notions simples

Chapitre 1
Probabilités : notions simples
1.1 Le vocabulaire des événements
1.1.1 Généralités
Définition 1 Une expérience aléatoire E est due au hasard, on ne peut prédire ses résultats et elle est renouvelable.
Définition 2 L’univers fini de l’expérience aléatoire est l’ensemble de ses résultats ou issues. On le note Ω.
Définition 3 Un événement est une partie de l’univers. Il est noté avec une majuscule : A, B , C ... Un événement est inclus dans
l’univers : A ⊂ Ω
Définition 4 Un événement élémentaire ne contient qu’un seul élément. Ω est la réunion de tous ses événements élémentaires.
Définition 5 Ω est l’événement certain : il est toujours réalisé. On note ∅ (ensemble vide) l’événement impossible : il n’est jamais
réalisé.
1.1.2 Intersection, réunion, contraire
Définition 6 L’intersection de deux événements A et B est l’événement noté : A ∩ B constitué des éléments communs à A et à B . On
le note aussi "A et B ".
Définition 7 La réunion de deux événements A ou B est l’événement noté : A ∪ B constitué des éléments de A ou de B . On le note
aussi "A ou B ".
Définition 8 Le contraire d’un événement A est le complémentaire de A dans Ω. Il est constitué des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A. On le note Ā. On a : A ∩ Ā = ∅ et : A ∪ Ā = Ω
Définition 9 Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés en même temps , s’ils ont une intersection
vide : A ∩ B = ∅. Par exemple A et Ā sont incompatibles.
1.2 Probabilités
1.2.1 Fréquence d’un événement
Soit A un événement lié à une expérience aléatoire E . On répète n fois cette expérience et on note n A le nombre de réalisations
nA
de A lors de ces n répétitions de E . La fréquence de réalisation de A est : f n (A) =
n
Si n devient de plus en plus grand, f n (A) tend à se stabiliser autour d’une valeur fixe p.
Ce nombre p est la probabilité de l’événement A et se note : P (A)
1
CHAPITRE 1. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES
2
1.2.2 Probabilité
Soit E une expérience aléatoire, d’univers Ω et A un événement. La probabilité de A est notée P (A) et cette application vérifie les
propriétés :
0 É P (A) É 1
P (Ω) = 1
Si A ∩ B = ∅, alors : P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )
1.2.3 Equiprobabilité
Définition 10 On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires de Ω ont la même probabilité. Dans ce cas,
1
la probabilité d’un événement élémentaire est : , n est le nombre d’éléments de l’univers et on a :
n
P (A) =
nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de Ω
On note aussi :
P (A) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
1.2.4 Calcul des probabilités
Théorème 1 Pour tout événement A :
P ( Ā) = 1 − P (A)
Pour tout événement A et tout événement B :
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
1.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
1.3.1 Exemple
Un traiteur propose un choix de 10 menus différents : 2 menus à 15 e ; 5 menus à 18 e et 3 menus à 21 e . Une expérience aléatoire consiste pour un client à choisir au hasard un menu parmi les 10. Il y a équiprobabilité et chaque menu a une probabilité
1
de
d’être choisi. L’univers Ω de l’expérience est l’ensemble des 10 menus.
10
A chaque menu associons son prix, on définit ainsi une application de Ω dans l’ensemble {15; 18; 21} des prix. Cette application
notée X est une VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE.
On peut alors envisager divers événements :
A : "le menu coûte 15 e ", A est un ensemble de 2 éléments : il est noté (X = 15).
B : "Le menu coûte 25 e ", B est l’ensemble vide, on pourrait le noter (X = 25).
C : "Le menu coûte strictement moins de 21 e ", C sera noté : (X < 21).
D : "Le menu coûte plus de 18 e ", D sera noté : (X Ê 18).
1.3.2 Définition
X étant une variable aléatoire et k un réel, (X = k) est l’événement de l’univers Ω constitué des événements élémentaires associés au nombre k par l’application X .
La probabilité de cet événement est notée : P (X = k).
3
Exemple : (X = 21) est l’événement constitué des 3 menus à 21 e . De plus : P (X = 21) =
10
Exercice : Calculer : P (X = 15) ; P (X < 21) ; P (X = 25) et P (X Ê 18)
1.4. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE, VARIANCE ET ÉCART TYPE
3
1.3.3 Loi de probabilité
L’ensemble des valeurs réelles prises par la variable aléatoire X est noté X (Ω) : c’est l’univers image. Dans l’exemple des prix des
menus : X (Ω) = {15; 18; 21}. On calcule les probabilités des 3 événements élémentaires de X (Ω) et on note les résultats dans un
tableau, on construit ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire X . On l’appelle aussi : Fonction de distribution.
k
15
18
21
P (X = k)
1
5
1
2
3
10
On remarque que :
X
P (X = k) = 1
car les 3 événements (X = 15) ; (X = 18) et (X = 21) sont disjoints et que leur réunion est l’univers.
Définition : La loi de probabilité de la variable X est donc la fonction f qui à tout réel k associe la probabilité de l’événement
(X = k) : f : k 7→ f (k) = P (X = k).
1.4 Espérance mathématique, Variance et écart type
1.4.1 Espérance mathématique E (X )
L’espérance est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probabilité. On a donc :
E (X ) =
Dans l’exemple :
E (X ) = 15 ×
X
k × P (X = k)
1
1
3
183
+ 18 × + 21 ×
=
= 18, 3
5
2
10
10
E (X ) correspond au prix moyen d’un menu quand l’expérience aléatoire du choix d’un menu au hasard est renouvelée un très
grand nombre de fois.
1.4.2 Propriétés de E (X )
Si E (X ) = 0, on dit que la variable aléatoire X est centrée.
Si une nouvelle variable aléatoire Y est définie par Y = aX + b, on admet que :
E (Y ) = aE (X ) + b
.
1.4.3 Variance et écart type
Variance V (X )
On appelle variance de X le nombre V (X ) défini par :
V (X ) =
X
(k − E (X ))2 × P (X = k)
CHAPITRE 1. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES
4
Cette formule étant d’usage difficile, on lui préfère la suivante qui sera admise :
V (X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2
Dans l’exemple :
V (X ) = 152 ×
1
1
3
+ 182 × + 212 ×
− (18, 3)2 = 339, 3 − 334.89 = 4, 41
5
2
10
La variance mesure la dispersion des valeurs de X autour de l’espérance E (X ). On dit que la variance mesure le risque.
