Petit coup de main pour réussir

Soutien 3ème
Petit coup de main pour réussir
les calculs d’angles à l’aide de cos, sin et tan.
( Corrigé )
Dans le triangle ABC, rectangle en B
C
- l’hypoténuse est [AC]
(c’est le plus long des trois côtés.)
- le côté opposé à l’angle A est [BC]
(c’est celui qui est en face A et qui ne
contient pas le sommet A.)
A
- le côté adjacent à l’angle A est [AB]
(c’est celui qui contient le sommet A
et qui n’est pas l’hypoténuse.)
- [AB] est le côté opposé à l’angle C
- [BC] est le côté adjacent à l’angle C
Par définition on a :
AB
cos A =
AC
côté adjacent à A
hypoténuse
BC
AC
côté opposé à A
BC
tan A =
AB
côté opposé à A
sin A =
hypoténuse
côté adjacent à A
Astuce : On peut retrouver ces 3 formules grâce au mot :« CAHSOHTOA ».
CAH se traduisant par Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
SOH se traduisant par Sinus = Opposé / Hypoténuse
TOA se traduisant par Tangente = Opposé / Adjacent
B
Soutien 3ème
Exercice n°1 : Compléter :
- Dans le triangle EFG rectangle en G
cos E =
EG
EF
sin E =
FG
EF
F
E
tan E =
FG
EG
H
G
I
- Dans le triangle EIH rectangle en H
cos E =
EH
EI
sin E =
IH
EI
tan E =
IH
EH
Exercice n°2 : Compléter :
C
A
1- Le triangle ABC est rectangle en A
3
Pour l’angle B, on connaît les longueurs
de l’hypoténuse [BC] et du côté
adjacent [AB].
3
AB
On peut donc utiliser :
cos B =
=
6
BC
6
B
donc cos B =
1
2
Pour déterminer la mesure de l’angle B, on tape cos-1(1 : 2) sur la calculatrice
et on obtient :
B = 60°
Il ne faut pas confondre le cosinus de l’angle B qui est le nombre
1
2
et la mesure de l’angle B qui vaut 60°.
1
Et il faut donc éviter d’écrire « cos B = = 60° ».
2
F
2- Le triangle EFG est rectangle en E
Pour l’angle G, on connaît les longueurs
de l’hypoténuse [EG] et du côté
opposé [EF].
EF
On peut donc utiliser :
sin G =
FG
7
3
E
donc sin G =
G
3
7
(on n’arrondi pas !)
Pour déterminer la mesure de l’angle G, on tape sin-1(3 : 7) sur la calculatrice
et on obtient :
G  46° (arrondi au degré.)
Soutien 3ème
M
3- Le triangle MNO est rectangle en O
Pour l’angle M, on connaît les longueurs
du côté opposé [ON] et du côté
adjacent [MO].
ON
4
On peut donc utiliser : tan M =
donc tan M =
OM
3
3
O
4
N
(on n’arrondi pas !)
Pour déterminer la mesure de l’angle M, on tape tan-1 (4 : 3) sur la calculatrice
M  53,1° (arrondi au dixième de degré.)
et on obtient :
Dans un devoir, il est inutile de tout expliquer comme précédemment.
Il suffit de rédiger comme dans l’exercice n°3 suivant :
Exercice n°3 :
On considère le triangle RST ci-contre.
21
S
Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle R.
T
27
R
Dans le triangle RST rectangle en T
on a :
sin R =
ST
SR
donc
sin R =
21 7
=
27
9
(On écrit la formule avec les lettres de la figure)
(On remplace les longueurs par leurs valeurs
et on simplifie la fraction si c’est possible.)
et donc R  51°
Exercice n°4 :
(Il faut penser à séparer sin R et R et il est inutile
d’indiquer ce que l’on a tapé sur la calculatrice.)
On considère le triangle EFG ci-dessous.
Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle E.
Dans le triangle EFG rectangle en G,
on a : tan E =
40 4 2
FG
donc tan E =
 
60 6 3
EG
F
40
G
donc E  33,7°
(arrondi au dixième)
E
60
Soutien 3ème
Exercice n°5 :
On considère le triangle ABC ci-dessous.
Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle A.
Dans le triangle ABC rectangle en B,
B
AB
10 5
on a : cos A =
donc cos A =

AC
24 12
donc A  65,4°
Exercice n°6 :
C
10
24
A
(arrondi au dixième)
On considère le triangle IJK ci-dessous.
Déterminer la mesure, au degré près, de l’angle K.
Dans le triangle IJK rectangle en J,
on a : sin K =
IJ
donc
IK
donc K  26°
sin K =
K
9,9
4,4 44 4


9,9 99 9
I
J
4,4
(arrondi au degré)
Exercice n°7 : On considère la figure ci-contre.
B
D
3
A
Déterminer, au dixième de degré près, la mesure
des angles ABC, ACD, BDC, et CBD .
9
Dans le triangle ABC rectangle en A,
on a : tan ABC =
5
AC
donc tan ABC =
3
AB
5
C
et donc ABC  59°
Dans le triangle ACD rectangle en A,
on a : cos ACD =
5
AC
donc cos ACD =
9
CD
et donc ACD  56°
BDC = ADC . Dans le triangle ACD rectangle en A,
on a : sin BDC =
5
AC
donc sin BDC =
9
CD
et donc BDC  34°
CBD n’étant pas dans un triangle rectangle, on ne peut pas utiliser cos, sin ou
tan. Mais CBD et CBA sont supplémentaires donc CBD = 180° - 59°
donc CBD = 121°
Soutien 3ème