TES-Convexité

Exercice type bac : Fonction exponentielle, convexité
Exercice type bac : Fonction exponentielle, convexité
La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie
et deux fois dérivable sur l’ensemble des
nombres réels.
Elle passe par les points A 1 ; 4e0,5 ,B(0 ; 5) et C(5 ; 0).
Le point D(−3 ; 0) appartient à la tangente à Cf au point A.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur R.
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
D
-5
-4
-3
-2
La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie
et deux fois dérivable sur l’ensemble des
nombres réels.
Elle passe par les points A 1 ; 4e0,5 ,B(0 ; 5) et C(5 ; 0).
Le point D(−3 ; 0) appartient à la tangente à Cf au point A.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur R.
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
b
Cf
B
-1 -10
-2
-3
-4
C
1
2
3
4
5
D
6
x
-5
-4
-3
-2
A
b
-1 -10
-2
-3
-4
Partie A - Par lecture graphique
Partie A - Par lecture graphique
1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier.
1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier.
2. Que semble représenter le point A pour la courbe Cf ?
3. (a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I =
Cf
B
C
1
2
3
4
5
6
x
2. Que semble représenter le point A pour la courbe Cf ?
Z
3
f (x) dx unités
3. (a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I =
0
Z
3
f (x) dx unités
0
d’aires.
d’aires.
(b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
06I 69
10 6 I 6 12
20 6 I 6 24
(b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
06I 69
10 6 I 6 12
20 6 I 6 24
Partie B - Par le calcul
Partie B - Par le calcul
On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x + 5)e0,5x et f ′ (x) = (1, 5 − 0, 5x)e0,5x.
On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R.
On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x + 5)e0,5x et f ′ (x) = (1, 5 − 0, 5x)e0,5x.
On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R.
1. (a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0, 25(−x + 1)e0,5x .
1. (a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0, 25(−x + 1)e0,5x .
(b) Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe Cf .
(b) Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe Cf .
(c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.
(c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.
0,5x
2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F (x) = (−2x + 14)e
. On
admet que F est une primitive de f sur R.
Z 3
f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie
Calculer I =
0
au centième.
2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F (x) = (−2x + 14)e0,5x . On
admet que F est une primitive de f sur R.
Z 3
f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie
Calculer I =
0
au centième.