Ecart type
On appelle écart type de X le nombre noté σ X ou σ(X ) égal à la racine carrée de la variance :
σX =
Dans l’exemple :
σX =
p
V (X )
p
4, 41 = 2, 1
Propriétés
Quand l’espérance de X est nulle et que l’écart type est égal à 1, on dit que la variable aléatoire X est centrée et réduite.
Si une nouvelle variable aléatoire Y est définie par Y = aX + b, on admet que :
V (Y ) = a 2 V (X )
Théorème
Si X est une variable aléatoire d’expérance mathématique E (X ) = m et d’écart type non nul σ, alors la variable aléatoire X ∗ =
X −m
σ
est centrée et réduite.
Preuve :
E (X ∗ ) = E (
X −m
1
m
1
m m m
) = E ( X − ) = E (X ) −
=
−
=0
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
V (X ∗ ) = V (
X −m
1
m
1
σ2
) = V ( X − ) = 2 V (X ) = 2 = 1
σ
σ
σ
σ
σ
La variable X ∗ est donc centrée et réduite : ce résultat sera utile dans le cours sur la Loi Normale ou de Laplace-Gauss.
Utilité économique
Si on a à choisir entre plusieurs projets dont les résultats sont des variables aléatoires, on choisit l’espérance de gain maximale
ou l’espérance de coût minimale et la variance minimale car elle représente le risque.
1.5 Exercices
Exercice 1
On interroge 100 clients d’un hypermarché pour connaître leurs avis sur deux produits génériques A et B. Les résultats sont les
suivants : tous les clients ont répondu, 20 clients sont satisfaits des deux produits, 35 clients sont satisfaits du produit A et 27
clients ne sont satisfaits que du produit B.
1. Compléter le tableau suivant :
1.5. EXERCICES
5
Nombre de personnes
Satisfaites de A
Non satisfaites de A
Total
Satisfaites de B
Non satisfaites de B
Total
100
2. On interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, calculer, en justifiant la réponse,la probabilité que ce client
soit :
a. satisfait de B ;
b. satisfait de A seulement ;
c. non satisfait des deux produits ;
d. satisfait d’un seul produit ;
e. satisfait d’au moins un produit.
(on notera : p 1 , p 2 , p 3 , p 4 et p 5 les probabilités)
Exercice 2 (BAC STT CGI Nlle Calédonie 2002)
Un restaurant sert 300 couverts par service, en proposant un menu à 16 e et un menu à 24 e . Le gérant offre à chacun de ses
clients soit un café, soit un apéritif. 60 % des clients ont choisi un café, les autres un apéritif. La moitié des clients ont choisi un
menu à 24 e avec un café. Parmi ceux qui choisissent le menu à 24 e , 75 % ont choisi un café.
1. Réaliser un tableau donnant tous les cas possibles et les nombres de clients correspondants.
2. On choisit au hasard un client parmi les 300. On considère les événements :
• A : "le client a choisi un menu à 16 e "
• B : "le client a choisi un apéritif"
a. Définir l’événement : A ∩ B .
b. Calculer : P (A), P (B ) et P (A ∩ B ).
3. Un client a choisi un café. Déterminer la probabilité que ce client ait choisi un menu à 24 e .
Exercice 3
Dans un jeu de hasard, un joueur mise 1 e sur le numero 5. Le jeu consiste à lancer deux dés. Si le numéro 5 est obtenu sur
chaque dé, le joueur reçoit 4 e . S’il est obtenu sur un seul dé, le joueur reçoit 3 e . S’il n’est obtenu sur aucun dé, le joueur perd
sa mise.
1. Quelles sont les probabilités de ces 3 événements ?
2. On note X la variable aléatoire qui mesure le gain algébrique du joueur. Quelles sont les valeurs prises par X ? Quelle est
son espérance ? Le jeu est-il équitable ? Quelle est la variance de X ?
Exercice 4
Une enquête statistique portant sur la clientèle d’un restaurant a montré que la variable aléatoire X mesurant le nombre de
desserts commandés par une table de 4 personnes vérifiait la loi de probabilité suivante :
CHAPITRE 1. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES
6
k
0
1
2
3
4
P (X = k)
0, 10
0, 15
0, 20
0, 35
0, 20
1. Calculer l’espérance de la variable X et donner une interprétation du résultat.
2. Calculer la variance de X .
Exercice 5 (BTS)
Un restaurant utilise deux types de fours A et B . Les fabricants ont indiqué dans les tableaux suivants les lois de probabilité des
variables X A et X B donnant les nombres de jours de panne par an de chaque type de four. Dans ces tableaux x i est le nombre de
jours de panne et P (X = x i ) la probabilité correspondante.
Four A
xi
0
1
2
3
4
5
P (X A = x i )
0, 2
0, 3
0, 2
0, 15
0, 10
0, 05
Four B
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P (X B = x i )
0, 25
0, 32
0, 16
0, 10
0, 08
0, 05
0, 02
0, 01
0, 01
1. Calculer dans les deux cas l’espérance et la variance. Quel est le type de four le plus fiable ?
2. Le coût par jour de panne est de 100 e . Calculer l’espérance de coût dû aux pannes de chaque type de four notées E (C A )
et E (C B ).
3. En supposant les variables X A et X B indépendantes, calculer l’espérance et l’écart-type du coût dû aux pannes de l’ensemble des deux fours.
Chapitre 2
Analyse combinatoire et dénombrements
2.1 Notions d’analyse combinatoire
2.1.1 Principe multiplicatif
Définition
L’ensemble noté E × F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F . Dans la notion de couple, il y a la notion d’ordre :
l’élément x de E est avant l’élément y de F .
Exemple
E = {1, 2, 3} et F = {a}. Alors E × F = {(1, a); (2, a); (3, a)}. Attention : en général : E × F 6= F × E .
Propriété
Si E a n éléments, si F a p éléments, alors E ×F a np éléments. Exemple : la combinaison d’un cadenas est constituée d’une lettre
suivie d’un chiffre, il y a 26 × 10 = 260 combinaisons distinctes possibles.
Remarque
Si E = F , alors on note E 2 = E × E . Si E a n éléments, E 2 en a n 2 .
Généralisation
Si E 1 , E 2 , E 3 . . . . . . E p sont des ensembles connus, on appelle p−uplet tout élément noté (x 1 , x 2 , x 3 , . . . . . . x p ) de E 1 ×E 2 ×E 3 . . . . . . E p ,
c’est à dire toute suite ordonnée de p éléments, chaque élément x i étant pris dans E i . Dans ces conditions, si E i à n i éléments, le
nombre de p−uplets obtenus est : n 1 × n 2 × n 3 . . . n p .
