exp-ln-irrationnel

Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r), lorsque r Î 
- Partie A - Étude d’une suite Soit X un réel strictement positif fixé. On définit, pour tout n Î , la suite (un(X)) par :
un(X) =
Xn
n!
Le but de cette première partie est de démontrer que la suite (un(X)) converge vers 0.
X
. Démontrer que :
N
1. Soit N un entier supérieur à X strictement. On note q =
Nn
n!
un(X) = qn
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n  N :
Nn
NN

n!
N!
3. En déduire que la suite (un(X)) converge vers 0.
- Partie B - Étude d’une intégrale Pour tout réel x strictement positif et tout entier naturel n, on considère l'intégrale :
In(x) =
1
n!
ò (1 - t )
1
2 n tx
-1
2e x
n!
0 < In(x) 
0. Démontrer que :
1. Calculer I0(x) et démontrer que : I1(x) =
2. Démontrer que pour tout n Î  :
( (2x - 2)e
1
x3
4
In+2(x) =
x
+ (2 x + 2)e- x
x
In(x) -
2
e dt
4n + 6
x2
)
In+1(x)
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe une fonction polynôme Pn à coefficients entiers et de
degré n telle que :
In(x) =
1
x
2 n +1
( P ( x)e
n
x
- Pn (- x )e - x
)
- Partie C - Epilogue 1. Le but de cette question est de démontrer que si x est un nombre rationnel non nul, alors e x est un
irrationnel.
Soit x Î ¤*+ noté x =
p
avec (p, q) Î * ´ *.
q
On va raisonner par l'absurde en supposant e x Î ¤*+ . On note donc e x =
a
avec (a, b) Î * ´ *.
b
Démontrer, à l'aide des résultats des parties précédentes que :
abp2n+1I(x) Î *
lim abp2n+1I(x) = 0
n ® +¥
En déduire une contradiction et conclure dans le cas où x Î ¤*+ .
2. Démontrer que si x Î ¤*- , alors e x Î  \ .
3. Démontrer que si x Î ¤*+ \ {1}, alors ln x Î  \ .
Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r)
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- Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r), lorsque r Î  - Solution -
- Partie A - Étude d’une suite 1. Il suffit d'écrire :
n
Nn
Xn
n N
=
q
´
n!
n!
Nn
un(X) =
2. On considère la propriété Ã définie pour n  N par :
Nn
NN

n!
N!
Ã(n) :
· On a clairement Ã(N).
· Supposons Ã(n) pour un certain entier n  N.
N Ã( n ) N N
N n N N N
N n +1
Nn

