.0
Le graphe de sinus est celui de cosinus décalé vers la droite. La fonction
tangente devient infinie aux points θ = ± π/2.
Quelques valeurs remarquables :
√
cos 0 = 1 cos π/4 = 1/√ 2 cos π/3 =√1/2 cos π/2 = 0 cos π = −1 cos 3π/2 = 0
sin 0 = 0 sin π/4 = 1/ 2 sin π/3 = 3/2 sin π/2 = 1 sin π = 0 sin 3π/2 − 1
Exemple
•
Les degrés ( ◦ ) sont divisés en 60 minutes (0 ), elles-même divisées en 60
secondes (”) d’arc. Donc
1 radian =
180 ◦
= 57, 2958 ◦ = 57 ◦ 17, 7480 = 57 ◦ 170 45”.
π
2
•
En faisant θ = φ dans les formules d’addition, on obtient :
cos 2θ = 2 cos2 θ −1,
•
sin 2θ = 2 sin θ cos θ ,
tan 2θ =
2 tan θ
.
1 − tan2 θ
Lorsque l’angle θ est très petit, il se confond pratiquement avec son
sinus :
sin θ
lim
= 1.
θ →0 θ
Exercices
1. Convertir 30 ◦ en radians et π/3 radians en degrés.
2. Utiliser les formules d’addition pour calculer sin 2π/3 et cos 2π/3.
3. Calculer tan π/4 et tan π/3.
Pour en savoir plus
? http://www.alphaquark.com/Mathematique/Trigonometrie.htm
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1.
π
6,
60 ◦
√
2.
3
2 ,
3
− 12
3. 1,
√
3