Beaucoup d’applications pratiques sont fondées sur la reformulation de ce résultat : c’est le Principe Multiplicatif :
• p décisions successives avec exactement n i choix possibles à la i ème étape produisent au total n 1 .n 2 .n 3 . . . . n p résultats distincts.
• Une épreuve aléatoire constituée de p épreuves ayant respectivement n 1 , n 2 , n 2 , . . . ,n p issues comporte au total n 1 .n 2 .n 3 . . . . n p
issues.
2.1.2 Exemples
Exemple 1
Le code d’accès d’un coffre est constitué de 3 lettres suivies de 5 chiffres : il y a 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 263 × 105 =
1 757 600 000 codes possibles !
7
CHAPITRE 2. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS
8
Exemple 2
Supposons qu’un serveur de restaurant dispose de 3 vestes, 6 pantalons et 7 chemises, il peut constituer 3 × 6 × 7 = 126 tenues
différentes.
2.2 Arrangements
2.2.1 Arrangements avec répétition
Définition
Soit un ensemble E = {a 1 , a 2 , . . . , a n }, on se propose de tirer au hasard et avec remise un élément de E et de recommencer p fois.
On obtient un p−uplet qui est donc une suite ordonnée de p éléments pris parmi n. C’est un arrangement avec répétition de p
éléments parmi n. On dit "avec répétition" car l’élément choisi est remis et donc peut être choisi à nouveau.
Remarque
Un arrangement avec répétition est aussi appelé : p-liste.
Propriété
Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments parmi n est n p .
Exemple
Au loto sportif, si le nombre de paris porte sur 15 matchs, le choix par match est G, N ou P : il y a 315 = 14 348 907 grilles possibles,
c’est le nombre d’arrangements de 15 éléments parmi 3. Une grille est une suite ordonnée de 15 éléments pris parmi 3.
Conclusion
Un arrangement avec répétition correspond à p tirages successifs avec remise
d’un élément dans un ensemble à n éléments : il y a n p arrangements possibles
au total et l’ordre intervient.
2.2.2 Arrangements sans répétition
Définition
Dans ce cas, l’ordre intervient encore mais le tirage de l’élément est sans remise et évidemment p É n. Au premier tirage, il y a n
choix, au deuxième il y a (n − 1) choix, . . .. . .au p ième tirage, il y a (n − p + 1) choix. Un arrangement sans répétition de p éléments
parmi n est une suite ordonnée de p éléments distincts.
Propriété
Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n est :
p
A n = n(n − 1)(n − 2) . . . . . . (n − p + 1)
Exemple
Le nombre de quintés dans l’ordre dans une course de 21 chevaux est : 21 × 20 × 19 × 18 × 17 = 2 441 880.
2.3. COMBINAISONS
9
2.2.3 Notation factorielle
On note :
n! = 1 × 2 × 3 × 4 . . . · · · × n
Par convention : 0! = 1 et 1! = 1.
On a donc si p É n :
p
An =
n!
(n − p)!
Exemple
Pour un jeu TV, il y a le choix entre 15 chansons : on demande d’en classer 5 en les numérotant de 1 à 5. Combien de classements
15!
possibles ? réponse : A 515 =
= 15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360 360.
10!
Conclusion
Un arrangement sans répétition correspond à p tirages successifs sans remise
p
d’un élément dans un ensemble à n éléments : il y a A n arrangements possibles
au total et l’ordre intervient.
2.2.4 Permutation
Définition
On appelle permutation d’un ensemble à n éléments toute suite ordonnée de n éléments distincts. C’est donc un arrangement
sans répétition de n éléments parmi n.
Propriété
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est :
A nn = n!
Exemple
Pour un jeu TV, il y a le choix entre 15 chansons : on demande de les classer en les numérotant de 1 à 15. Combien de classements
possibles ? réponse : 15! = nombre très grand de l’ordre de 1300 milliards.
2.3 Combinaisons
2.3.1 Définition
On appelle combinaison de p éléments d’un ensemble E à n éléments (n Ê p) toute partie de E à p éléments. Ici l’ordre des
éléments n’intervient pas : cela correspond au tirage simultané de p éléments dans un ensemble à n éléments.
2.3.2 Propriéte admise
Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est :
à !
p
n!
n
= Cn =
p!(n − p)!
p
CHAPITRE 2. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS
10
Remarque
à !
n
Dans un ensemble à n éléments, il y a
façons d’en choisir p, sans ordre.
p
Exemple
Au loto national il y a
à !
à !
49
49
49!
= 13 983 816.
grilles à 6 numéros soit :
=
6! × 43!
6
6
Conclusion
Une combinaison correspond
à ! à un tirage simultané de p éléments dans un enn
semble à n éléments : il y a
combinaisons possibles au total et l’ordre n’interp
vient pas.
2.4 Synthèse
critères
Ï
éléments répétés
éléments distincts
avec ordre
utiliser les p-listes
utiliser les arrangements
sans ordre
hors programme
utiliser les combinaisons
H
2.5 Exercices
Exercice 1
Dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur le podium, il y a trois médaillés (or-argent-bronze). Combiem de podiums possibles peut-on obtenir ?
Exercice 2
Combien peut-on attribuer de numéros de téléphones portables (numéros à 10 chiffres commençant par 06) ?
Quand on utilise plusieurs combinaisons, faut-il additionner ou multiplier ?
Cela dépend de la situation :
• Si les différentes étapes sont reliées par un "et", on multiplie.
• Si les différentes étapes sont reliées par un "ou", on additionne.
Exercice 3
On remplit une grille de loto (encore !). Calculer la probabilité d’avoir exactement 3 numéros gagnants. (Sans tenir compte du
complémentaire).
Exercice 4
Un restaurateur dispose de dix serveurs, cinq garçons et cinq filles, parmi lesquels il doit choisir les six serveurs qui seront en
salle, les autres resteront au bar.
2.5. EXERCICES
11
1. Calculer le nombre d’équipes de six serveurs que le restaurateur peut former.
2. Quelle est la probabilité d’avoir une équipe composée de trois filles et trois garçons ?
3. Parmi ces serveurs deux ne veulent absolument pas travailler ensemble en salle. Quelle est la probabilité de voir leur voeu
réalisé ?
Exercice 5
Une entreprise comprend 35 cadres dont 24 hommes. On en choisit 3 représentants pour former un comité de délégués à des
postes indifférenciés.
1. Combien de comités peut-on former ?
2. Même question si le comité doit comprendre 2 hommes et 1 femme.
3. Même question si le comité doit comprendre 3 personnes de même sexe.
4. Même question si le comité doit comprendre au moins 1 femme.
5. Les représentants doivent désormais occuper 3 postes différenciés : président, vice-président et secrétaire.
a. Combien de comités peut-on former ?
b. Même question si le président est un homme obligatoirement.
c. Même question si le président est une femme obligatoirement.
