Chapitre 2: Limites - Site de Éric Lacroix

Calcul différentiel / 201-NYA-05
3.2 Dérivation des fonctions trigonométriques
Rappels : Trigonométrie dans le triangle rectangle
 : angle formé par les côtés b et h
a : longueur du côté a (opposé à l’angle )
b : longueur du côté b (adjacent à l’angle )
h : longueur du côté h (hypoténuse)
sin  a

cos  b
1) sin  
a
h
2) cos  
b
h
3) tg  
4) cot  
cos  b

sin  a
5) sec  
1
h

cos  b
6) cosec  
2
2
2
1
h

sin  a
2
2
2
sin  + cos  = 1 ; sec  = tg  + 1 ; cosec  = cotg  + 1
Identités importantes :
 Voir le rappel et autres identités aux pages 167-168 du volume.
Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre
entre deux rayons consécutifs mesure 1 degré (1). Cependant, dans ce cours, nous
travaillerons plutôt en radians (rad). On sait que la circonférence d’un cercle de
rayon r correspond à une longueur d’arc L = 2 r. 2 rad est l’angle en radian.
Le cas général s’écrit donc : L =  r. L’angle en radian est alors
.
Ainsi, dans un cercle de rayon égal à r,  = 1 rad est un angle qui intercepte un arc
de longueur 1 r. Aussi,  = 2 rad est un angle qui intercepte un arc de longueur 2 r.
Aussi, comme l’aire d’un cercle de rayon r est r2, qu’on peut écrire
où 2 est l’angle  en radian, on a qu’un secteur d’angle  a une aire de

.
Conversions (radians  degrés)
On se base sur le fait que
Convertir 120 en radians.

Chapitre 3


Convertir
en degrés.


1
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Rappel sur le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique étant un cercle centré à l’origine et de rayon = 1, on a :
(x, y) = (cos, sin)
1
y

x
( x ,
y
)
√
( ⁄ )
( ⁄ )
√
( ⁄ )
⁄
√ ⁄
√
⁄
⁄
√
√
√
√
( ⁄ )
( ⁄ )
⁄
⁄
√
√
√
√
√
√
√
( ⁄ )
⁄
√
√
√
⁄
 Voir la vidéo Cercle trigonométrique sur mon site.
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Théorème 3.6 Continuité des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions trigonométriques f ( x)  sin x et g ( x)  cos x , sont continues en x = a,  a  .
 Voir le tracé des fonctions trigonométriques à la page 13 de l’aide-mémoire.
Nous nous appuyons sur le théorème 1.5 (p. 46) pour calculer les limites suivantes.
(
Comme
(
)
et
sont continues,
)
Comme
et
continues, et que
on conclut que le produit de ces fonctions ,
, est aussi continue.
sont
, on conclut que le
quotient de ces fonctions ,
, est aussi continue.
Il faut se méfier des fonctions tangente, cotangente, secante et cosecante. Elles s’expriment par un quotient
dont le dénominateur peut égaler zéro ! Elles sont donc discontinues pour certaines valeurs d’angle.
Chapitre 3
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 Voir l’exemple 3.35 (p. 166).
Théorème 3.7 du sandwich (p. 169)
Ce théorème nous permet de démontrer que :
 Voir démonstration (théorème 3.8), pages 170 et 171.
Chapitre 3
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Section 3.2.5 Formules de dérivation des fonctions trigonométriques
Dérivée d’une fonction sinus
d
(sin x)  cos x
dx
Dérivée d’une fonction cosinus
d
(cos x)   sin x
dx
(preuve p.173 du volume)
(preuve p.175 du volume)
=
2
2
Note : La notation sin x indique que c’est sin x qui est élevée au carré, c’est-à-dire : sin x = (sin x)
2
Exercices : Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) f ( x ) 
b) v (t )  t 3  cos 2 5t
sin 3 x
x
2
Réponse :
Réponse :
Autres formules de dérivation de fonctions trigonométriques
1)
d
( tg x)  sec2 x
dx
2)
d
(cotg x)  cosec2 x
dx
3)
d
(sec x)  sec x tg x
dx
4)
d
(cosec x)  cosec x cotg x
dx
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(preuves p.179 du volume)
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Exercice : Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
 x
4
2
a) f ( x)  x  tg 
Réponse :
b) g ( x ) 
sec 2 x
1 x
Réponse :
c)
Réponse :

d ) g (t )  ln 4 cot g (3t 2  1)

Réponse :
 Voir les exemples 3.39 à 3.45 et 3.47 à 3.49.
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