Devoir spé math pour le 5 janvier Exercice 1 : Le produit de deux

Devoir spé math pour le 5 janvier
Exercice 1 : Le produit de deux entiers naturels a et b ( avec a < b) est 11340 et leur pgcd est noté d .
1) a) Pourquoi d² divise-t-il 11340 ?
b) Pourquoi d 2  2  3 avec 0    1 et 0    2 ?
2) On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs et que a est un multiple de 5.
a) Démontrer que d = 18
b) Déduisez-en a et b .
Exercice 2 : soit p un entier naturel non nul,
on note E la proposition « Si p et 8p-1 sont premiers alors 8p+1 est non premier ».
1) Vérifier que E est vraie pour p =3
2) En raisonnant modulo 3, démontrer que E est toujours vraie .
Exercice 3 : Un entier n a cinq diviseurs et n – 16 est le produit de deux entiers premiers .
1) Prouvez que n  p 4 avec p premier.
2) Ecrivez n – 16 sous la forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.
3) Déduisez-en la valeur de n.
Exercice 4 :
1) Démontrer l’égalité de Sophie Germain :
n 4  4m 4  (n 2  2m 2  2mn)  (n 2  2m 2  2mn)
2) Soit n un entier naturel , pour quelles valeurs de n , n 4  4 est-il premier ?
3) Démontrer que 4545  5454 n’est pas un nombre premier .
Exercice 5 : Soient p et q deux entiers premiers supérieurs ou égaux à 11
On note f ( p, q)  (p 2  1)  (q 2  1)  (p6  q 6 )
1) Remarquer que p6  q 6  ( p 2  q 2 )  ( p 4  p 2 q 2  q 4 )
2) Démontrer que (p 2  1) et (q 2  1) sont congrus à 0 modulo 3 en déduire que
f ( p, q)  33 cd (c  d )  ( p 4  p 2 q 2  q 4 ) puis que f ( p, q ) est divisible par 34 ;
3) Démontrer que (p 2  1) et (q 2  1) sont de la forme 8a et 8b où a et b sont des entiers.
En déduire que f ( p, q )  83  ab(a  b)  ( p 4  p 2 q 2  q 4 ) puis que f ( p, q ) est divisible
par 210 .
4) Démontrer en utilisant un tableau de congruences que p 6  q 6 est divisible par 7 .
5) Démontrer que f ( p, q ) est divisible par 5.