aire 2nde - AEFE Proche

GREM 1S
fonction dérivée et sens de variations
Compléter la proposition suivante :
Graphiquement, le nombre dérivée f’(a) représente le …………………………………de la
tangente à la courbe représentative de f au point …………………….a
PARTIE A : ACTIVITE
 Démarrer GeoGebra
 Créer la fonction f définie sur sur
par f  x  
1 3
x  4x  2 (dans le menu saisie)
3
 Créer le point A libre sur la courbe de f
 Créer la droite tangente en A à la courbe de f
 Afficher la pente de la tangente en A au moyen de l’onglet :
Appeler votre professeur pour une vérification de la construction faite
PARTIE B : Conjectures
 Faites varier la position de A
Pour x<-2. Quel est le sens de variation de f ? Quel est alors le signe de m ?
…………………………………………………………………………………………………………….
Cette remarque reste-t-elle vraie pour x>2 ?
…………………………………………………………………………………………………………….
-1F. SUCCAR
GREM 2011-2012
Pour quelles valeurs de x a-t-on m<0 ? Quel est alors le sens de variation de f ?
…………………………………………………………………………………………………………….
Quelle proposition pouvez vous formuler quand au lien entre :
signe de la fonction dérivée
et
sens de variation de la fonction ?
……………………………………………………………………………………………………………………
Cette conjecture est elle valable dans le cas de la fonction carrée ?
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..
PARTIE C : Démonstration
f est une fonction dérivable sur un intervalle I
Si f est strictement croissante sur un intervalle I alors pour tout x  I…………………….
En effet : soit a et a+h deux réels de I,
 Si h>0 alors a+h>a, f étant strictement croissante sur I on a f(a+h)…………..donc :
f (a  h )  f (a ).....0 et on conclut que :
f (a  h )  f (a )
………….
h
 Si h<0
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………...
De même si f est strictement ………………... sur un intervalle I alors pour tout x  I……
Réciproquement :
Si pour tout x de I f (x)  0 alors f est .…………………………………………………sur I.
Si pour tout x de I f (x)  0 alors f est ………………………………………………… sur I.
REMARQUE :…………………………………………………………………………
-2F. SUCCAR
GREM 2011-2012
APPLICATION : Dans chaque cas, dresser le tableau de variations de la fonction f
définie par :
1
1)
f(x)= x 
2)
f(x) = x 3 +1,5x 2 - 6x - 3 sur [-5 ;5]
x
sur ] 0 ; 7]
Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f.
f est un polynôme donc dérivable sur [-5 ;5] et pour tout réel x de [-5 ;5] on a :
f (x)  ................................... , donc f’ est une fonction polynôme du second degré qui
s’annule pour x1  ....... et x2  ....... .
Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f.
x
-5
5
Signe de f’(x)
0
0
Sens de
variation de f
-3F. SUCCAR
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