12
CHAPITRE 2. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS
Chapitre 3
LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON
3.1 Epreuve et loi de Bernoulli
3.1.1 Epreuve de Bernoulli
On considère une population ou univers Ω dans laquelle on analyse un caractère donné C . La proportion des individus ayant
ce caractère est p (avec 0 É p É 1). On choisit au hasard un individu dans cette population et on note X la variable aléatoire qui
associe à cet individu la valeur 1 si le caractère C est observé, 0 sinon. Ce tirage d’un individu au hasard dans Ω ainsi défini est
une épreuve de Bernoulli de paramètre p encore appelée :"épreuve succès-echec". La probabilité de succès est : p , celle de
l’échec est : q = 1 − p.
3.1.2 Loi de Bernoulli
La loi de la variable X est la suivante :
L’éspérance de X est :
k
0
1
E (X ) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p
La variance de X est :
P (X = k)
1−p
p
V (X ) = 02 × (1 − p) + 12 × p − p 2 = p − p 2 = p(1 − p)
3.1.3 Exemple
Une statistique de la clientèle d’un restaurant montre que la proportion des clients, le samedi soir, choisissant le menu le plus
1
cher est d’environ . Une épreuve consiste à choisir au hasard un client entrant un samedi soir donné dans ce restaurant : c’est
3
1
une épreuve de Bernoulli de paramètre p = et la variable aléatoire X qui associe 1 si le client pris au hasard a choisi le menu le
3
p
1
1
2
2
1
V (X ) = (1 − ) =
σ(X ) =
.
plus cher et 0 sinon, vérifie : E (X ) =
3
3
3
9
3
3.2 Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
3.2.1 Définition
On appelle schéma de Bernoulli une suite de n épreuves indépendantes de Bernoulli de même paramètre p. L’indépendance est
fondamentale. Par exemple : une suite de n tirages d’une boule dans une urne avec remise après chaque tirage.
13
CHAPITRE 3. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON
14
3.2.2 Loi Binomiale
Soit une suite de n épreuves de Bernoulli avec pour chaque épreuve la même probabilité de succès p et d’échec q = 1 − p.
Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre k de succès lors de cette suite de n épreuves. On a : 0 É k É n.
On admet que la probabilité d’obtenir k succès lors de ces n épreuves est donnée par :
P (X = k) =Cn p (1 − p)
k
k
n−k
à !
n k
ou P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
On dit que X suit une Loi Binomiale de paramètres n et p. On note : X suit B(n, p) ou encore : X
B(n, p)
3.2.3 Exemple
a. Une urne contient 5 jetons dont 3 verts et 2 bleus. On tire avec remise successivement 10 jetons et on note X la variable
aléatoire qui donne le nombre de jetons verts obtenus lors des 10 tirages indépendants. X suit la loi : B(10; 0, 6). Calculer la
probabilité d’obtenir exactement 4 jetons verts en 10 tirages :
4
P (X = 4) =C10 0, 64 × 0, 46 ≈ 0, 11
exercice : Déterminer la loi de probabilité de X
b. On reprend l’énoncé 1.3 et on considère un groupe de 4 clients entrant dans le restaurant. Les choix de menus de ces clients
sont indépendants. Déterminer la loi de probabilité
de la variable X qui mesure le nombre de clients ayant choisi le menu le
µ
¶
1
plus cher dans ce groupe. X suit la loi : B 4; . On obtient :
3
3
Par exemple : P (X = 3) =C4
k
0
1
2
3
4
P (X = k)
0, 1975
0, 3951
0, 2963
0, 0988
0, 0123
µ ¶3 µ ¶4−3
1
2
×
≈ 0, 0988
3
3
3.2.4 Espérance et Variance
Si la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on admet que :
E (X ) = np
V (X ) = np(1 − p) = npq
p
σ X = npq
exercice : Vérifier ces relations sur l’exemple précédent.
3.2.5 Modèle binomial
La loi binomiale exige une succession d’une même épreuve aléatoire dont on connait la probabilité de succès p identique à
chaque étape. C’est le cas des tirages successifs avec remise et la loi donne alors la probabilité du nombre de succès obtenus.
Chaque épreuve est indépendante des autres.
Cependant dans la pratique, les tirages s’opèrent souvent sans remise : par exemple si on contrôle la production d’une usine en
prélevant des échantillons. Dans ce cas on admet que si les échantillons sont de taille faible par rapport à la population totale,
les tirages sont indépendants : c’est le cas si la population de départ a une taille 10 fois supérieure à celle d’un échantillon. La loi
binomiale peut alors s’appliquer.
3.3. LOI DE POISSON OU LOI DES ÉVÉNEMENTS RARES
15
Remarque : La loi binomiale a un inconvénient : sa difficulté de calcul. Dans certains cas, on peut approcher cette loi par d’autres
lois plus simples d’utilisation. C’est le cas de la Loi de Poisson.
3.3 Loi de Poisson ou loi des événements rares
3.3.1 Définition
Une variable aléatoire X qui donne le nombre de réalisations d’un événement donné dans un intervalle de temps ou d’espace
( exemples : files d’attente, nombre de voitures à un péage en 1 heure, nombre de pannes d’un appareil en un an, défauts des
pieces d’une production en un temps donné, nombre de réclamations à l’accueil d’un hôtel en un jour...) suit dans certaines
conditions la Loi de Poisson de paramètre λ notée : P (λ) définie par :
pour tout k ∈ N
P (X = k) =
λk −λ
e
k!
E (x) = λ
V (X ) = λ
p
σX = λ
On note :
X suit la loi P (λ)
X
P (λ)
Le processus de Poisson est une approximation de la Loi Binomiale dans les cas pratiques suivants :
❶ Dans les cas où les conditions de la loi binomiale sont réunies : répétitions indépendantes d’une même épreuve succèséchec et où la probabilité du cas favorable est faible. Futur indépendant du passé.
❷ Si n est grand et p voisin de 0. (Loi des événements rares)
❸ si n Ê 30 et p É 0, 1 et np < 15 (conditions admises)
❹ Dans le cas d’une distribution statistique d’une variable X ayant ses valeurs faibles avec des fréquences élevées et vérifiant
E (X ) = V (X ). voir énoncé corrigé.
3.4 BTS corrigé
3.4.1 Enoncé
Les gérants d’un hôtel décident d’offir une nuit d’hôtel ou son remboursement à tout client ayant émis une réclamation et rempli
un questionnaire sur l’amélioration de la qualité. L’analyse de l’année 2003 écoulée a donné les résultats :
Xi
0
1
2
3
4
Ni
199
125
30
10
1
Dans ce tableau :
X i désigne le nombre de réclamations et de questionnaires remplis.
