DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Seconde

– Lycée René Cassin d’Arpajon –
DEVOIR COMMUN
DE MATHEMATIQUES
Seconde
Lundi 10 février 2014
Durée de l’épreuve : 2 heures
Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 2 à 5.
La calculatrice est autorisée.
L’ensemble du sujet est à rendre avec la copie.
NOM:.............................................
Prénom:..............................................
1
Exercice n°1 : (3,5 points)
Partie A : Un oiseau plonge dans l'eau depuis une falaise pour se nourrir de poissons. La trajectoire décrite par
l'oiseau, en plongeant, peut être représentée dans un plan vertical muni d'un repère orthonormé (O, I, J) par la
courbe représentativeC d’une fonction h où h(x) est la hauteur de l'oiseau par rapport au niveau de la mer et x
est la distance, à l'horizontale, séparant l’oiseau de la falaise avec x ∈ [0 ; 8]. Dans cette modélisation, l’axe des
abscisses représente le niveau de la mer, l’axe des ordonnées représente la falaise et l’origine O du repère
représente le pied de la falaise. Les distances sont données en mètres.
1. a. Déterminer graphiquement l’image de 3 par la fonction h.
b. Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de 3 par la fonction h (on donnera des valeurs
approchées à 10-1 près si nécessaire).
c. Donner graphiquement la valeur h(0).
2. Résoudre graphiquement l’inéquation h(x) < 0 sur [0 ; 8].
3. En vous aidant du graphique :
a. Donner le tableau de variations de la fonction h sur [0 ; 8].
b. Donner le tableau de signes de la fonction h sur [0 ; 8].
Partie B : On donne dans cette partie l’expression algébrique de la fonction h qui modélise la trajectoire de
l’oiseau : h( x)=x 2−8 x +7 .
Déterminer par le calcul :
a. La hauteur où l’oiseau a commencé son plongeon.
b. La profondeur maximale à laquelle il plonge, sachant qu’elle est atteinte à 4 mètres de la falaise.
2
Exercice n°2 : (2,5 points)
Voici le tableau de variation d’une fonction f :
Valeurs de x
–∞
-3
7
+∞
8
Variations de f
-2
Cocher la réponse exacte pour chaque ligne du tableau suivant. Toute réponse fausse est pénalisée de 0,25 point.
Vrai
Faux
On ne peut pas savoir
f (8)=−3
f (0)⩾ f (6)
La courbe de f passe par le point de coordonnées (7 ; -2)
f est strictement décroissante sur [-2 ; 8]
f est strictement croissante sur [7 ; + ∞[
Exercice n°3 : (6 points)
Soit E, F et K trois points dans un repère orthonormé
(O, I, J). On donne la figure ci-contre.
1. Lire les coordonnées de E, F et K.
2. a. Déterminer par le calcul les longueurs EK et FK.
b. En déduire que K appartient à la médiatrice de
[EF].
3. a. Calculer la longueur EF.
b. En déduire la nature exacte du triangle EFK.
4. a. Déterminer l' équation de la droite (KE).
b. Montrer que la droite parallèle à (KE) et passant
par F, notée (d), admet pour équation y = 4x + 8.
c. Placer le point L(-1 ; 4) sur la figure.
d. Montrer que le point L est sur la droite (d).
5.a. Déterminer les coordonnées du milieu des
segments [EF] et [LK].
b. En déduire la nature exacte du quadrilatère EKFL.
3
Exercice n°4 : (4 points)
Le graphique ci-dessous représente la série des 45 notes obtenues au bac blanc de mathématiques dans un lycée :
1. A l’aide du graphique , compléter le tableau ci-dessous :
Note
Effectif
Effectif
cumulé
croissant
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2. Déterminer en justifiant par un calcul l’étendue, la moyenne et la médiane de cette série. On arrondira au
dixième si nécessaire.
3. Compléter les phrases suivantes en justifiant :
Au moins 25% des élèves ont eu au moins .............../20.
Au moins 75% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à ............./20.
4. Quel est le pourcentage d’élèves ayant eu moins de 7 ?
5. Le professeur correcteur fait rattraper le devoir à un élève absent. Donner, en justifiant la réponse, la note mise
à cette copie sachant que la moyenne du lycée au bac blanc est de 12.
4
Exercice n°5 : (4 points)
On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Déclaration des variables : X, A réels
Début algorithme
Affecter à X un nombre choisi par l’utilisateur
Affecter X1 à A
Affecter A² à A
Affecter A9 à A
Afficher A
Fin algorithme
1. Compléter le tableau suivant :
Entrée
Algorithme 2
Déclaration des variables : X, A, B, C réels
Début algorithme
Affecter à X un nombre choisi par l’utilisateur
Affecter X4 à A
Affecter X+2 à B
Affecter AB à C
Afficher C
Fin algorithme
Sortie
Algorithme 1
Sortie
Algorithme 2
5
2
1/2
2. Comparer les résultats obtenus dans le tableau. Quelle conjecture peut-on faire ?
3. a. Dans l’algorithme 1, exprimer le résultat A en fonction de X.
b. Dans l’algorithme 2, exprimer le résultat C en fonction de X.
c. Prouver la conjecture obtenue à la question 2.
5