Cours

Chapitre N4 - LES PUISSANCES
Rappel de 5ème
Le produit a  a se note a² et se lit « a au carré »
Le produit a  a  a se note a3 et se lit « a au cube »
Comment noterait-on les produits suivants ?
 a  a  a  a  a ? a5 qui se lit a puissance 5
 a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a ? a13 qui se lit a puissance 13
 Puissance d’un nombre relatif où l’exposant est un entier positif
Définition
Soient a un nombre relatif
n un entier positif non nul
an = a  a  a  …… a
produit de n facteurs
an se lit « a puissance n » ou bien « a exposant n »
Exemples
34 = 3  3  3  3 = 81
(-2)5 = (-2)  (-2)  (-2)  (-2) (-2) = -32
5 5 5 5  5  5 125
5

     
8 8 8 8  8  8 512
8
3
Attention au rôle des parenthèses !
(-2)4 = (-2)  (-2)  (-2)  (-2) = 16
- 24 = - 2  2  2  2 = - 16
donc (-2)4  - 24
7 7 7  7 49
7

    
5 5 5  5 25
5
2
7
7  7 49


5
5
5
72
7
donc   
5
5
2
2
Deux cas particuliers
 si n = 1 alors a1 = a
ex : 15,31 = 15,3
 si n = 0 alors
ex : 280 = 1 ; 6,740 = 1
a0 = 1
 Puissance d’un nombre relatif où l’exposant est un nombre négatif
Activité :
1) Pour les nombres écrits dans les cercles, quel est le procédé qui permet de passer d’un nombre à l’autre ?
2) Pour les nombres écrits dans les carrés, quel est le procédé qui permet de passer d’un exposant à l’autre ?
3) Comparer les nombres écrits dans un cercle et dans un carré reliés.
81
27
9
3
1
1
3
1
9
34
33
32
31
30
3-1
3-2
Définition
Soient a un nombre relatif non nul
n un entier non nul
a n
1
an
c’est-à-dire que l’écriture a - n désigne l’inverse de an .
Exemples
2 -3 =
1
23
(-6) -2 =
1
( 6 ) 2
1
1
1


3
2 2 2 8
2
donc
2 -3 =
donc
(-6) -2 =
1
1
1


2
(6)  (6) 36
(6)
Cas particulier
Si n = 1 alors a 1 
1 1

a1 a
donc a 1 est une autre écriture de l’inverse de a
 Puissances de 10
n est un entier positif :
10 n = 10  10  10  …… 10 = 1 0 ...... 0
n facteurs
10  n 
n zéros
1
1

 0,0......01
n
10
10......0
 Règles de calcul avec des puissances
n et p sont deux nombres entiers relatifs :
10  10 = 10
n
p
n+p
10 n
n p

10
10 p
( 10 n ) p = 10 n  p
 Ecriture scientifique
Propriété
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme a  10n où :
a est un nombre décimal (a peut donc aussi être un nombre entier)
n est un nombre entier relatif
Exemples
3 460 000 = 346  104 = 34,6  105 = 3,46  106 = 0,346  107
0,00782 = 782  10-5 = 7,82  10-3 = 0,782  10-2
Parmi toutes ces écritures, celles écrites en rouge sont des écritures spéciales, on les appelle
« écriture scientifique ».
Définition
L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal
est de la forme a  10n
dans laquelle a est un nombre décimal tel que 1  a  10
Exemples
 3,48  104 est l’écriture scientifique du nombre 34 800
 0,72  103 n’est pas une écriture scientifique (car 0,72 < 1)
 61,5  10-2 n’est pas une écriture scientifique (car 61  10)
Chapitre N4 - LES PUISSANCES
Rappel de 5ème
Le produit a  a se note ___ et se lit _______________
Le produit a  a  a se note ___ et se lit _______________
Comment noterait-on les produits suivants ?
 a  a  a  a  a ? ______________________________
 a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a ? ______________________________
 Puissance d’un nombre relatif où l’exposant est un entier positif
Définition
Soient a un nombre relatif
n un entier positif non nul
an se lit ______________________________________________________________
Exemples
34 = ______________________________
(-2)5 = ______________________________
3
5
   ______________________________
8
Attention au rôle des parenthèses !
(-2)4 = ______________________________
- 24 = ______________________________
donc _______________
2
7
   ______________________________
5
2
7
 ______________________________
5
donc _______________
Deux cas particuliers
 si n = 1 alors __________
ex : 15,31 = _____
 si n = 0 alors __________
ex : 280 = _____ ; 6,740 = _____
 Puissance d’un nombre relatif où l’exposant est un nombre négatif
Définition
Soient a un nombre relatif non nul
n un entier non nul
c’est-à-dire que l’écriture _______________________________________________
Exemples
2 -3 = _____
donc
2 -3 = ______________________________
(-6) -2 = _____
donc
(-6) -2 = ______________________________
Cas particulier
Si n = 1 alors a 1  __________
donc a 1 est une autre écriture de ____________________
 Puissances de 10
n est un entier positif :
10 n = 10  10  10  …… 10 = 1 0 ...... 0
n facteurs
10  n 
n zéros
1
1

 0,0......01
n
10
10......0
 Règles de calcul avec des puissances
n et p sont deux nombres entiers relatifs :
10  10
= 10
10
10
 10
( 10 )
= 10
 Ecriture scientifique
Propriété
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme ____________ où :
a est un nombre décimal (a peut donc aussi être un nombre entier)
n est un nombre entier relatif
Exemples
 3 460 000 = _________________________________________________________________
 0,00782 = ___________________________________________________________________

Parmi toutes ces écritures, celles écrites en rouge sont des écritures spéciales,
on les appelle « écriture scientifique ».
Définition
L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal
est de la forme ____________
dans laquelle a est un nombre décimal tel que ________________________
Exemples
 3,48  104 est l’écriture scientifique du nombre 34 800 car ____________
 0,72  103 n’est pas une écriture scientifique car ____________
 61,5  10-2 n’est pas une écriture scientifique car ____________
Activité ( §  )
1) Pour les nombres écrits dans les cercles, quel est le procédé qui permet de passer d’un nombre à l’autre ?
2) Pour les nombres écrits dans les carrés, quel est le procédé qui permet de passer d’un exposant à l’autre ?
3) Comparer les nombres écrits dans un cercle et dans un carré reliés.
81
27
9
34
33
32
3
3
3
3
Activité ( §  )
1) Pour les nombres écrits dans les cercles, quel est le procédé qui permet de passer d’un nombre à l’autre ?
2) Pour les nombres écrits dans les carrés, quel est le procédé qui permet de passer d’un exposant à l’autre ?
3) Comparer les nombres écrits dans un cercle et dans un carré reliés.
81
27
9
34
33
32
3
3
3
3
Activité ( §  )
1) Pour les nombres écrits dans les cercles, quel est le procédé qui permet de passer d’un nombre à l’autre ?
2) Pour les nombres écrits dans les carrés, quel est le procédé qui permet de passer d’un exposant à l’autre ?
3) Comparer les nombres écrits dans un cercle et dans un carré reliés.
81
27
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34
33
32
3
3
3
3
Activité ( §  )
1) Pour les nombres écrits dans les cercles, quel est le procédé qui permet de passer d’un nombre à l’autre ?
2) Pour les nombres écrits dans les carrés, quel est le procédé qui permet de passer d’un exposant à l’autre ?
3) Comparer les nombres écrits dans un cercle et dans un carré reliés.
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