Ni est le nombre de jours de l’année 2003 ayant connu X i réclamations.
L’hôtel a ouvert 365 jours en 2003. Le coût d’une nuit offerte est 30 e .
CHAPITRE 3. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON
16
a. Calculer combien de réclamations avec questionnaires remplis ont été émises en 2003. Déterminer quel aurait été le coût du
remboursement s’il avait été appliqué en 2003.
b. On désigne par X la variable représentant le nombre de réclamations avec questionnaires remplis par jour. Calculer la moyenne
E (X ) et la variance V (X ).
c. On suppose qu’en 2004 la variable X donnant le nombre de réclamations avec questionnaires remplis suit une loi de probabilité dont les valeurs sont celles du tableau obtenu en 2003. Expliquer pourquoi la distribution de X peut être approchée par
une loi de Poisson. Indiquer la valeur du paramètre λ de cette loi.
d. Calculer la probabilité des événements suivants :
A "N’avoir en 2004 aucune réclamation par jour"
B "Avoir en 2004 au plus 2 réclamations par jour"
3.4.2 Corrigé
a.
X
X i Ni = 0 × 199 + 1 × 125 + 2 × 30 + 3 × 10 + 4 × 1 = 219 soit un coût de : 219 × 30 = 39420 e .
P
X i Ni 219
=
= 0, 60
b. E (X ) =
N
365
02 × 199 + 12 × 125 + 22 × 30 + 32 × 10 + 42 × 1
− (0, 6)2 = 0, 601 ≈ 0, 6
365
c. X suit une loi d’événements rares (les effectifs Ni élevés correspondent aux valeurs X i faibles ).
De plus E (X ) = V (X ). On peut approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ = 0, 6.
0, 60 −0,6
e
= e −0,6 ≈ 0, 5488
d. A :P (X = 0) =
0!
B :P (X É 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) ≈ 0, 8781
Ces derniers résultats s’obtiennent directement avec la loi ou avec la table de la loi de Poisson.
et V (X ) =
3.5 Exercices et BTS sur la Loi Binomiale et la Loi de Poisson
3.5.1 BTS 2000
Une étude a montré qu’en moyenne 100 consultations d’un site hôtelier sur Internet entraînent 2 réservations fermes et que la
variable aléatoire X qui mesure le nombre mensuel de réservations suit une Loi de Poisson. La première année le nombre moyen
mensuel de consultations est estimé à 250.
1) Quel est le paramètre de la Loi de Poisson suivie par la variable aléatoire X ?
2) En utilisant la table de la Loi de Poison, déterminer la probabilté pour un mois donné que le nombre de réservations fermes
soit :
a) de 8 réservations.
b) de 12 réservations.
c) compris entre 8 (inclus) et 12 (inclus) réservations.
3.5.2 Corrigé BTS 2000
1) Le paramètre λ de la Loi de Poisson suivie par X est λ = np soit λ = 250 ×
tion de la loi sont réunies : n = 250 Ê 30 ; p = 0, 02 É 0, 1 et np = 5 < 15.
2) En utilisant la table ou la formule : P (X = k) = e −5 ×
2
= 5. On remarque que les conditions d’applica100
5k
, on obtient :
k!
58
≈ 0, 0653
8!
512
b) P (X = 12) = e −5 ×
≈ 0, 0034
12 !
c) Les événements (X = 8) ... (X = 12) sont disjoints, d’où :
P (8 É X É 12) = P (X = 8)+P (X = 9)+P (X = 10)+P (X = 11)+P (X = 12) ≈ 0, 0653+0, 0363+0, 0181+0, 0082+0, 0034 ≈ 0, 1313
a) P (X = 8) = e −5 ×
3.5. EXERCICES ET BTS SUR LA LOI BINOMIALE ET LA LOI DE POISSON
17
3.5.3 Arbre et Loi Binomiale
Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à 2 tentatives : un premier service suivi, s’il n’a pas réussi, d’un
deuxième service. La probabilité pour que le premier service soit réussi est de 0, 5. Si le joueur échoue au premier service, la
probabilité pour qu’il réussisse au deuxième service est de 0, 7. Quand le joueur échoue aux deux services, il y a double faute
sinon, on dit que la mise en jeu est réussie.
1) Déteminer à l’aide d’un arbre la probabilité pour que, sur une mise enjeu, le joueur fasse une double faute.
2) En déduire que la probabilité pour que la mise en jeu soit réussie est égale à 0, 85.
3) Le joueur effectue une série de 10 mises en jeu successives et indépendantes. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre
de mises en jeu réussies lors de cette série.
a) Justifier que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse 8 mises en jeu.
c) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse au moins 9 mises en jeu.
d) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse au maximum 8 mises en jeu.
3.5.4 Corrigé
1) Notons R l’événement "la mise en jeu est réussie" et DF l’événement "il y a double faute". On peut construire l’arbre suivant :
0,3
0,5
Le principe multiplicatif (ou les probabilités conditionnelles)
montre que : P (DF ) = 0, 5 × 0, 3 = 0, 15
F
0,7
0,5
F
R
2) On en déduit que P (R) = 1−0, 15 = 0, 85. On peut aussi écrire :
P (R) = 0, 5 + 0, 5 × 0, 7 = 0, 5 + 0, 35 = 0, 85
R
3) a) Il s’agit d’une suite de 10 épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès égale à 0, 85. X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 85.
à !
10
b) P (X = 8) =
× (0, 85)8 × (0, 15)2 =≈ 0, 276
8
à !
à !
10
10
9
1
c) P (X Ê 9) = P (X = 9) + P (X = 10) =
× (0, 85) × (0, 15) +
× (0, 85)10 × (0, 15)0 =≈ 0, 347 + 0, 197 ≈ 0, 544
9
10
d) L’événement (X É 8) est le contraire de l’événemént (X Ê 9). On a donc P (X É 8) = 1 − P (X Ê 9) ≈ 1 − 0, 544 = 0, 456.
3.5.5 Loi Binomiale et Loi de Poisson (non corrigé)
Une société vend des mini-bars à une chaîne d’hôtels comprenant chacun 150 chambres chacune équipée d’un mini-bar. Afin de
contrôler la qualité de sa production, elle demande à 100 de ces hôtels de lui indiquer le nombre de mini-bars tombés en panne
dans l’année écoulée. On obtient le tableau suivant :
x i nombre mini-bars en panne
0
1
2
3
4
5
6
7
n i nombre d’hôtels
16
30
27
16
7
3
1
0
On suppose dans la suite que les pannes sont indépendantes et que le comportement des mini-bars est homogène dans le temps.