´
´


N ! (n + 1)
N!
(n + 1)! n!
(n + 1)
D'où Ã(n + 1)
Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit la propriété Ã(n) pour tout n  N.
3. On a donc, pour tout n  N :
La quantité
0  un(X)  qn
NN
N!
NN
est indépendante de n. Par ailleurs, comme N > X > 0, on a q Î ]0, 1[, donc :
N!
lim qn = 0
n ® +¥
lim un(X) = 0
Du théorème des gendarmes, on en déduit :
n ® +¥
Xn
converge (vers eX), le résultat cin!
dessus est alors immédiat puisque le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers 0.
Remarque : si l'on sait que, pour tout X fixé, la série de terme général
- Partie B - Étude d’une intégrale -
(
0  1- t 2
0. Pour tout t Î [-1 ; 1], on a :
D'où :
(
0  1- t 2
)
n
)
n
1
etx  etx  e x
En intégrant pour t allant de -1 à 1, on obtient :
0
D'où :
Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r)
ò (1 - t )
1
-1
2 n tx
e dt  2 e x
0  In(x) 
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2e x
n!
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(
Enfin, l'application ¦ : t a 1 - t 2
)
n
etx est positive sur [-1 ; 1] et ne s'annule qu'en un nombre fini de
points, donc si F est une de ses primitives, alors F est strictement croissante sur [-1 ; 1]. En particulier :
F(1) - F(-1) > 0
ò (1 - t )
1
C'est-à-dire :
2 n tx
e dt > 0
-1
D'où :
In(x) > 0
2e x
n!
0 < In(x) 
Conclusion :
ò
I0(x) =
1. On a :
1
é etx ù
e x - e- x
etx dt = ê ú =
-1
x
ë x û -1
1
Calculons I1(x) à l'aide de deux intégrations par parties successives :
I1(x) =
ò (1 - t ) e
1
2
tx
-1
dt
On pose :
u(t) = 1 - t2 et v'(t) = etx
Ainsi :
u'(t) = -2t et v(t) =
2
x
I1(x) =
D'où :
On calcule
ò
ò
1
-1
1
-1
tetx dt
tetx dt à l'aide d'une seconde intégration par parties :
1
é tetx ù
1
te dt = ê
ú -1
ë x û -1 x
1
ò
etx
x
tx
ò
1
-1
etx dt =
I1(x) =
Finalement :
(
( (2x - 2)e
1
x3
In+2(x) =
2. On a :
1
e x + e- x e x - e- x
= 2 ( x - 1)e x + ( x + 1)e- x
2
x
x
x
)
n+ 2
Ainsi :
u'(t) = -2t 1 - t 2
In+2(x) =
On obtient :
)
1
x(n + 1)!
ò
(
)
u(t) = 2t 1 - t 2
On remet ça avec :
e dt
-1
u(t) = 1 - t 2
et v'(t) = etx
n +1
1
-1
)
2 n + 2 tx
1
Posons :
(
+ (2 x + 2)e- x
ò (1 - t )
1
(n + 2)!
(
x
)
et v(t) =
etx
x
(
e dt
2t 1 - t 2
n +1
)
n +1 tx
et v'(t) = etx
Ainsi :
(
u'(t) = 2 1 - t 2
)
n +1
(
- 4(n + 1)t 2 1 - t 2
(
)
n
u'(t) = (4n + 6) 1 - t 2
Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r)
(
= 2 1- t2
)
n +1
)
n +1
(
+ 4(n + 1) 1 - t 2
(
- 4(n + 1) 1 - t 2
Page 3
)
n
)
n +1
et v(t) =
(
- 4(n + 1) 1 - t 2
)
n
etx
x
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In+2(x) =
D'où :
1
x (n + 1)! ò
2
1
(
é 4(n + 1) 1 - t 2
-1 ê
ë
4
In+2(x) =
x
2
)
n
4n + 6
In(x) -
(
- (4n + 6) 1 - t 2
x2
)
n +1 ù tx
úû e dt
In+1(x)
3. On considère la propriété Ã, définie pour tout entier naturel n par :
Ã(n) : pour tout k Î 0 ; n + 1, il existe une fonction polynôme Pk de degré k, à coefficients entiers et telle que
( P ( x )e
1
Ik(x) =
x
2 k +1
x
k
- Pk (- x)e - x
)
· D'après la question 1, on a Ã(0).
· Soit n Î *. Supposons Ã(n). D'après la question 2, on a :
4
In+2(x) =
x
2
4n + 6
In(x) -
x2
In+1(x)
D'après Ã(n) appliquée avec k = n et k = n + 1 :
In+2(x) =
1
x
2 n +5
( P ( x)e
4
In+2(x) =
x
2 n +3
x
n
( 4x P ( x)e
2
x
n
)
- Pn (- x )e - x -
4n + 6
x
2n+ 5
(P
n +1 ( x)e
x
- Pn +1 (- x )e - x
)
- 4 x 2 Pn (- x)e - x - (4n + 6) Pn +1 ( x)e x + (4n + 6) Pn +1 (- x)e - x
)
Pn+2(x) = 4x2Pn(x) - (4n + 6)Pn+1(x)
Posons :
Pn+2 est bien une fonction polynôme à coefficients entiers et de degré n + 2.
Et ainsi, on a :
1
In+2(x) =
x
2 n +5
(P
n + 2 ( x )e
x
- Pn + 2 (- x)e - x
)
On a donc, pour tout k Î 0 ; n + 2, l'existence d'une fonction polynôme Pk à coefficients entiers et de
degré k telle que :
1
Ik(x) =
x
D'où Ã(n + 1).
2 k +1
( P ( x )e
k
x
- Pk (- x)e - x
)
D'après le principe de raisonnement par récurrence, la propriété Ã est donc vraie pour tout entier n.
En particulier, on a bien pour tout entier naturel n, l'existence d'une fonction polynôme Pn à coefficients
1
entiers et de degré n telle que : In(x) = 2 n +1 Pn ( x )e x - Pn (- x )e - x
x
(
)
- Partie C - Epilogue 1. Comme x =
p
et que Pn est à coefficients entiers et de degré n, qnPn(x) et qnPn(-x) sont des entiers. Or :
q
In(x) =
abp2n+1In(x) = a2q2n+1Pn(x) - b2q2n+1Pn(-x)) Î 
D'où :
Or, a > 0, b > 0, p > 0 et In(x) > 0 donc :
Par ailleurs, d'après B.0 :
Et comme e x =
a
bö
q 2 n +1 æ
ç Pn ( x) - Pn (- x ) ÷
b
aø
p 2 n +1 è
a
:
b
Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r)
abp2n+1In(x) Î *
abp2n+1In(x) 
2abp 2 n +1e x
n!
abp2n+1In(x) 
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2a 2 p 2 n +1
n!
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( p)
I (x)  2a p
n
2n+1
abp
Et d'après la partie A appliquée avec X =
2
n
n!
p:
lim abp2n+1In(x) = 0
n ® +¥
La suite (abp2n+1In(x)) est une suite d'entiers non nuls qui converge vers 0, absurde.
ex Î  \ 
Donc :
2. Si x Î ¤*- , alors -x Î ¤*+ et d'après la question précédente :
ex =
1
e- x
Î\
x Î * Þ e x Î  \ 
3. On a donc :
Soit x Î ¤*+ \ {1}. Si ln x Î *, alors d'après ce qui précède e ln x = x Î  \ , absurde.
Donc ln x Î  \ .
Bilan :
x Î ¤*+ \ {1} Þ ln x Î  \ 
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