E p - Profmath55

Terminale S
Devoir à la maison n°5
Exercice I
117 p. 37 spécialité
On considère deux entiers naturels non nuls x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy
I. a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En raisonnant par l'absurde, démontrer que S = x+ y et P = xy sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l'un pair, l’autre impair).
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 84

ab = d3

Avec d = PGCD(a ;b)
Aide
1. b) Si S et P ne sont pas premiers entre eux, il existe un diviseur c > 1 de S et P donc de Sx
et P, donc de PGCD(Sx; P)...
4. On peut poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.
Exercice II 129 p. 39 spécialité
1. a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division
euclidienne par 9 de 7n.
D) Démontrer alors que (2 005)2005  7 (9).
2 a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10) n  1 (9).
b) On désigne par N un entier naturel et on note S la somme de ses chiffres. Démontrer que N
 S (9).
c) En déduire que N est divisible par 9 si, et seulement si S est divisible par 9.
3. On suppose que A = (2 005)2005 ; on désigne par :
• B la somme des chiffres de A;
• C la somme des chiffres de B ;
• D la somme des chiffres de C ;
a) Démontrer la relation suivante : A  D (9).
b) Sachant que 2 005 < 10 000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus
8 020 chiffres. En déduire que B  72 180.
c) Démontrer que C  45.
d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, montrer que D est plus petit que 12.
e) En déduire que D = 7.
Terminale S
Devoir à la maison n°5
Exercices III non spécialité