18
CHAPITRE 3. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON
1) Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de mini-bars qui tombent en panne par hôtel en un an. Calculer la moyenne
(ou espérance) E (X ) et l’écart-type σ X .
2) Montrer que X suit une Loi Binomiale dont on précisera les paramètres.
3) Déterminer la probabilité pour qu’au cours d’une année dans un hôtel, un mini-bar exactement tombe en panne.
4) Montrer que la Loi Binomiale suivie par X peut être approximée par une Loi de Poisson dont on donnera le paramètre λ.
5) A l’aide de cette loi, déterminer la probabilité pour qu’au cours d’une année dans un hôtel, un mini-bar exactement tombe
en panne. Comparer avec le résultat précédent.
6) Déterminer la probabilité pour que strictement plus d’un mini-bar tombe en panne dans un hôtel au cours d’une année.
Chapitre 4
LOI NORMALE
La Loi Binomiale et la Loi de Poisson sont des lois discrètes : la variable aléatoire étudiée X ne prend que des valeurs isolées
(entières) et en nombre fini. Dans le cas où X prend toute valeur d’un intervalle ou de R, on dit que X est une Variable Aléatoire
Continue s’il existe une fonction f définie sur R vérifiant les conditions suivantes :
■ f est positive
Z+∞
f (x) d x = 1
■
−∞
■ Pour tout réel t , P (X É t ) =
Zt
f (x) d x
−∞
La probabilité pour tout t : P (X = t ) est nulle car X prend une infinité de valeurs. On ne peut définir que les probabilité telles que :
P (X É t ) ou P (X Ê t ) ou encore P (b É X É a) si b < a. (voir les exemples). Dans ce cas, on dit que f est la densité de probabilité
de la variable aléatoire X . Le calcul d’une probabilité est alors celui d’une aire, celle comprise entre la courbe de la fonction f ,
l’axe des abscisses et des droites verticales bien choisies.
4.1 Loi Normale
4.1.1 Définition
X est une variable aléatoire d’espérance m (sa moyenne) et d’écart-type σ. Dans de nombreux cas, la fréquence d’apparition
des valeurs de X se fait de façon symétrique par rapport à m et elle est plus grande pour les valeurs proches de m. La courbe
représentative de f est une courbe "en cloche" dite de "Laplace-Gauss". On dit que X suit une Loi Normale de paramètres m et
σ. On note : X
N (m, σ).
La densité de probabilité est une fonction compliquée : pour mémoire :
1 ³ x − m ´2
−
1
σ
f (x) = p e 2
σ 2π
On démontre que f vérifie les conditions d’une densité de probabilité. Pour ne pas avoir à utiliser cette fonction dans chaque
X −m
cas, on introduit une nouvelle variable aléatoire T définie par : T =
. Cette variable T est dite centrée et réduite. T suit
σ
alors la loi normale N (0, 1) de paramètres m = 0 et σ = 1. Ce qui permet de n’avoir qu’une densité de probabilité à utiliser définie
par :
1
− t2
1
f (t ) = p e 2
2π
19
CHAPITRE 4. LOI NORMALE
20
Cette fonction est représentée ci-dessous :
y
0, 4
P(T É t) = Π(t)
O
t
t
L’aire hachurée est calculée et tabulée et représente la probabilité : P (T É t ). On la note Π(t ). Les valeurs sont dans la table jointe.
Par exemple : P (T É 1) = Π(1) = 0, 8413
4.1.2 Propriétés de la Loi Normale centrée et réduite N (0, 1)
Les propriétés résultent de la symétrie de la courbe et des calculs d’aires (intégrales). Elles sont admises :
y
0, 4
P(T É t) = Π(t)
O
t
t
y
0, 4
P(T É −t) = 1 − Π(t)
−t
O
t
4.2. ENONCÉS
21
y
0, 4
P(−t É T É t) = Π(t) − Π(−t) = 2 Π(t) − 1
−t
O
t
t
y
0, 4
P(a É T É b) = Π(b) − Π(a)
a
O
b
t
On a aussi :
P (T > t ) = 1 − P (T É t ) = 1 − Π(t )
4.1.3 Conditions d’application de la Loi Normale
Cette loi intervient dans l’étude de phénomènes (variables) aléatoires continus soumis à de multiples causes indépendantes dont
aucune n’est prépondérante et dont la répartition des valeurs s’étale autour de leur moyenne de façon sensiblement symétrique.
La loi Normale est aussi une approximation de la Loi Binomiale B(n, p) lorsque n est grand et que p et q = 1 − p ne sont pas
voisins de 0. On précise les conditions d’approximation (selon les auteurs) :
• p pas trop petit : p > 0, 1 et n grand : n Ê 30 avec np(1 − p) > 3
• Selon d’autres auteurs : n Ê 30 et np Ê 15 et np(1 − p) Ê 5.
p
p
Dans ce cas, B(n, p) peut être remplacée par N (m, σ) avec : E (X ) = m = np ; V (X ) = np(1 − p) et σ = V (X ) = np(1 − p)
4.2 Enoncés
4.2.1 Exemple direct
Un lycée a 600 élèves et leur taille X en cm suit une Loi Normale de moyenne m = 170 cm et d’écart-type σ = 10 cm.
1. Exprimer la variable centrée réduite en fonction de X . En déduire X en fonction de T .
2. Calculer P (X É m)
3. Calculer P (160 É X É 180) et en déduire le nombre d’élèves dont la taille est comprise entre 160 cm et 180 cm.
CHAPITRE 4. LOI NORMALE
22
4.2.2 Corrigé
X − 170
ce qui donne : X − 170 = 10 T soit : X = 10 T + 170
10
¶
µ
170 − 170
ou encore P (T É 0). La table donne : P (T É 0) =
2. P (X É m) = P (X É 170) soit en utilisant la variable T : P T É
10
Π(0) = 0, 50.
Il y a 50 % des élèves dont la taille est inférieure à m = 170 cm.
1. T =
3. De la même façon : µ
¶
160 − 170
180 − 170
P (160 É X É 180) = P
= P (−1 É T É 1) = Π(1) − Π(−1) = 2 Π(1) − 1 = 2 × 0, 8413 − 1 = 0, 6826
ÉT É
10
10
68, 26 % des élèves soit environ 410 élèves ont une taille entre 160 cm et 180 cm.
