Annales sur les nombres premiers

Terminales S - Spécialité/Annales sur les nombr
255. Exercices non-classés :
que tout facteur premier de X est soit de la forme
4n+1, soit de la forme 4n−1 où n est un élément de
N∗ .
Exercice 3631
Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
c. Montrer que X possède au moins un facteur premier
de la forme 4n−1 où n est un élément de N∗
Partie I
{
}
Soit : E = 1 ; 2 ; 3 ; 4 {; 5 ; 6}; 7 ; 8 ; 9 ; 10 .
Déterminer les paires a ; b d’entiers distincts de E tels que
le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.
3. En considérant un facteur premier p de X de la forme
4n−1, la définition de P et la relation X = 4P −1, achever
la démonstration par l’absurde.
Partie II
Exercice 6928
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
1. L’entier (n−1)! est-il pair ?
2. L’entier (n−1)!+1 est-il divisible par un entier naturel
pair ?
3. Prouver que l’entier (15−1)!+1 n’est pas divisible par 15.
4. L’entier (11−1)!+1 est-il divisible par 11 ?
Partie III
Soit p un entier naturel non premier (p ⩾ 2).
1. Prouver que p admet un diviseur q (1 < q < p) qui divise
(p−1)!
2. L’entier q divise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?
3. L’entier p divise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?
Exercice 5302
Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde qu’il
existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n−1, où
n est un élément de N∗ (ensemble des entiers naturesl non
nuls).
Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S(n) le nombre
égal à la somme des diviseurs positifs de n.
1. Vérifier que S(6) = 12 et calculer S(7).
2.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur
ou égal à 2, S(n) ⩾ 1+n
b. Quels sont les entiers naturels n tels que S(n) = 1+n ?
3. On suppose dans cette question que n s’écrit p×q où p
et q sont des nombres premiers distincts.
(
)(
)
a. Démontrer que : S(n) = 1 + p 1 + q .
b. On considère la proposition suivante :
“Pour
tous
n et m non nuls distincts,
(
) entiers
( ) naturels
( )
S n×m = S n ×S m ”
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4. On suppose dans cette question que l’entier n s’écrit pk ,
où p est un nombre premier et k un nombre entier naturel
non nul.
a. Quels sont les diviseurs de n ?
b. En déduire que :
S(n) =
1 − pk+1
.
1−p
1. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1
où n est un élément de N∗ .
Montrer que E a au moins deux éléments.
5. On suppose dans cette question que n s’écrit p13 ×q 7 , où
p et q sont des nombres premiers distincts.
2. On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments
de E et X = 4P −1.
a. Trouver un minorant de X.
a. Soit m un entier naturel.
Démontrer que m divise n si, et seulement si, il existe
deux nombres entiers s et t avec 0 ⩽ s ⩽ 134 et 0 ⩽ t ⩽ 7
tels que m = ps ×q t .
b. Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire
b. Démontrer que :S(n) =
1 − p14 1 − q 8
×
1−p
1−q
Terminales S - Spécialité - Annales sur les nombres premiers - http://chingatome.net