Rappels 1. Nombres complexes et impédances complexes 1.1. Un nombre complexe a 2 écritures possibles : Axe des imaginaires b a Z = a + jb = [ ; ] Axe des réels avec = et = tan-1 ( b / a ) si a > 0 = + tan-1 ( b / a ) si a < 0 a= b= La forme Z = a + jb est appelée forme algébrique La forme Z = [ ; ]est appelée forme trigonométrique A toute fonction sinusoïdale, on peut lui associer un nombre complexe : i ( t ) = Ieff 2 sin ( t + i ) I = [ Ieff, i ] Ex : si u ( t ) = 325 2 sin ( 100 t + 0,8 ) U = [ ; ] 1.2 Opération sur les complexes - addition et soustraction : on prendra la forme algébrique - multiplication et division : on prendra la forme trigonométrique Règles : - pour une multiplication, on les modules mais on les arguments - pour une division, on les modules mais on les arguments Page 1 Soit Z1 = 2 + 8j et Z2 = [ 5 ; 0,6 ] . Calculer Z3 = Z1 - Z2 et Z4 = Z1. Z2 Remarque : Toutes les lois vues en continu ( Loi mailles, Thévenin, etc… ) sont valables en complexes Erreur fréquente : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 ) Déterminer I1 = I2 + I3 . En déduire l'expression de i1 ( t ) ? i2 I1 eff = 7 A = HORREUR i1 i3 Page 2 1.3. Impédances complexes Z= U I résistance Déphasage tension / intensité ( en radian ) UR - IR = bobine UL - IL = condensateur UC Impédance ( en ohm ) ZR = ZL = ZC = Impédance complexes ZR = ZL = ZC U 1.4. Triangle des impédances pour un circuit série Pour un circuit RLC série, on a Zeq = tan = 2. Vecteurs de Fresnel Un circuit est dit linéaire lorsqu'il ne comporte que des éléments linéaires. Si ce circuit est alimenté par une tension u ( t ) de fréquence f alors tous les courants et toutes les tensions de ce circuit ont même fréquence. La représentation de Fresnel n'est utilisable que pour ce genre de circuit. A toute fonction sinusoïdale, on va lui associer un vecteur de Fresnel : Module : valeur efficace Argument : phase à l'origine Il faudra alors pour tracer un vecteur de Fresnel Choisir un axe de référence Choisir une échelle Choisir un sens positif Calculer la norme et l'argument de ce vecteur Exemple : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 ) Page 3 Construire les vecteurs de Fresnel associés à i2 ( t ) et à i3 ( t ). Quelle est l'expression de i1 ( t ) ? i2 i1 i3 3. Puissance 3.1 Définition i(t) u ( t ) = U2 sin ( t + u ) u(t) Z P = i ( t ) = I2 sin ( t + i ) puissance active ( W ) Q= S= puissance réactive ( V.A.R ) puissance apparente ( V.A ) avec = u - i Remarque : C'est qui crée le déphasage. Page 4 3.2 Triangle des puissances : S On a la relation S² = P² + Q² Q P Boucherot : Si on a 3 dipôles, PTotal = P1 + P2 + P3 . De même, on a QTotal = Q1 + Q2 + Q3 Erreur fréquente : On n'a pas le droit d'utiliser Boucherot avec la puissance apparente : Résistance bobine condensateur Déphasage tension / intensité ( en rad ) UR - IR = UL - IL = UC - IC = Puissance active ( W ) PR = PL = PC = UCeff. ICeff. cos ( -/2 ) PR = PL = PC = QR = UReff. IReff. sin 0 QL = ULeff. ILeff. sin ( / 2 ) QC = UCeff. ICeff. sin ( -/2 ) QR = QL = UL.IL = QC = -UC. IC = Puissance réactive ( V.A.R ) 4. Quelques rappels sur les appareils de mesure et sur l’utilisation de l’oscilloscope 4.1. Type de signal Valeurs moyennes et valeurs efficaces Valeurs moyennes Valeurs efficaces on calcule T ( période ) on calcule T ( période ) on calcule la surface comprise entre l’axe des temps et le signal on élève le signal au carré on calcule la surface comprise entre l’axe des temps et le nouveau signal Ueff = Carré U = S T S T Page 5 Type de signal Valeurs moyennes Valeurs efficaces Triangle Même méthode que ci dessus HORS PROGRAMME Sinusoïdal centré 0 Axe de symétrie Sinusoïdal décalé Ueff = U max 2 On décompose le signal ( cf 4.3 ) et on utilise la formule : U²eff = U²eff ondulation + U ² 4.2 Voltmètre Pour mesurer une valeur moyenne, on utilisera un numérique en position ou un voltmètre Pour mesurer une valeur efficace, on utilisera un numérique en position ou un voltmètre Rque : En position AC , un voltmètre indique Ueff = U ² U ²effondulation 4.3.Oscilloscope A l’aide d’un oscilloscope, on peut visualiser l’ »image » d’un courant à l’aide d’une résistance de valeur négligeable Ex : on veut visualiser à l’écran l’intensité traversant un moteur monophasé noté M. On visualise la tension u sur la voie 1. Préciser l’emplacement de la voie 2 et l’emplacement de la résistance de visualisation RV afin répondre au cahier des charges Y1 i u M Page 6 En DC, on a le signal réel, en mode AC ou alternatif on ne récupère que la composante alternative ( la valeur moyenne est supprimée ) Exemple : on visualise le signal noté u ci dessous en mode DC ( 1 V / Carreau ) u 1. dessiner ce qu’on visualiserait en mode AC sur document réponse ci-dessous 2. Calculer la valeur moyenne puis la valeur efficace de ce signal en utilisant la formule du tableau précédent réponses doc reponse : calcul de <u> : calcul de Ueff Autre exemple : calculer la valeur efficace d’un signal sinusoïdal variant entre –15V et +5V = + Page 7