2de 1-3-4-5 DST n°5 de Mathématiques Sujet S 19/05/2015 Durée : 2 heures. Calculatrice autorisée. Le barème est approximatif. Il sera tenu compte dans la notation, de la présentation et de la rédaction. Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées. Exercice 1 (4 points) Soit [AB] un segment de longueur 10cm, et M un point de ce segment. On construit les deux carrés AMFE et MBHG (éventuellement réduits à un point). Il s'agit d'étudier la somme A des deux aires de ces carrés et de répondre à ces questions : est-elle constante? sinon dans quel intervalle varie-t-elle? On pose 𝒙 la longueur du segment [AM]. 1) A quel ensemble appartient 𝒙? 2) Montrer que la somme A des deux aires en fonction de x vaut 50 + 2(𝑥 − 5)². 3) On pose pour tout x appartenant à [0 ; 10], 𝑓(𝑥) = 50 + 2(𝑥 − 5)2 . Dresser son tableau de variation. 4) En déduire le minimum et le maximum de l’aire A. Exercice 2 (2 points) Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaang, située au Canada, à proximité d’industries chimiques, il est né, antre 1 999 et 2 003, 132 enfants dont 46 garçons. On considère ce groupe de 132 enfants comme un échantillon extrait de l’ensemble des enfants nés dans la réserve depuis l’implantation des industries chimiques. La proportion de garçons sur l’ensemble des naissances dans le monde est souvent considérée comme égale à 0, 51. Au vu de l’échantillon, peut-on considérer, au seuil de 95%, que la proportion des garçons parmi les naissances dans cette réserve est anormale ? Exercice 3 Soit f et g deux fonctions telles que :𝑓: 𝑥 ↦ (5 points) 4 1−𝑥 𝑒𝑡 𝑔: 𝑥 ↦ 4 𝑥²+1 . 1. Donner l’ensemble de définition de f et de g. 2. Etudier le sens de variation de g sur] −∞ ; 0[ . 3. Sur le graphique donné en annexe, un élève a tracé les courbes des deux fonctions étudiées ci-dessus. Indiquer clairement quelle est chaque courbe, sur le graphique. 4. Résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥). 6. Trouver par le calcul le résultat de la question 5. b) Exercice 4 (4 points) PARTIE A L'algorithme ci-contre simule la répétition d'une expérience aléatoire. 1) On fait fonctionner l'algorithme, et la variable R prend successivement les valeurs: 3,5,1,6,2,3,4,5,1,2. Quelle valeur est affichée en sortie de l'algorithme? 2) Préciser ce que fait cet algorithme. Variables: S, I, R: nombres entiers Initialisation Affecter à S la valeur 0 Traitement pour I allant de 1 à 10 faire Affecter à R un entier aléatoire a compris entre 1 et 6 Si R=5 Alors affecter à S la valeur a S+1 Fin si Fin pour Sortie Afficher S 3) Quelles modifications doit-on apporter à cet algorithme pour qu'il simule 300 lancers d'un dé cubique et qu'il affiche la fréquence des numéros strictement inférieurs à 5 obtenus? Vous recopierez sur la copie l'algorithme modifié. PARTIE B On lance un dé cubique 300 fois. On obtient 178 fois un chiffre strictement inférieur à 5. 1) Justifiez que la proportion de chiffres strictement inférieurs à 5, pour un dé parfaitement 2 équilibré est . 3 2) Peut-on dire, au seuil de 0,95 que ce dé est équilibré? Exercice 5 (5 points) ABCDEFGH est le cube donné en annexe. I et J sont les centres respectifs des faces BCGF et DCGH. 1) a- Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. b- En déduire, en justifiant, la construction de la droite d, intersection des plans (ABC) et (AIJ) 2) Construire, en justifiant, le point K intersection de la droite d et du plan (DCG). 3) Construire, en justifiant, l’intersection des plans (DCG) et (AIJ). 