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Chapitre
Fonction Dérivée
I. Rappels sur les fonctions
Exemple 1 :
Exemple 2 :
II. Rappels sur les droites
Propriété :
Toute droite non verticale admet pour équation y =mx+p où m est le coefficient de la
droite et p l’ordonnée à l’origine
Remarque :



Lorsque la droite monte, m est positif
Lorsque la droite descend, m est négatif
Lorsque la droite est constante, m est nul.
Une droite verticale a une pente infinie : son équation est x=k, où k est une constante.
III. Nombre et fonction dérivée
Définition :
La tangente à une courbe au point d’abscisse a est une droite qui passe pas A en la frôlant.
Définition : aspect graphique
On dit qu’une fonction f est dérivable en a si sa courbe admet une tangente non verticale au
point d’abscisse a.
On appelle nombre dérivé en a, noté f ‘(a), le coefficient de cette tangente.
Exemple :
Calculons f ‘(1) d’après l’exemple précédent :
f ‘(1) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 1 ; or cette tangente a pour
3
3
coefficient directeur donc f ‘(1) =
2
2
Définition :
On appelle fonction dérivé d’une fonction, la fonction notée f ‘, qui a un x associe le nombre
f ‘(x) défini précédemment.
Théorème :
Soit f une fonction définie et dérivable sur I.
 Si pour tout x  I, f ‘(x) >0, la fonction f est strictement croissante sur I.
 Si pour tout x  I, f ‘(x) <0, la fonction f est strictement décroissante sur I.
 Si pour tout x  I, f ‘(x) =0, la fonction f est strictement constante sur I.
IV. Formules de référence
Si f(x) est égal à
k
(nombre fixé)
x
ax +b (fonction affine)
x²
(fonction carré)
3
x
(fonction cube)
xn n entier naturel non nul
1
x
Alors f ‘ (x) =
0
1
a
2x
3x²
nx n-1
1
x²
Les fonctions suivantes sont définies là où elles sont dérivables :
Si f(x) est égal à
Alors f ‘ (x) =
k×u(x)
(nombre fixé)
k × u ‘ (x)
u(x) + v(x)
u ‘ (x) + v ‘(x)
u(x) × v(x)
u ‘(x) × v(x) + u(x) × v ‘(x)
1
v’(x)
v(x)
v²(x)
u(x)
u’(x)v(x)-u(x)v'(x)
v(x)
v²(x)
Faire beaucoup d’exemples
V. Compléments
Exercice d’application :