E1 1. Justifier que 503 est un nombre premier. 2

E1
1. Justifier que 503 est un nombre premier.
2. Déterminer deux entiers x et y tels que
x² - y² = 503
E2
On pose f(n)= 2n² + 29. Calculer les entiers f(n) pour n entier allant de 0 à 28.
Vérifier que ce sont des nombres premiers.
Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que f(n) soit un multiple de 31.
E3
Partie A
Démontrer que 1 999 est un nombre premier.
Partie B
On considère l’équation (E), d’inconnue n entier naturel :
N² - Sn + 11 994 = 0
On s’intéresse aux valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans N.
1. Peut-on déterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E) ?
Si oui, préciser la seconde solution.
2. Peut-on déterminer un entier S tel que 5 soit solution de (E) ?
3. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 13 994.
En déduire toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.
La liste de tous les entiers premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous :
2;3;5;7;11; 13,:17; 19;23;29;31;37;4l;43;47;53;59; 6l;67;71;73;79;83;89 ; 97.
E4
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. On pose n= p4 - 1
Déterminer les décompositions d¢ p4 – 1 en facteurs premiers pour p = 7, 11, 13, 17,19.
Justifier que dans ces cinq cas, n est divisible par 240.