4) Le cube a pour coté 10 cm. Calculer l'aire du triangle ABC ; puis le volume du tétraèdre ABCI. ( on donnera la valeur exacte, puis arrondie au cm 3 ). FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) NOM, Prénom:........................................................... Exercice 3 Exercice 5 2de 1-3-4-5 DST n°5 de Mathématiques Sujet ES 19/05/2015 Durée : 2 heures. Calculatrice autorisée. Le barème est approximatif. Il sera tenu compte dans la notation, de la présentation et de la rédaction. Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées. Exercice 1 (5 points) a) Résoudre les équations et inéquations suivantes en n’oubliant de préciser s’il y a des valeurs interdites: 2𝑥 2 + 9𝑥 − 5 = 0 ; 𝑏) Le nombre 𝜑 = 2 − 12𝑥 3𝑥 > 1 − 4𝑥 2+𝑥 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0 ; ; 1 ≤0 16𝑥² − 40𝑥 + 25 1 + √5 1 est appelé le nombre d′ or. Démontrer que 𝜑 = 1 + 2 𝜑 Exercice 2 (2 points) Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaang, située au Canada,à proximité d’industries chimiques, il est né, antre 1 999 et 2 003, 134 enfants dont 48 garçons. On considère ce groupe de 134 enfants comme un échantillon extrait de l’ensemble des enfants nés dans la réserve depuis l’implantation des industries chimiques. La proportion de garçons sur l’ensemble des naissances dans le monde est souvent considérée comme égale à 0, 51. Au vu de l’échantillon, peut-on considérer, au seuil de 95%, que la proportion des garçons parmi les naissances dans cette réserve est anormale ? Exercice 3 (5 points) 4 4 Soit f et g deux fonctions telles que :𝑓: 𝑥 ↦ 1−𝑥 𝑒𝑡 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑥²+1 . 4. Donner l’ensemble de définition de f et de g. 5. Etudier le sens de variation de g sur] −∞ ; 0[ . 6. Sur le graphique donné en annexe, un élève a tracé les courbes des deux fonctions étudiées ci-dessus. Indiquer clairement quelle est chaque courbe, sur le graphique. 4. Résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥). 6. Trouver par le calcul le résultat de la question 5. b) Exercice 4 (4 points) Soit [AB] un segment de longueur 10cm, et M un point de ce segment. On construit les deux carrés AMFE et MBHG (éventuellement réduits à un point). Il s'agit d'étudier la somme A des deux aires de ces carrés et de répondre à ces questions : est-elle constante? sinon dans quel intervalle varie-t-elle? On pose x la longueur du segment [AM]. 5) A quel ensemble appartient x? 6) Montrer que la somme A des deux aires en fonction de x vaut 50 + 2(𝑥 − 5)². 7) On pose pour tout x appartenant à [0 ; 10], 𝑓(𝑥) = 50 + 2(𝑥 − 5)². Dresser son tableau de variation. 8) En déduire le minimum et le maximum de l’aire A. Exercice 5 (4 points) PARTIE A L'algorithme ci-contre simule la répétition d'une expérience aléatoire. 1) On fait fonctionner l'algorithme, et la variable R prend successivement les valeurs: 3,5,1,6,2,3,4,5,1,2. Quelle valeur est affichée en sortie de l'algorithme? 2) Préciser ce que fait cet algorithme. Variables: S, I, R: nombres entiers Initialisation Affecter à S la valeur 0 Traitement pour I allant de 1 à 10 faire Affecter à R un entier aléatoire a compris entre 1 et 6 Si R=5 Alors affecter à S la valeur a S+1 Fin si Fin pour Sortie Afficher S 3) Quelles modifications doit-on apporter à cet algorithme pour qu'il simule 300 lancers d'un dé cubique et qu'il affiche la fréquence des numéros strictement inférieurs à 5 obtenus? Vous recopierez sur la copie l'algorithme modifié. PARTIE B On lance un dé cubique 300 fois. On obtient 175 fois un chiffre strictement inférieur à 5. 1) Justifiez que la proportion de chiffres strictement inférieurs à 5, pour un dé parfaitement 2 équilibré est . 3 2) Peut-on dire, au seuil de 0,95 que ce dé est équilibré? FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) NOM, Prénom:........................................................... Exercice 3