4.2.3 BTS 2003
Afin d’organiser une réception sur invitations dans un restaurant, le gérant dispose des statistiques d’autres établissements ayant
déjà organisé ce type de manifestations. Ces données recensent le nombre de cartons d’invitation envoyés (valables pour 2 personnes), le nombre de cartons récupérés à l’entrée lors de l’arrivée des invités (nombre d’invitations honorées) et le nombre de
convives présents. On obtient le tableau :
Invitations envoyées
Invitations honorées
Convives présents
1620
502
851
1. Calculer le pourcentage des cartons d’invitation honorés par les convives (arrondir à l’entier les plus proche).
2. Calculer le nombre moyen de convives présents par carton d’invitation honoré (arrondir à la première décimale).
On estime que les fréquences obtenues seront les probabilités d’une réception à venir. On envoie 500 cartons d’invitation. Le
nombre d’invitation honorées est une variable aléatoire X qui suit une Loi Binomiale de paramètres n = 500 et p = 0, 31.
1. Montrer que la loi de la variable X peut être approximée par une Loi Normale. Quels sont les paramètres de cette Loi
Normale ?
2.
a. Calculer la probabilité pour que le nombre d’invitations honorées soit compris entre 140 et 170.
b. Si le nombre d’invitations honorées est compris entre 140 et 170, préciser l’intervalle dans lequel est compris le
nombre de convives attendus.
3. Calculer la probabilité que le nombre de convives attendus dépasse la capacité d’accueil maximale de 300 personnes. Que
peut-on en conclure ?
4.2.4 BTS 2005
Monsieur Clavel a compris que le restaurant n’atteint pas un niveau normal de fréquentation. Il fait réaliser une étude de notoriété en centre-ville auprès d’un échantillon de 50 personnes. Cette étude montre que le restaurant dispose d’une notoriété
assistée actuelle de 15%.
1. Prouver que sur les 50 personnes interrogées, le nombre de personnes connaissant le restaurant du Mas du Père Soulas
suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Donner la formule permettant de calculer la probabilité pour que 9 personnes sur les 50 connaissent le restaurant.
3. Montrer que l’on peut faire une approximation de cette loi par une loi normale et donner ses paramètres à 0,1 près.
4. Calculer la probabilité pour qu’au moins 8 personnes connaissent le restaurant sur les 50 interrogées.
Chapitre 5
Ajustement de données expérimentales à une loi :
test du Khi-deux
5.1 Introduction
Le présent chapitre est réalisé à partir de l’ouvrage : Itinéraires en Statistiques et Probabilités de H Carnec chez Ellipses à mon
avis le plus accessible au niveau BTS ou DUT.
Les théories de Statistique Inférentielle sont difficiles et hors programme, elles consistent à donner une réponse adaptée aux
situations d’échantillonnage : par exemple tester si une loi théorique de probabilité peut représenter au mieux une distribution
réelle des valeurs prises par une variable (caractère) dans un échantillon d’éléments prélevés au hasard dans une population
statistique.
Dans la pratique, les valeurs du caractère noté C sont regroupées dans des modalités (qui peuvent être des classes) naturelles ou
réorganisées. Il existe divers tests d’ajustement (de conformité ou d’adéquation) à une loi, on montre ici l’utilisation sous forme
d’exemples du test du Khi-deux : on utilise la notation X 2 . C’est à Karl Pearson que l’on doit le critère du Khi-deux déduit de la
loi théorique du Khi-deux à n degrés de liberté 1 qui n’est pas étudiée ici.
La Loi du Khi-deux est tabulée. Les tables font intervenir deux paramètres :
• le nombre de degrés de liberté noté ν ;
• le seuil de risque noté α le plus souvent α = 0, 05 soit 5%.
5.2 Principe d’un test de conformité
5.2.1 Position du problème
Une distribution statistique d’un caractère C est connue,observée : on note C i les n valeurs du caractère et e i les n effectifs
observés associés :
Valeurs du caractère
C1
C2
···
Ci
···
Cn
Effectifs observés
e1
e2
···
ei
···
en
On veut comparer cette distribution à celle obtenue par une loi connue (équirépartie, binomiale, Poisson, Normale) qui donnerait les effectifs théoriques t i suivants :
1. Loi suivie par la somme S des carrés de n variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite : E (S) = n et V (S) = 2n
23
CHAPITRE 5. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX
24
Valeurs du caractère
C1
C2
···
Ci
···
Cn
Effectifs théoriques
t1
t2
···
ti
···
tn
5.2.2 Le test du X 2
❶ Pour mesurer l’écart entre la distribution observée et la distribution théorique, la méthode consiste à calculer pour chaque
modalité ( ou classe) le nombre appelé écart quadratique relatif :
(e i − t i )2
ti
❷ On définit alors la somme S par :
S=
X (e i − t i )2
ti
i
Cette somme sera faible si les écarts entre les valeurs théoriques et les valeurs observées sont petits : on note (H0 ) l’hypothèse « les observations suivent la loi théorique choisie» et (H1 ) l’hypothèse alternative. Pearson a montré que S suit une
loi du X 2 . La table permet de conclure et d’accepter ou non (H0 ) à un certain seuil de risque α, en général 5%.
5.2.3 Les règles du test
❶ Le test du X 2 s’applique dans les conditions proposées à des effectifs.
❷ Les modalités ou classes doivent avoir un effectif théorique d’au moins 5 et si possible d’au moins 10 : dans le cas contraire,
on réunit plusieurs modalités ou classes pour satisfaire cette condition.
❸ Lorsqu’il existe n modalités ou classes et que ces valeurs observées déterminent la loi théorique à l’aide de p relations
distinctes (somme des effectifs, moyenne, écart-type ...) la loi du X 2 est à ν = (n − p) degrés de liberté.
ν (comme α) est indispensable pour la lecture de la table.
5.3 Exemple 1 : adéquation à une loi équirépartie
5.3.1 Enoncé
En lançant un dé 60 fois, un joueur obtient les résultats :
"face"
Effectifs
1
15
2
7
3
7
4
11
5
6
6
14
Doit-on considérer, au seuil de risque de 5%, que le dé est truqué ?
5.3.2 Corrigé
La loi théorique conduit évidemment à la probabilité de
tableau suivant résume les calculs à effectuer :
1
pour chaque face, donc à un effectif théorique de 10 par face. Le
6
5.4. EXEMPLE 2 : CONFORMITÉ À UNE LOI BINOMIALE
Ci
résultats e i
probabilités
25
effectifs
théoriques t i
(e i − t i )
(e i − t i )2
(e i − t i )2
ti
25
9
9
1
16
16
2,5
0,9
0,9
0,1
1,6
1,6
1
2
3
4
5
6
15
7
7
11
6
14
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
10
10
10
10
10
10
5
-3
-3
1
-4
4
X
60
1
60
0
• Il y a 6 modalités (classes) et seule la relation
X
i
7,6
e i = 60 est utilisée. C’est donc une loi du X 2 à (6 − 1) = 5 degrés de liberté.
