Exercices : Nombres premiers

Exercices : Nombres premiers
Exercice 1
Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Partie I
Soit E = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7 ; 8 ; 9 ; 10 .
Déterminer les paires a ; b d’entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.
Partie II
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
1. L’entier (n − 1)! est-il pair ?
2. L’entier (n − 1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair ?
3. Prouver que l’entier (15 − 1)! + 1 n’est pas divisible par 15.
4. L’entier (11 − 1)! + 1 est-il divisible par 11 ?
Partie III
Soit p un entier naturel non premier (p > 2).
1. Prouver que p admet un diviseur q (1 < q < p) qui divise (p − 1)!
2. L’entier q divise-t-il l’entier (p − 1)! + 1 ?
3. L’entier p divise-t-il l’entier (p − 1)! + 1 ?
Exercice 2
1. Pour a un entier naturel, on considère l’expression :
(E) : a4 − a3 − 5a2
a. Factoriser l’expression (E) comme un produit de deux polynômes du second degré.
b. En déduire l’unique valeur de a afin que l’expression (E) définisse un nombre premier.
2. Pour a un entier naturel, on considère l’expression :
(F ) : a4 − 3a2
Justifier que le nombre (F ) ne peut être un nombre premier.
Exercice 3
Soit n un entier naturel. On considère le nombre A défini par :
A = 23 ×3n ×5n
1.
a. Déterminer le nombre de diviseurs du nombre A dans les cas suivant :
n=0 ; n=1 ; n=2
b. Déterminer une expression en fonction de n donnant le nombre de diviseurs du nombre A.
2. Combien de diviseurs admet le nombre 6 075 000.
Exercice 4
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N =a2 −b2 où a et b sont deux entiers naturels tels que a>b.
1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité.
2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
3. Quelle est la parité de p et de q ?