PPCM - Colegio Francia

PPCM
FICHE 19
Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des multiples communs strictement
positifs de a et b n'est pas vide, puisqu'il contient au moins l'entier ab . Le plus petit multiple
(positif) commun de a et b s'appelle le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de a et de b et
se note PPCM (a ; b) ou parfois a  b .
Exemple Les multiples positifs de 24 sont 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, ...
Les multiples positifs de 36 sont : 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252,...
Le plus petit des multiples communs de 24 et 36 est 72.
Remarque
On peut prolonger la définition du PPCM de façon logique en posant
PGCD(a ; 0)  PGCD(0 ; a)  0 si a est un entier naturel. En particulier : PPCM (0 ; 0)  0 .
On peut étendre la définition à tous les entiers relatifs en posant :
PGCD(a ; b)  PGCD( a ; b ) .
Théorème
L'ensemble des multiples communs entre deux entiers a et b est l'ensemble des multiples de
leur PPCM.
Plus symboliquement, quel que soit l'entier c : a c et b c si et seulement si
PPCM (a ; b) c .
Démonstration
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD. a et b s'écrivent donc : a  da et
b  db , avec a et b premiers entre eux.
ab
 a b  ab   da b  . Tout multiple de m est un multiple
Considérons le nombre m 
d
commun de a et de b.
Réciproquement, si c est un multiple commun de a et de b. c  k1a  k1da  k 2b  k 2 db .
D'où : k1a  k 2b . a divise k 2b et a et b sont premiers entre eux, donc, d'après le
théorème de Gauss, a divise k 2 : k 2  k 3 a  d'où finalement c  k 2b  k3ab  k3m .
On voit donc que les multiples communs de a et b sont les multiples de m.
Ceci montre que m (qui est positif) est le PPCM de a et de b.
En résumé :
a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD, m leur PPCM.
On peut écrire :
ab
 a b  ab   da b  .
a  da et b  db , avec a et b premiers entre eux et m 
d
On a donc en particulier md  ab c'est-à-dire : PGCD(a ; b)  PPCM (a ; b)  ab .
Remarque Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, leur PPCM est égal à ab .
Propriétés
Soit a, b deux entiers. k un entier naturel non nul.
 PPCM (a ; b)  PPCM (b ; a)
 PPCM (ka ; kb)  k  PPCM (a ; b)
PPCM (a ; b)
a b
 Si a et b sont divisibles par k : PPCM ( ; ) 
k k
k
Autre méthode de calcul du PGCD et du PPCM
Soit deux entiers naturels n  p1a1 p 2 a 2  p k a k et m  p1b1 p 2 b2  p k bk décomposés en
utlisant les mêmes nombres premiers (quitte à compléter avec des exposants nuls).
Le PGCD de n et de m est l'entier p1c1 p 2 c 2  p k c k où ci est le plus petit des entiers ai et
bi pour tout i compris entre 1 et k.
Le PPCM de n et de m est l'entier p1d1 p 2 d 2  p k d k où d i est le plus grand des entiers ai et
bi pour tout i compris entre 1 et k.
Exemple 12 936  23  31  7 2  111  130 et 3 276  2 2  32  71  110  131 .
Le PGCD de 12 936 et 3 276 est donc 84  2 2  31  71  110  130 .
Le PPCM de 12 936 et 3 276 est donc 504 504  23  32  7 2  111  131 .
Ex 19.1 Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers pour en déduire le
PPCM :
9 et 12
40 et 50
150 et 441
980 et 42
40 et 63
35 280 et 59 400
Ex 19.2 Quel est le plus petit entier naturel n supérieur à 3 qui, divisé par 12 ou par 18, donne
le même reste 3 ?
Ex 19.3 En remarquant que 17  33  8  70  1 calculer le PPCM des nombres suivants :
17 et 8
17 et 70
33 et 8
33 et 70
Ex 19.4 Calculer le PGCD des nombres suivants pour en déduire le PPCM.
84 et 63
1 764 et 1 512
12 936 et 1 584
48 et 44
432 et 288
1 600 et 1 568
Ex 19.5 Calculer le PGCD et le PPCM des nombres non nuls a et b définis
par : a  5 n  2  5 n et b  7 n  2  7 n où n est un entier naturel.
Ex 19.6 Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels les systèmes :
 xy  1512
 xy  300
1. 
2. 
 PPCM ( x, y )  252
 PPCM ( x, y )  60
 x  y  276
 xy  16 128
3. 
4. 
PPCM ( x, y )  1 440
PGCD( x, y )  24
 xy  1 734
5. 
 PGCD( x, y )  17
Ex 19.7 Résoudre l'équation 2 PGCD(a ; b)  7 PPCM (a ; b)  111 où a et b désignent des
entiers naturels.
Ex 19.8 Trouver tous les couples (a ; b) d'entiers naturels ( a  b ) vérifiant :
2 PPCM (a ; b)  3PGCD(a ; b)  78 et tels que a ne divise pas b.
Ex 19.9 a) Quels sont les entiers naturels dont le carré est un diviseur de 1980 ?
b) Soit a et b des entiers naturels non nuls dont le PGCD est noté d et le PPCM est noté m.
Déterminer a et b sachant que m 2  5d 2  1980 .