• L’hypothèse nulle (H0 ) est : "le dé est normal" et l’hypothèse alternative (H1 ) est : "le dé est truqué".
2
• Au seuil de risque de 5%, la table donne : Xlu2 = 11, 07 alors que le X 2 observé : Xobs
= 7, 6.
• Au seuil de risque de 5% on accepte (H0 ) : le dé est normal et les différences entre les résultats du dé observé et un dé théorique
sont dûes aux fluctuations d’échantillonnage.
• Remarque : la valeur lue dans la table signifie que la probabilité : P (X 2 > 11, 07) = 0, 05
5.4 Exemple 2 : conformité à une Loi Binomiale
5.4.1 Enoncé
Une machine fabrique quotidiennement plusieurs dizaines de milliers de bouchons. On effectue un contrôle de qualité en prélevant successivement 100 échantillons de 100 bouchons. X est la variable aléatoire qui mesure le nombre de bouchons défectueux
observé dans chaque échantillon. Les résultats sont les suivants :
nbre de bouchons
défectueux
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 et plus
nbre d’observations
3
6
11
23
19
17
10
6
5
0
Peut-on, au risque de 5% considérer que X suit une Loi Binomiale ?
5.4.2 Corrigé
❶ La moyenne des observations est m = 4. Le nombre de bouchons fabriqués est très grand, on peut assimiler l’échantillonnage à un tirage avec remise et supposer que X suit la loi : B(100; 0, 04).
❷ Pour respecter les règles d’utilisation du test, on regroupe les cas 0 et 1 d’une part et les cas 7,8 et 9 ou plus d’autre part.
❸ Les effectifs théoriques sont calculés avec la Loi Binomiale : ti = 100×C100 (0, 04)i (0, 96)100−i . Ils sont arrondis à 0,1 pour
i
obtenir un effectif total de 100 :
CHAPITRE 5. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX
26
Ci
résultats e i
effectifs
théoriques t i
(e i − t i )
(e i − t i )2
(e i − t i )2
ti
0,09
12,25
10,89
0,81
1
0,25
0,09
0,01
0,84
0,55
0,04
0,06
0,02
0,01
0 et 1
2
3
4
5
6
Ê7
9
11
23
19
17
10
11
8,7
14,5
19,7
19,9
16
10,5
10,7
0,3
-3,5
3,3
-0,9
1
-0,5
0,3
X
100
100
0
1,53
❹ L’hypothèse nulle (H0 ) est : "X suit la loi B(100; 0, 04)" et l’hypothèse alternative (H1 ) est : "la loi de X diffère significativement de la loi B(100; 0, 04)".
On a gardé 7 modalités (classes) et il y a deux relations distinctes :
X
i
est donc à ν = (7 − 2) = 5 degrés de liberté.
e i = 100 et p = 0, 04 =
4
m
=
. La loi du X 2 utilisée
100 100
❺ Conclusion
2
Le X 2 observé : Xobs
= 1, 53 est, au seuil de risque de 5%, inférieur au X 2 lu dans la table : Xlu2 = 11, 07 . On accepte
l’hypothèse selon laquelle X suit la Loi Binomiale B(100; 0, 04).
5.5 Exemple 3 : conformité à une Loi de Poisson
5.5.1 Enoncé
Un barman note sur 200 jours de travail le nombre X de bouteilles de Champagne vendues :
nbre de bouteilles
nbre de jours
0
76
1
72
2
34
3
12
4
6
Peut-on, au seuil de risque de 5%, considérer que X suit une Loi de Poisson et laquelle ?
5.5.2 Corrigé
❶ On calcule la moyenne E (X ) = λ = 1 puis la variance V (X ) = 1, 06 proche de 1. On peut donc penser que X suit la loi :
P (λ = 1).
L’hypothèse nulle (H0 ) est donc : "au seuil de risque de 5%, la variable X suit la loi P (λ = 1)".
❷ La table de la Loi de Poisson de paramètre λ = 1 donne le tableau suivant :
5.5. EXEMPLE 3 : CONFORMITÉ À UNE LOI DE POISSON
27
Ci
0
1
2
3
4
5
6
ei
76
72
34
12
6
0
0
pi
0,368
0,368
0,184
0,061
0,015
0,003
0,001
t i = 200p i
73,6
73,6
36,8
12,2
3
0,6
0,2
L’observation des règles du test conduit à regrouper les modalités 3,4,5 et 6 dans la modalité : "3 et plus".
❸ On résume les calculs dans le tableau :
Ci
résultats e i
effectifs
théoriques t i
(e i − t i )
(e i − t i )2
(e i − t i )2
ti
5,76
2,56
7,84
4
0,078
0,035
0,213
0,25
0
1
2
3 et plus
76
72
34
18
73,6
73,6
36,8
16
2,4
-1,6
-2,8
2
X
200
200
0
❹ Le nombre de degrés de liberté est ν = (4 − 2) = 2 car il y a 4 modalités et 2 relations :
❺ Conclusion
0,576
X
i
e i = 200 et le paramètre λ = 1.
2
Le X 2 observé : Xobs
= 0, 576 est, au seuil de risque de 5%, inférieur au X 2 lu dans la table : Xlu2 = 5, 99 . On accepte
l’hypothèse selon laquelle X suit la Loi de Poisson P (λ = 1).
28
CHAPITRE 5. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX
Table des matières
1 Probabilités : notions simples
1.1 Le vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . .
1.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
1.4 Espérance mathématique, Variance et écart type .
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Analyse combinatoire et dénombrements
2.1 Notions d’analyse combinatoire . . .
2.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
. 7
. 8
. 9
. 10
. 10
3 LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON
3.1 Epreuve et loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale . . . . . . . . . . . .
3.3 Loi de Poisson ou loi des événements rares . . . . . . . . .
3.4 BTS corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Exercices et BTS sur la Loi Binomiale et la Loi de Poisson .
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1
1
1
2
3
4
13
13
13
15
15
16
4 LOI NORMALE
19
4.1 Loi Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Enoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Ajustement de données expérimentales à une loi : test du Khi-deux
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Principe d’un test de conformité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Exemple 1 : adéquation à une loi équirépartie . . . . . . . . . . .
5.4 Exemple 2 : conformité à une Loi Binomiale . . . . . . . . . . . .
5.5 Exemple 3 : conformité à une Loi de Poisson . . . . . . . . . . . .
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