Modèle mathématique.

Trigonométrie
I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
x
1) Cosinus d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
cos x 
côté adjacent
hypoténuse
cos
;ABC 
AB
BC
cos
;ACB 
AC
BC
Il faut mettre la calculatrice en mode degré !
 Calculer cos 60°.
 Calculer à 0,001 près cos 30° (  0,866).
 Calculer L̂ tel que cos L̂ = 0,81.

Calculer IL à 0,1 près.
Dans NIL rectangle en I, on a : cos
;ILN 
IL
.
NL
IL
.
7
ILh= 7  cos 40°  5,4.
cosh40° 

Calculer
;USD à 0,01° près.
Dans USD rectangle en U, on a : cos
;USD
US

.
UD
4
cosh
;USD  .
;USD  63,61°.
9
 Calculer BL à 0,1 près.
Dans BOL rectangle en O, on a : cos
;BLO 
LO
.
BL
3
.
BL
3
BLh=
 4,67.
cos 50
cosh50° 
2) Sinus d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
côté opposé
hypoténuse
AB
;ACB 
.
BC
sin x 
sin
;ABC 
AC
.
BC
sin
3) Tangente d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
tan x 
côté opposé
côté adjacent
tan
;ABC 
AC
.
AB
tan
;ACB 
AB
.
AC
II) Relations entre sinus, cosinus et tangente
Soit x =
1) cos x =
AB
.
BC
(cos x)2 = cos2 x =
sin x =
AB 2
.
BC 2
;ABC.
AC
.
BC
(sin x)2 = sin2 x =
AC 2
.
BC 2
ABC étant un triangle rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore : AB2 + AC2 = BC2.
cos2 x + sin2 x =
AB 2 AC 2 AB 2  AC 2 BC 2
.



BC 2 BC 2
BC 2
BC 2
Donc cos2 x + sin2 x = 1 .
AC
2) tan x =
.
AB
cos x =
AB
; d'où : AB = BC cos x.
BC
Donc on a : tan x =
Donc tan x =
sin x =
AC
; d'où : AC = BC sin x.
BC
BC sin x sin x

.
BC cos x cos x
sin x
.
cos x
Remarque : dans un triangle ABC rectangle en A :
 AB < BC.
AB

< 1.
BC
 0 < cos x < 1.
3) Exemple : Soit x un angle aigu d'un triangle rectangle.
Sachant que cos x = 0,6 , calculer sin x et tan x sans calculer x.
 cos2 x + sin2 x = 1.
0,36 + sin2 x = 1.
sin2 x = 1 – 0,36 = 0,64 .
sin x =
 tan x =
tan x 
0,64 = 0,80 ; car sin x > 0.
sin x 0,8 8

 .
cos x 0,6 6
4
.
3
 AC < BC.
AC

< 1.
BC
 0 < sin x < 1.