DS2

Suite TS
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
k et p sont des entiers naturels
U est un réel
Entrée :
Demander la valeur de p
Traitement :
Affecter à U la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à U la valeur 0,5U + 0,5(k – 1) – 1,5
Fin de pour
Sortie :
Afficher U
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (Un) ?
4. Soit (Vn) la suite définie pour tout entier naturel n par
𝑉𝑛 = 0,1𝑈𝑛 − 0,1𝑛 + 0,5
Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 0,5 et exprimer
alors Vn en fonction de n.
5. En déduire que, pour tout entier naturel n,
𝑈𝑛 = 10 × 0,5𝑛 + 𝑛 − 5
6. Déterminer alors la limite de la suite (Un).
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des
variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie?
Partie B
Soit (U)n la suite définie par son premier terme U0 = 5 et, pour tout entier
naturel n par
𝑈𝑛+1 = 0,5𝑈𝑛 + 0,5𝑛 − 1,5
1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes
les valeurs de Un pour n variant de 1 à p.
2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les
résultats suivants :
n
Un
1
1
2
-0,5
3
-0,75
4
-0,375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (Un) est
décroissante?
Justifier.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou
égal à 3, Un+1 > Un.
1
Suite TS
Correction
Partie A
On obtient en sortie : − 0,5.
Partie B
1. Algorithme modifié :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
U est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à U la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à U la valeur 0,5U + 0,5(k – 1) – 1,5
Afficher U
Fin pour
2. Puisque U4 > U3 la suite (Un) n’est pas décroissante, du moins pas
avant le rang 4.
3. Initialisation On vient de voir que U4 > U3 : la relation est vraie pour
n=3
Hérédité On suppose qu’il existe un naturel p tel que l’hypothèse de
récurrence soit vraie u rang p. Montrons que l’hypothèse est vraie au
rang n+1.
D’où 0,5Up+1 > 0,5Up ; D’autre part : p + 1 > p ⟹ 0,5(p + 1) > 0,5p d’où
par somme de ces deux dernières inégalités :
0,5Up+1 + 0,5(p + 1) > 0,5Up + 0,5p et en ajoutant -1,5 à chaque membre,
on obtient Up+2 > Up+1 : la relation est vraie au rang p + 1.
On a donc démontré que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3,
Un+1 > Un ce qui montre que la suite (Un) est croissante à partir du rang 4.
4. Pour tout naturel n, on a :
𝑉𝑛+1 = 0,1𝑈𝑛+1 − 0,1(𝑛 + 1) + 0,5
= 0,1(0,5𝑈𝑛 + 0,5𝑛 − 1,5) − 0,1𝑛 + 0,4
= 0,5(0,1𝑈𝑛 − 0,1𝑛 + 0,5)
2
= 0,5𝑉𝑛
La suite (Vn) est donc géométrique de raison 0,5.
Le premier terme est : V0 = 1.
On a donc pour tout naturel n,
1 𝑛
𝑛
𝑉𝑛 = 0,5 = ( )
2
5. On a
1
(𝑉 + 0,1𝑛 − 0,5)
0,1 𝑛
= 10(𝑉𝑛 + 0,1𝑛 − 0,5)
𝑉𝑛 = 0,1𝑈𝑛 − 0,1𝑛 + 0,5 ⟺ 𝑈𝑛 =
6. Comme −1 < 0,5 <1, on a
lim 𝑂, 5𝑛 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim 𝑈𝑛 = +∞
𝑛→+∞
La suite (Un) ne converge pas.
𝑛→+∞